Enunciado

Tubos de cobre estão fixados a uma placa de um coletor solar, com espessura t, e o fluido de trabalho mantém a temperatura da placa acima dos tubos em Te. Há um fluxo térmico radiante líquido uniforme na superfície superior da placa, enquanto a superfície inferior encontra-se isolada termicamente. A superfície superior também está exposta a um fluido a T ∞ , que fornece um coeficiente convectivo uniforme h.

  1. Deduza a equação diferencial que governa a distribuição de temperaturas T(x) na placa.
  2. Obtenha uma solução para a equação diferencial usando condições de contorno apropriadas.

Passo 1

Vamos que vamos galerinhaa??

Antes de qualquer coisa nós precisamos dar uma olhadinha mais de perto para o balanço de energia em um volume de controle diferencial, ok?

Então, se pegarmos um pedacinho da placa de comprimento d x :

Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, q ' x e q ' r a d , e saindo do volume de controle, q ' x + d x e q ' c o n v , Então:

q ' x + q ' r a d = q ' x + d x + q ' c o n v

Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?

A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:

q ' x = - k t . d T d x

E para uma distância x + d x :

q ' x = q ' x + d q ' x d x . d x

A transferência de calor por convecção pode ser dada como:

q ' c o n v = h T - T ∞ d x

E a última que precisamos achar é a transferência de calor por radiação:

q ' r a d = q ' ' r a d . d x

Agora nós podemos substituir tudo que temos:

q ' x + q ' ' r a d . d x = q ' x + d q ' x d x . d x + h T - T ∞ d x

q ' ' r a d . d x = d q ' x d x . d x + h T - T ∞ d x

Como o dx está presente em todos os termos:

q ' ' r a d = d q ' x d x + h T - T ∞

E substituindo q ' x :

q ' ' r a d = d d x - k t . d T d x + h T - T ∞

q ' ' r a d = - k t . d 2 T d x 2 + h T - T ∞

Reescrevendo:

k t . d 2 T d x 2 - h T - T ∞ + q ' ' r a d = 0

d 2 T d x 2 - h k t T - T ∞ + q ' ' r a d k t = 0

Então a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura será dada por d 2 T d x 2 - h k t T - T ∞ + q ' ' r a d k t = 0 .

Bora seguir pra letra (b)??

Passo 2

Na letra (b) nós queremos uma solução para a equação diferencial usando condições de contorno apropriadas.

Se nós assumirmos que:

θ = T - T ∞

Então:

d 2 T d x 2 = d 2 θ d x 2

Na fórmula da letra (a):

d 2 θ d x 2 - h k t θ + q ' ' r a d k t = 0

Quando nós temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes a solução é dada pela forma:

θ = C 1 e λ x + C 2 e - λ x + S λ 2

Onde:

λ = h k t

S = q ' ' r a d k t

Aplicando a primeira condição de contorno, quando x = 0 e θ 0 = θ 0 , então:

θ 0 = C 1 + C 2 + S λ 2

Se nós aplicarmos a segunda condição de contorno, quando x = L e d θ d x = 0 .

Então nós precisamos derivar a solução que nós achamos, certo?

d θ d x = λ C 1 e λ x - λ C 2 e - λ x

Igualando a zero e substituindo x por L :

λ C 1 e λ L - λ C 2 e - λ L = 0

λ C 1 e λ L = λ C 2 e - λ L

C 1 = C 2 e - 2 λ L

Substituindo na primeira equação do contorno o que acabamos de achar:

θ 0 = C 2 e - 2 λ L + C 2 + S λ 2

Isolando C 2 :

C 2 = θ 0 - S λ 2 e - 2 λ L + 1

Substituindo em C 1 :

C 1 = e - 2 λ L θ 0 - S λ 2 e - 2 λ L + 1 = 1 e 2 λ L θ 0 - S λ 2 e - 2 λ L + 1 = θ 0 - S λ 2 e 2 λ L + 1

Colocando na solução:

θ = θ 0 - S λ 2 e 2 λ L + 1 e λ x + θ 0 - S λ 2 e - 2 λ L + 1 e - λ x + S λ 2

Reorganizando:

θ = θ 0 - S λ 2 e λ x e 2 λ L + 1 + e - λ x e - 2 λ L + 1 + S λ 2

Bem cabulosa, mas de um jeito legal !! Eu sei que vocês também gostaram !!

Resposta

  1. d 2 T d x 2 - h k t T - T ∞ + q ' ' r a d k t = 0 ;
  2. θ = θ 0 - S λ 2 e λ x e 2 λ L + 1 + e - λ x e - 2 λ L + 1 + S λ 2 .
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