Enunciado

Uma placa plana fina de comprimento L, espessura t e largura W ≫   L está termicamente ligada a dois grandes sumidouros de calor, que são mantidos a uma temperatura T e . A superfície inferior da placa encontra-se isolada, enquanto o fluxo térmico líquido para a sua superfície superior é uniforme e igual q ' ' e .

  1. Deduza a equação diferencial que determina a distribuição de temperaturas em regime estacionário T(x) na placa.
  2. Resolva a equação anterior para a distribuição de temperaturas e obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor da placa para os sumidouros de calor.

Passo 1

Vamos que vamos galerinhaa??

Antes de qualquer coisa nós precisamos dar uma olhadinha mais de perto para o balanço de energia em um volume de controle diferencial, ok?

Então, se pegarmos um pedacinho da placa de comprimento d x :

Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, q ' x e q ' e , e saindo do volume de controle, q ' x + d x , Então:

q ' x + q ' e = q ' x + d x

Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?

A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:

q ' x = - k W t . d T d x

E para uma distância x + d x :

q ' x = q ' x + d q ' x d x . d x

E a última que precisamos achar é o fluxo térmico líquido para a sua superfície superior:

q ' e = q ' ' e . ( W d x )

Agora nós podemos substituir tudo que temos:

q ' x + q ' ' e . ( W d x ) = q ' x + d q ' x d x . d x

q ' ' e . ( W d x ) = d q ' x d x . d x

Como o dx está presente em todos os termos:

q ' ' e . W = d q ' x d x

E substituindo q ' x :

q ' ' e . W = d d x - k W t . d T d x

q ' ' e . W = - k W t . d 2 T d x 2

q ' ' e = - k t . d 2 T d x 2

Reescrevendo:

k t . d 2 T d x 2 + q ' ' e = 0

d 2 T d x 2 + q ' ' e k t = 0

Então a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura será dada por d 2 T d x 2 + q ' ' e k t = 0 .

Bora seguir pra letra (b)??

Passo 2

Na letra (b) nós queremos resolver a equação anterior para a distribuição de temperaturas e obter uma expressão para a taxa de transferência de calor da placa para os sumidouros de calor!!

Se nós integrarmos a equação anterior duas vezes:

d d x . d T d x = - q ' ' e k t

d d x . ∫ d T = - q ' ' e k t ∫ d x

d T d x = - q ' ' e k t x + C 1

∫ d T = - q ' ' e k t ∫ x d x + C 1 ∫ d x

T x = - q ' ' e x 2 2 k t + C 1 x + C 2

Aplicando a primeira condição de contorno, quando x = 0 e T 0 = T 0 , então:

T 0 = C 2 = T 0

Se nós aplicarmos a segunda condição de contorno, quando x = L e T L = T 0 , já que nossa temperatura é constante, certo?

T L = - q ' ' e L 2 2 k t + C 1 L + C 2 = T 0

Substituindo C 2 :

- q ' ' e L 2 2 k t + C 1 L = 0

C 1 = q ' ' e L 2 2 k t L = q ' ' e L 2 k t

Colocando na solução:

T x = - q ' ' e x 2 2 k t + q ' ' e L 2 k t x + T 0

Reorganizando:

T x = q ' ' e 2 k t ( L x - x 2 ) + T 0

Bem cabulosa, mas de um jeito legal !! Eu sei que vocês também gostaram !!

Resposta

  1. d 2 T d x 2 + q ' ' e k t = 0 ;
  2. T x = q ' ' e 2 k t ( L x - x 2 ) + T 0 .
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