Enunciado

Um fio elétrico de 2,2 mm de diâmetro e 14 m de comprimento é enrolado firmemente com uma cobertura plástica de 1 mm de espessura cuja condutividade térmica é   k =   0,15   W   m   ·   K . As medições elétricas indicam que uma corrente de 13 A passa através do fio e há uma queda de tensão de 8 V ao longo do fio. Se o fio isolado for exposto ao meio a T ∞ =   30   °   C , com um coeficiente de transferência de calor de h = 24 W m 2   ·   K , determine a temperatura na interface do fio e a cobertura plástica, em funcionamento permanente. Determine também se, ao duplicar a espessura da cobertura plástica, essa temperatura da interface aumentará ou diminuirá.

Passo 1

Shoow galera!!

Para achar a temperatura nós vamos precisar usar a fórmula do calor:

Q ˙ = T i n t - T ∞ R t o t a l

Já sabemos que:

T ∞ = 30 ° C

Mas ainda precisamos da resistência total e do calor trocado, certo?

O calor nós podemos achar usando a Lei de Ohm:

Q ˙ = i V

Lembrando que:

i = 13   A

V = 8   V

Então:

Q ˙ = 13   A 8   V = 104   W

Passo 2

Agora vamos olhar as resistências!!

Nós teremos duas resistências atuando aqui, a convectiva e a do plástico.

Já sabem calcular, não é?

R p l á s t i c o = ln ⁡ d e x t d i n t 2 π k p l á s t i c o L

R e x t = 1 h e x t × A e x t

Se não temos a área externa precisamos calcular.

A área externa da seção transversal é dada por:

A e x t = π d e x t L

O diâmetro externo será o diâmetro interno mais a espessura do isolante:

d e x t = 2,2   m m + 2 × 1   m m = 4,2   m m

A e x t = π ( 0,0 042   m ) ( 1 4   m ) = 0 , 1847   m 2

Substituindo nossos dados:

R e x t = 1 24 W m 2   ·   K × 0,1847   m 2 = 0,22559 K W

R p l á s t i c o = ln ⁡ 4,2 2,2 2 π 0,15   W   m   ·   K 14   m = 0,049 K W

Como estão todas em séria, a resistência total é dada por:

R T = R p l a s t i c o + R e x t

R T = 0,22559 K W + 0,049 K W = 0,2746 K W

Passo 3

Agora temos tudo o que precisamos para achar a temperatura da superfície interna do plástico, basta substituirmos na fórmula do passo 1 nossos dados:

104   W = T i n t - 30 ° C 0,2746 K W

T i n t = 58,56 ° C

Beleza! Achamos nossa primeira resposta!

Passo 4

A próxima pergunta é: Qual a queda de temperatura na interfase se duplicarmos o isolamento.

O calor permanece igual, mas o diâmetro externo vai variar:

d e x t = 2,2   m m + 2 × 2   m m = 6 , 2   m m

A e x t = π ( 0,00 6 2   m ) ( 14   m ) = 0 , 27269   m 2

Substituindo nossos dados:

R e x t = 1 24 W m 2   ·   K × 0,27269   m 2 = 0 , 152798 K W

R p l á s t i c o = ln ⁡ 6 , 2 2,2 2 π 0,15   W   m   ·   K 14   m = 0,0 78523 K W

Como estão todas em séria, a resistência total é dada por:

R T = R p l a s t i c o + R e x t

R T = 0,152798 K W + 0,078523 K W = 0,23132 K W

Passo 5

Agora temos tudo o que precisamos para achar a temperatura da superfície interna do plástico, basta substituirmos na fórmula do passo 1 nossos dados:

104   W = T i n t - 30 ° C 0,23132 K W

T i n t = 5 4 ° C

E fiiim!!

Resposta

Uma camada de isolamento: 58,56 ° C ;

Duas camadas de isolamento: 5 4 ° C .

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