Enunciado

Verifique que a componente y da velocidade para a solução de Blasius das equações da camada limite de Prandtl é dada pela Eq. 9.10. Obtenha uma expressão algébrica para a componente x da aceleração de uma partícula fluída na camda limite laminar. Trace a x versus η para determinar a máxima componente x da aceleração para um dado valor de x .

Passo 1

A gente pode pensar o enunciado em duas partes: em uma a gente vai precisar provar, a partir das relações de Blasius, que a expressão da componente y da velocidade tem essa cara:

υ = 1 2 ν U x η f ' ( η ) - f η

Na segunda parte, a gente precisa achar a expressão para a x , a partir das expressões de Blasius também e depois plotar o gráfico.

Vamos lá?

Passo 2

Podemos lembrar que por Blasius:

u = U f ' η ,     η = y   U ν x

Temos também a expressão da função corrente:

ψ = f η ν U x

A componente y da velocidade é definida por:

υ = - ∂ ψ ∂ x = - ∂ f η ν U x ∂ x

Temos que calcular essa derivada usando a regra da cadeia para f ( η ) e a regra do produto, pois há duas funções de x :

υ = - ∂ f ∂ x ν U x + ν U f η 2 ν U x

Passo 3

Calculando a derivada de f separadamente e jogando alguns termos para dentro da raiz:

∂ f ∂ x = ∂ f η ∂ x = ∂ f ∂ η ⋅ ∂ η ∂ x = f ' η - y 2 ⋅ 1 x U μ x

Lembrando que:  

    η = y   U ν x

∂ f ∂ x = f ' η - 1 2 x η

Voltando a expressão de υ :

υ = - f ' η - 1 2 x η ν U x + ν U f η 2 ν U x

Passo 4

Agora a gente só precisa arrumar esses termos, colocando o que der dentro das raízes:

υ = η 2 f ' η ν U x x 2 - 1 2 ν 2 U 2 ν U x f η = η 2 f ' η ν U x - 1 2 ν U x f η

Por fim,

υ = 1 2 ν U x η f ' η - f η

Ufa! Mas ainda não acabou. Haha

Passo 5

Agora vem a segunda parte. Para ela a gente tem que lembrar da expressão para calcular a aceleração na direção x :

a x = u ∂ u ∂ x + υ ∂ u ∂ y

E que para gente,

u = U f ' η ,     η = y   U ν x

Então, vamos calcular essas duas derivadas parciais. Pela regra da cadeia:

∂ u ∂ x = U ∂ f ' η ∂ x = U ∂ f ' η ∂ η ⋅ ∂ η ∂ x = U f ' ' η - 1 2 x η = - U η f ' ' η 2 x

∂ u ∂ y = U ∂ f ' η ∂ y = U ∂ f ' η ∂ η ⋅ ∂ η ∂ y = U f ' ' η U ν x

Passo 6

Agora a gente tem a expressão das derivadas, de u e υ . Só substituir:

a x = u ∂ u ∂ x + υ ∂ u ∂ y

a x = - U f ' η U η f ' ' η 2 x + 1 2 ν U x η f ' η - f η U f ' ' η U ν x

A gente pode arrumar isso, fazendo aquela paradinha de colocar termos para dentro da raiz, aí fica desse jeito:

a x = - 1 2 U 2 x η f ' η f ' ' η + 1 2   U 2 x η f ' η f ' ' η - f η f ' ' η

Finalmente, colocando alguns termos em evidência:

a x = - U 2 2 x f η f ' ' ( η )

Passo 7

Precisamos plotar o gráfico e achar onde temos a componente máxima em função de x . Podemos plotar o gráfico de f η f ' ' ( η ) em função de η , para achar o máximo desse termo, achando assim o máximo de a x , em função de x :

O máximo ocorre em aproximadamente 0,23 , onde η = 3 .

Por isso, o valor máximo de a x é:

a x = - 0,115 U 2 x

Resposta

a x = - 0,115 U 2 x

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