Responde Aí

Radiação entre Superfícies

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Introdução

Até aqui já sabemos como trabalhar com problemas de radiação entre superfícies negras, mas no mundo real, o que a gente encontra são superfícies não negras, onde ocorrem múltiplas reflexões... o que a gente faz nesse caso?

Por exemplo: Duas esferas concêntricas de diâmetros D 1 = 0,3   m e D 2 = 0,4   m são mantidas a temperaturas uniformes T 1 = 700   K e T 2 = 500   K e têm emissividades ε 1 = 0,5 e ε 2 = 0,7 .

Nesse caso, qual é a taxa de transferência de calor por radiação entre as duas esferas?

Analisar a radiação nesse tipo de situação não é uma tarefa fácil, então precisamos fazer algumas simplificações pra facilitar a nossa vida. Dessa forma, consideramos que as superfícies são:

  • Opacas: A transmissividade é nula;
  • Difusas: Elas emitem e refletem a radiação igualmente em todas as direções;
  • Cinzas: Suas propriedades independem do comprimento de onda da radiação;
  • Isotérmicas uniformes: A temperatura nas superfícies são constantes e estão uniformemente distribuídas.

Antes de entender como essas superfícies trocam calor, precisamos entender primeiro como uma superfície troca calor por radiação.

Transferência de Calor a partir de uma Superfície

A taxa de transferência de calor por radiação em uma superfície é a diferença entre o que sai J e o que entra G :

Onde G é a irradiação, e J é a radiosidade, definida como a energia total de radiação que deixa uma superfície por unidade de tempo e por unidade de área.

Quando uma superfície está na presença de radiação emitida por outros corpos, a radiação total que deixa essa superfície é constituída pela radiação emitida ε . E c n pela mesma e pela radiação refletida pela mesma ρ . G . Logo:

J = ε . E c n + ρ . G

Juntando essas duas equações, podemos escrever a taxa de transferência de calor por radiação a partir de uma superfície como:

q = A . ε 1 - ε σ . T 4 - J = σ . T 4 - J R

Onde R é a resistência da superfície à radiação, dada por:

Até aqui, tudo muito lindo, mas o que acontece quando temos outras superfícies no problema?

Transferência de Calor entre Superfícies

Nesse caso a taxa líquida de transferência de calor q 1 → 2 do corpo 1 para o corpo 2 será igual a:

q 1 → 2 = A 1 . J 1 . F 1 → 2 - A 2 . J 2 . F 2 → 1

Ou seja, ela será igual à diferença entre o quanto o corpo 1 emite para o corpo 2 e o quanto 2 emite para o corpo 1. Se aplicarmos a regra da reciprocidade do Fator de forma e reorganizar os termos da equação, encontraremos o seguinte:

Onde R 1 → 2 é a resistência de espaço à radiação, dada por:

“Mas e se não soubermos calcular a radiosidade?”

Opa! A pergunta é muito boa! Nesse caso, podemos trabalhar com as duas superfícies como se fossem negras, mas o preço que temos que pagar é adicionar as resistências de superfície das duas superfícies. A ideia é a seguinte:

Logo:

q 1 → 2 = E c n , 1 - E c n , 2 R 1 + R 12 + R 2

Opa! Com isso aqui já podemos calcular a taxa de transferência de calor pra resolver no nosso problema. Mas, para o nosso problema, tem um jeito mais fácil!

Transferência de Calor em Recintos com duas Superfícies

Alguns casos, como o nosso, temos expressões tabeladas pra taxa de transferência de calor. Não é sempre que isso vai acontecer, então nem pense em ignorar tudo o que vimos até aqui. ;)

Se liga:

Voltando ao nosso problema...

Olhando na tabela, temos uma equação exata pra resolver a nossa vida, dada por:

q 1 → 2 = A 1 . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 . r 1 r 2 2

Onde A 1 = π d 2 , logo:

q 1 → 2 = π × 0,3 2 × 5,67 × 10 - 8 × 700 4 - 500 4 1 0,5 + 1 - 0,7 0,7 × 0,15 0,2 2

Escudos de Radiação

Como o nome sugere, o objetivo dos escudos de radiação é reduzir a transferência de calor. Isso acontece se colocarmos placas, ou cascas de baixa emissividade entre duas superfícies.

A ideia é a seguinte:

Conforme a nossa tabela, sem o escudo de radiação:

q 1 → 2 = A . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1

Agora, ao colocarmos o escudo de radiação, a taxa de transferência passa a ser dada por:

Se tivermos N escudos, vamos somando a contribuição de cada um no denominador:

Se todas as superfícies tiverem a mesma emissividade, a equação acima pode ser escrita como:

Estamos prontos pra cair nos exercícios!

Transferência de Calor entre Superfícies

Transferência de Calor em Recintos com duas Superfícies

Voltando ao nosso problema...

Escudos de Radiação

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere duas placas paralelas muito grandes com superfícies cinza e difusas.

a Determine a irradiação na placa superior.

b Determine a radiosidade na placa superior.

c Qual é a radiosidade da placa inferior.

d Qual é a troca líquida de radiação entre as placas por unidade de área das placas?

Passo 1

a Determine a irradiação na placa superior.

Sobre a placa superior incide a radiaç��o vinda da placa inferior, e a radiação emitida pela placa superior e que foi refletida pela placa inferior.

Dessa forma:

G 1 = ε 2 . E c n , 2 + ρ 2 . E c n , 1

G 1 = ε 2 . σ . T 2 4 + ( 1 - ε 2 ) . σ . T 1 4

Substituindo os valores:

G 1 = 0,8 × 5,67 × 10 - 8 × 500 4 + ( 1 - 0,8 ) × 5,67 × 10 - 8 × 1000 4

Passo 2

b Determine a radiosidade na placa superior.

A radiosidade é definida por

J 1 = ε 1 . σ . T 1 4 + 1 - ε 1 . G 1

Como a placa superior se trata de um corpo negro, ε 1 = 1 , nenhuma radiação será refletida. Dessa forma:

J 1 = σ . T 1 4 = 5,67 × 10 - 8 × 1000 4

Passo 3

c Qual é a radiosidade da placa inferior.

No caso da placa inferior, teremos:

J 2 = ε 2 . σ . T 2 4 + 1 - ε 2 . G 2

A irradiação G 2 será composta somente da energia que vem da placa superior, já que a mesma não irá refletir a radiação emitida pela placa inferior. Logo:

J 2 = ε 2 . σ . T 2 4 + 1 - ε 2 . σ . T 1 4

J 2 = 0 , 8 × 5,67 × 10 - 8 × 5 00 4 + 1 - 0,8 × 5,67 × 10 - 8 × 1000 4

Passo 4

d Qual é a troca líquida de radiação entre as placas por unidade de área das placas?

A troca líquida entre as placas pode ser calculada da seguinte forma:

q 1 ' ' = J 1 - G 1 = 56700 - 14175

A mesma ainda poderia ser calculada da seguinte forma:

q 1 ' ' = q 12 ' '

q 12 ' ' = J 1 - J 2

Resposta

a G 1 = 14 175   W / m 2

b J 1 = 56700   W / m 2

c J 2 = 14175   W / m 2

d q 1 ' ' = 42525   W / m 2

Exercício Resolvido #2

Considere uma longa fenda em forma de V com profundidade de 10   m m , usinada em um bloco mantida a 1000   K .

Se as superfícies da fenda são difusas e cinza com uma emissividade de 0,6 , determine o fluxo radiante que deixa a fenda para a sua vizinhança. Determine também a emissividade efetiva da cavidade.

Passo 1

Uma boa estratégia pra esse tipo de problema é “fechar” a superfície.

Assim, como nós queremos calcular o fluxo radiante que deixa a fenda, vamos idealizar uma superfície que feche a fenda, onde essa superfície é um corpo negro com temperatura T 2 = 0   K . Ou seja, essa superfície irá absorver todo o fluxo de energia.

Fazendo isso e calculando o fluxo térmico entre a fenda e a nossa superfície, vamos estar calculando o fluxo radiante que deixa a fenda.

Passo 2

A taxa de radiação emitida pela superfície 1 será dada por:

q 1 = - q 2 = σ . T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 1 → 2 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

O fator de forma pode ser calculado através da seguinte relação:

A 1 F 1 → 2 = A 2 F 2 → 1

Como a superfície que inventamos é plana, qualquer radiação que ela pudesse emitir jamais incidiria sobre ela mesma, logo:

F 1 → 1 = 0

Pela regra da adição:

F 1 → 1 + F 2 → 1 = 1

F 2 → 1 = 1

Assim:

A 1 F 1 → 2 = A 2

q 1 = σ . T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 2 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

Como queremos calcular o fluxo radiante, basta dividir toda a expressão pela área A 2 que inventamos, logo:

q 1 ' ' = q 1 A 2 = 1 A 2 . σ . T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 2 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

q 1 ' ' = σ . T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 . A 2 A 1 + 1 + 1 - ε 2 ε 2

Além disso, como a superfície 2 é negra, ε 2 = 1 , logo:

q 1 ' ' = σ . T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 . A 2 A 1 + 1

Passo 3

Em relação às áreas, temos o seguinte:

A 2 A 1 = 2 h . tan ⁡ 20 ° . L 2 h cos ⁡ 20 ° . L = tan ⁡ 20 ° . cos ⁡ 20 °

A 2 A 1 = sen ⁡ 20 °

Assim, substituindo os valores:

q 1 ' ' = 5,67 × 10 - 8 × 1000 4 - 0 4 1 - 0,6 0,6 × sen ⁡ 20 ° + 1

q 1 ' ' = 46,17 × 10 3   W / m 2

Resposta

q 1 ' ' = 46,17   k W / m 2

Exercício Resolvido #3

Para melhorar o descarte de calor em espaçonaves, um engenheiro propõe fixar uma série de aletas retangulares à superfície externa da espaçonave e cobrir todas as superfícies com um material que se aproxima de um comportamento de corpo negro.

Para superfícies isotérmicas com temperaturas T = 325   K e emissividade ε = 0,7 , e uma seção em U com largura W = 25   m m e comprimento L = 125   m m , determine a taxa, por unidade de comprimento (normal à página), na qual radiação é transferida de uma seção para o espaço.

Passo 1

A boa pra esse tipo de problema é “fechar” a cavidade.

Assim, vamos imaginar uma superfície que feche a fenda, onde essa superfície é um corpo negro com temperatura T 2 = 0   K , de forma que essa superfície absorva todo o fluxo de energia.

Fazendo isso e calculando o fluxo térmico entre a cavidade e a nossa superfície, vamos estar calculando o fluxo radiante que a deixa.

Passo 2

A taxa de radiação que incide na superfície 3 será dada por:

q 1 , 2 → 3 = σ . T 4 - T 3 4 1 - ε ε A 1 , 2 + 1 A 1,2 F 1,2 → 3 + 1 - ε 3 ε 3 A 3

Onde:

A 1,2 = 2 L . h + W . h = 2 L + W . h

A 3 = W . h

Em que h é o comprimento da cavidade (na direção normal à página).

Como a superfície que inventamos é plana, nenhuma radiação que ela pudesse emitir incidiria sobre ela mesma, logo:

F 3 → 3 = 0

Pela regra da adição:

F 3 → 1,2 + F 3 → 3 = 1

F 3 → 1,2 = 1

Pela regra da reciprocidade:

A 1,2 F 1,2 → 3 = A 3 . F 3 → 1,2 = A 3

Passo 3

Assim:

q 1,2 → 3 = σ . T 4 - T 3 4 1 - ε ε . 2 L + W . h + 1 W . h + 1 - ε 3 ε 3 . W . h

Como queremos calcular a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento, basta dividir toda a equação pelo comprimento h , logo:

q 1,2 → 3 ' = q 1 , 2 → 3 h = 1 h . σ . T 4 - T 3 4 1 - ε ε . 2 L + W . h + 1 W . h + 1 - ε 3 ε 3 . W . h

q 1,2 → 3 ' = σ . T 4 - T 3 4 1 - ε ε . 2 L + W + 1 W + 1 - ε 3 ε 3 . W

Além disso, como a superfície 3 é negra, ε 3 = 1 , logo:

q 1,2 → 3 ' = σ . T 4 - T 3 4 1 - ε ε . 2 L + W + 1 W

Passo 4

Substituindo os valores:

q 1,2 → 3 ' = 5,67 × 10 - 8 × 325 4 - 0 4 1 - 0,7 0,7 × 2 × 0,125 + 0,025 + 1 0,025

Resposta

q 1,2 → 3 ' = 15,2   W / m

Exercício Resolvido #4

Um condutor elétrico muito longo, com 10   m m de diâmetro, está posicionado concentricamente no interior de um tubo cilíndrico resfriado, com 50   m m de diâmetro, cuja superfície é difusa e cinza com uma emissividade de 0,9 e está à temperatura de 27 ° C .

O condutor elétrico possui uma superfície difusa e cinza com uma emissividade de 0,6 e está dissipando 6,0   W por metro de comprimento.

Considerando que há vácuo no espaço entre as duas superfícies, calcule a temperatura na superfície do condutor.

Passo 1

A taxa de transferência de calor no caso de cilindros concêntricos e infinitamente grandes é dada por:

q 1 → 2 = A 1 . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 . r 1 r 2

Onde A 1 = 2 π r 1 . L . Como o problema nos deu a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento, basta dividir toda a expressão por L , logo:

q 1 → 2 = 2 π r 1 . L . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 . r 1 r 2

q 1 → 2 ' = q 1 → 2 L = 2 π r 1 . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 . r 1 r 2

Passo 2

Reorganizando os termos da expressão que encontramos no Passo 1 pra isolar a temperatura T 1 , teremos:

T 1 = T 2 4 + q 12 ' σ . 2 π r 1 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 . r 1 r 2 1 / 4

Substituindo os valores:

T 1 = 27 + 273 4 + 6 5,67 × 10 - 8 × 2 π × 0,005 1 0,6 + 1 - 0,9 0,6 . 5 25 1 / 4

Jogando isso tudo na calculadora, vamos encontrar o seguinte:

T 1 = 342,3   K

Resposta

T 1 = 69,3 ° C

Exercício Resolvido #5

Oxigênio líquido é armazenado em um vaso esférico com parede delgada e 0,8   m de diâmetro, que está encerrado no interior de um segundo vaso esférico, também com parede delgada e com 1,2   m de diâmetro.

As superfícies dos vasos são cinza, difusas e opacas, com uma emissividade de 0,05 e são separadas por um espaço no qual há vácuo.

Se a superfície externa está a 280   K e a superfície interna está a 95   K , qual é a taxa mássica de perda de oxigênio devido à evaporação?

Obs.: O calor latente de vaporização do oxigênio é de 2,13 × 10 5   J / k g .

Passo 1

A taxa de transferência de calor para esferas concêntricas é dada por:

q e x t → i n t = A i n t   . σ . T e x t 4 - T i n t 4 1 ε i n t + 1 - ε e x t ε e x t . r i n t r e x t 2

Essa mesma taxa de transferência de calor está sendo utilizada para a vaporização do oxigênio, logo:

m ˙ . h l g = A i n t   . σ . T e x t 4 - T i n t 4 1 ε i n t + 1 - ε e x t ε e x t . r i n t r e x t 2

Onde A i n t = π D i n t 2 . Assim a vazão mássica será dada por:

m ˙ = π D i n t 2 . σ . T e x t 4 - T i n t 4 h l g . 1 ε i n t + 1 - ε e x t ε e x t . r i n t r e x t 2

Passo 2

Substituindo os valores:

m ˙ = π × 0,8 2 × 5,67 × 10 - 8 × 280 4 - 95 4 2,13 × 10 5 × 1 0,05 + 1 - 0,05 0,05 . 0,4 0,6 2

Resposta

m ˙ = 1,14 × 10 - 4   k g / s

Exercício Resolvido #6

Considere duas grandes superfícies paralelas, cinza e difusas, separadas por uma pequena distância.

Se a emissividade das superfícies é de 0,8 , qual deve ser a emissividade de uma barreira de radiação ε = 1 delgada para reduzir a taxa de transferência de calor por radiação entre as duas superfícies por um fator de 10?

Passo 1

Pra poder comparar esses caras, vamos encontrar as expressões para as taxas de transferência de calor por radiação com q 12 , c e sem a barreira q 12 , s .

A taxa de transferência de calor entre placas infinitamente grandes é dada por:

q 1 2 , s = A . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1

Com o escudo, a taxa de transferência de calor passa a ser dada por:

q 12 , c = A . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 ε 2 + 2 ε 3 - 2

Passo 2

A relação entre as duas transferências de calor deve ser tal que:

q 12 , c q 12 , s = 1 10 = A . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 ε 2 + 2 ε 3 - 2 A . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1

Reorganizando os termos, teremos:

1 10 = 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1 1 ε 1 + 1 ε 2 + 2 ε 3 - 2

Substituindo os valores:

0,1 = 1 0,8 + 1 0,8 - 1 1 0,8 + 1 0,8 + 2 ε 3 - 2

Agora é arrumar a bagunça:

0,1 = 1,25 + 1,25 - 1 1,25 + 1,25 + 2 ε 3 - 2

0,1 = 1 , 5 0,5 + 2 ε 3

0 , 0 5 + 0 , 2 ε 3 = 1,5

0,2 ε 3 = 1,45

ε 3 = 0,2 1,45

Resposta

ε 3 = 0,138

Exercício Resolvido #7

No fundo de uma grande câmara de vácuo cujas paredes estão a 300   K , um painel negro com 0,1   m de diâmetro é mantido a 77   K .

Para reduzir o calor ganho nesse painel, uma barreira de radiação com o mesmo diâmetro D e uma emissividade de 0,05 é colocada muito próximo ao painel.

Calcule o ganho líquido de calor no painel.

Passo 1

A taxa de transferência de calor será dada por:

q 1 = E c n , 2 - E c n , 1 ∑ R i

Contabilizando todas as resistências à radiação do sistema, temos o seguinte:

Passo 2

Como A 2 ≫ A 1 ou A s , a primeira resistência à radiação será aproximadamente nula. Além disso, como a placa é uma superfície negra, ε 1 = 1 , zerando a última resistência à radiação.

Dessa forma:

∑ R i = 1 A 2 . F 2 → s + 2 . 1 - ε s ε s . A s + 1 A s . F s → 1

Onde:

A 2 . F 2 → s = A s . F s → 2

F s → 2 = 1 →

F s → 1 = 1

Logo:

∑ R i = 1 A s + 2 . 1 - ε s ε s . A s + 1 A s

Arrumando a bagunça:

∑ R i = 2 A s + 2 . 1 - ε s ε s . A s

∑ R i = 2 A s . 1 + 1 - ε s ε s

∑ R i = 2 A s . 1 ε s = 2 A s . ε s

Passo 3

Assim, a taxa de transferência de calor será dada por:

q 1 = E c n , 2 - E c n , 1 ∑ R i = σ . T 2 4 - T 1 4 2 A s . ε s

q 1 = A s . ε s . σ . T 2 4 - T 1 4 2

Onde A s = A 1 = π d 1 2 / 4 .

Dessa forma:

q 1 = π × 0,1 3 × 0,05 × 5,67 × 10 - 8 × 300 4 - 77 4 4 × 2

q 1 = 89,8 × 10 - 3 W