Radiação entre Superfícies

Teoria Completa

Introdução

Até aqui já sabemos como trabalhar com problemas de radiação entre superfícies negras, mas no mundo real, o que a gente encontra são superfícies não negras, onde ocorrem múltiplas reflexões... o que a gente faz nesse caso?

Por exemplo: Duas esferas concêntricas de diâmetros D 1 = 0,3   m e D 2 = 0,4   m são mantidas a temperaturas uniformes T 1 = 700   K e T 2 = 500   K e têm emissividades ε 1 = 0,5 e ε 2 = 0,7 .

Nesse caso, qual é a taxa de transferência de calor por radiação entre as duas esferas?

Analisar a radiação nesse tipo de situação não é uma tarefa fácil, então precisamos fazer algumas simplificações pra facilitar a nossa vida. Dessa forma, consideramos que as superfícies são:

  • Opacas: A transmissividade é nula;
  • Difusas: Elas emitem e refletem a radiação igualmente em todas as direções;
  • Cinzas: Suas propriedades independem do comprimento de onda da radiação;
  • Isotérmicas uniformes: A temperatura nas superfícies são constantes e estão uniformemente distribuídas.

Antes de entender como essas superfícies trocam calor, precisamos entender primeiro como uma superfície troca calor por radiação.

Transferência de Calor a partir de uma Superfície

A taxa de transferência de calor por radiação em uma superfície é a diferença entre o que sai J e o que entra G :

Onde G é a irradiação, e J é a radiosidade, definida como a energia total de radiação que deixa uma superfície por unidade de tempo e por unidade de área.

Quando uma superfície está na presença de radiação emitida por outros corpos, a radiação total que deixa essa superfície é constituída pela radiação emitida ε . E c n pela mesma e pela radiação refletida pela mesma ρ . G . Logo:

J = ε . E c n + ρ . G

Juntando essas duas equações, podemos escrever a taxa de transferência de calor por radiação a partir de uma superfície como:

q = A . ε 1 - ε σ . T 4 - J = σ . T 4 - J R

Onde R é a resistência da superfície à radiação, dada por:

Até aqui, tudo muito lindo, mas o que acontece quando temos outras superfícies no problema?

Transferência de Calor entre Superfícies

Nesse caso a taxa líquida de transferência de calor q 1 → 2 do corpo 1 para o corpo 2 será igual a:

q 1 → 2 = A 1 . J 1 . F 1 → 2 - A 2 . J 2 . F 2 → 1

Ou seja, ela será igual à diferença entre o quanto o corpo 1 emite para o corpo 2 e o quanto 2 emite para o corpo 1. Se aplicarmos a regra da reciprocidade do Fator de forma e reorganizar os termos da equação, encontraremos o seguinte:

Onde R 1 → 2 é a resistência de espaço à radiação, dada por:

“Mas e se não soubermos calcular a radiosidade?”

Opa! A pergunta é muito boa! Nesse caso, podemos trabalhar com as duas superfícies como se fossem negras, mas o preço que temos que pagar é adicionar as resistências de superfície das duas superfícies. A ideia é a seguinte:

Logo:

q 1 → 2 = E c n , 1 - E c n , 2 R 1 + R 12 + R 2

Opa! Com isso aqui já podemos calcular a taxa de transferência de calor pra resolver no nosso problema. Mas, para o nosso problema, tem um jeito mais fácil!

Transferência de Calor em Recintos com duas Superfícies

Alguns casos, como o nosso, temos expressões tabeladas pra taxa de transferência de calor. Não é sempre que isso vai acontecer, então nem pense em ignorar tudo o que vimos até aqui. ;)

Se liga:

Voltando ao nosso problema...

Olhando na tabela, temos uma equação exata pra resolver a nossa vida, dada por:

q 1 → 2 = A 1 . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 - ε 2 ε 2 . r 1 r 2 2

Onde A 1 = π d 2 , logo:

q 1 → 2 = π × 0,3 2 × 5,67 × 10 - 8 × 700 4 - 500 4 1 0,5 + 1 - 0,7 0,7 × 0,15 0,2 2

Escudos de Radiação

Como o nome sugere, o objetivo dos escudos de radiação é reduzir a transferência de calor. Isso acontece se colocarmos placas, ou cascas de baixa emissividade entre duas superfícies.

A ideia é a seguinte:

Conforme a nossa tabela, sem o escudo de radiação:

q 1 → 2 = A . σ . T 1 4 - T 2 4 1 ε 1 + 1 ε 2 - 1

Agora, ao colocarmos o escudo de radiação, a taxa de transferência passa a ser dada por:

Se tivermos N escudos, vamos somando a contribuição de cada um no denominador:

Se todas as superfícies tiverem a mesma emissividade, a equação acima pode ser escrita como:

Estamos prontos pra cair nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Considere duas placas paralelas muito grandes com superfícies cinza e difusas.

a Determine a irradiação na placa superior.

b Determine a radiosidade na placa superior.

c Qual é a radiosidade da placa inferior.

d Qual é a troca líquida de radiação entre as placas por unidade de área das placas?

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Passo 1

a Determine a irradiação na placa superior.

Sobre a placa superior incide a radiaç��o vinda da placa inferior, e a radiação emitida pela placa superior e que foi refletida pela placa inferior.

Dessa forma:

G 1 = ε 2 . E c n , 2 + ρ 2 . E c n , 1

G 1 = ε 2 . σ . T 2 4 + ( 1 - ε 2 ) . σ . T 1 4

Substituindo os valores:

G 1 = 0,8 × 5,67 × 10 - 8 × 500 4 + ( 1 - 0,8 ) × 5,67 × 10 - 8 × 1000 4

Passo 2

b Determine a radiosidade na placa superior.

A radiosidade é definida por

J 1 = ε 1 . σ . T 1 4 + 1 - ε 1 . G 1

Como a placa superior se trata de um corpo negro, ε 1 = 1 , nenhuma radiação será refletida. Dessa forma:

J 1 = σ . T 1 4 = 5,67 × 10 - 8 × 1000 4

Passo 3

c Qual é a radiosidade da placa inferior.

No caso da placa inferior, teremos:

J 2 = ε 2 . σ . T 2 4 + 1 - ε 2 . G 2

A irradiação G 2 será composta somente da energia que vem da placa superior, já que a mesma não irá refletir a radiação emitida pela placa inferior. Logo:

J 2 = ε 2 . σ . T 2 4 + 1 - ε 2 . σ . T 1 4

J 2 = 0 , 8 × 5,67 × 10 - 8 × 5 00 4 + 1 - 0,8 × 5,67 × 10 - 8 × 1000 4

Passo 4

d Qual é a troca líquida de radiação entre as placas por unidade de área das placas?

A troca líquida entre as placas pode ser calculada da seguinte forma:

q 1 ' ' = J 1 - G 1 = 56700 - 14175

A mesma ainda poderia ser calculada da seguinte forma:

q 1 ' ' = q 12 ' '

q 12 ' ' = J 1 - J 2

Resposta

a G 1 = 14 175   W / m 2

b J 1 = 56700   W / m 2

c J 2 = 14175   W / m 2

d q 1 ' ' = 42525   W / m 2

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Considere uma longa fenda em forma de V com profundidade de 10   m m , usinada em um bloco mantida a 1000   K .

Se as superfícies da fenda são difusas e cinza com uma emissividade de 0,6 , determine o fluxo radiante que deixa a fenda para a sua vizinhança. Determine também a emissividade efetiva da cavidade.

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Passo 1

Uma boa estratégia pra esse tipo de problema é “fechar” a superfície.

Assim, como nós queremos calcular o fluxo radiante que deixa a fenda, vamos idealizar uma superfície que feche a fenda, onde essa superfície é um corpo negro com temperatura T 2 = 0   K . Ou seja, essa superfície irá absorver todo o fluxo de energia.

Fazendo isso e calculando o fluxo térmico entre a fenda e a nossa superfície, vamos estar calculando o fluxo radiante que deixa a fenda.

Passo 2

A taxa de radiação emitida pela superfície 1 será dada por:

q 1 = - q 2 = σ . T 1 4 - T 2 4 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 1 → 2 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

O fator de forma pode ser calculado através da seguinte relação:

A 1 F 1 → 2 = A 2 F 2 → 1