Exercícios Resolvidos de Filmes Finos em Forma de Cunha

UFRJ, Física 4, PF - 2018.2, Questão 2

Dois estudantes desejam medir o diâmetro Equation de um fio de cabelo. Com esse objetivo, realizam um experimento de interferência descrito a seguir. Apoiam uma placa de vidro sobre outra idêntica, ambas transparentes e perfeitamente planas. Colocam entre elas, na extremidade direita de cada placa, o fio de cabelo, como aparece na figura abaixo. Entre as placas, há uma lâmina delgada de ar cuja espessura Equation depende da coordenada horizontal Equation . Por conveniência, a figura está fora de escala.

Os estudantes fazem incidir, de cima para baixo, luz monocromática de comprimento de onda de Equation e analisam a interferência dos raios refletidos (de baixo pra cima) em função da posição Equation . Os estudantes verificam que a distância horizontal entre duas franjas escuras é de Equation .

Equation Determine a condição para a interferência CONSTRUTIVA em função da espessura Equation da lâmina delgada de ar.

Equation Sabendo que o comprimento de cada placa é Equation , determine o diâmetro Equation do fio de cabelo.

Passo 1

Letra Equation : Vamos analisar primeiro o fenômeno de interferência de reflexão na imagem abaixo. Esta figura está fora de escala para visualizarmos melhor os raios luminosos.

Primeiro, temos o feixe Equation incidindo sobre o vidro no ponto Equation . Parte do feixe Equation é refratado e chamamos de feixe Equation . Logo depois, o feixe Equation incide no ponto Equation do vidro e a parte refletida chamamos de feixe Equation . Já a parte refratada do feixe Equation chamamos de feixe Equation e incide no ponto Equation . O feixe Equation é a reflexão do feixe Equation no ponto Equation . O feixe 6 é a parte refratada do feixe Equation quando o mesmo atinge o ponto Equation . Os feixes 7 e 8 são as partes refratadas dos feixes Equation e Equation , respectivamente. No final, temos o observador recebendo os feixes Equation e Equation interferindo.

A largura Equation é espessura da lâmina de ar entre as placas de vidro a uma distância Equation da extremidade esquerda das placas de vidro. Veja abaixo.

É importante destacar que o vidro tem um índice de refração maior que o do ar, isto é, Equation . Isto será muito importante no passo Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos saber a diferença de caminho ótico dos feixes que chegam no observador.

Note que é do ponto Equation que saem os dois feixes que irão interferir para nosso observador.

O primeiro feixe é o Equation , que é a soma dos feixes Equation e Equation . O segundo feixe é o Equation , pois é composto pelos feixes Equation , Equation , Equation e Equation . É só uma maneira prática de falar.

Agora, se olharmos bem, os caminhos óticos dos feixes Equation , e Equation são iguais. Isto porque eles percorrem as mesmas distâncias (interior da placa de vidro e até o observador).

Isso significa que a diferença de caminho ótico se dá pelos caminhos percorridos pelos feixes 4 e 5! Que maravilha! Como determinamos isso?Como a incidência é quase normal, podemos dizer que, para uma certa distância Equation da extremidade esquerda das placas de vidro, que o feixe Equation percorreu uma distância Equation , enquanto o feixe Equation percorreu a mesma distância Equation . Assim, no total, a diferença de caminho é Equation ! Lembre que a imagem está fora de escala.

Assim, SOMOS TENTADOS a escrever que a interferência será construtiva se a diferença de caminho ótico for um múltiplo do comprimento de onda da luz no meio, isto é,

Equation

e a interferência será destrutiva se a diferença de caminho ótico for um múltiplo ímpar da metade do comprimento de onda, isto é,

Equation

com Equation No entanto, estas expressões são válidas SOMENTE se os feixes refletidos mantiveram suas fases! Como a gente verifica isso? Veremos agora no passo 3.

Passo 3

Esta parte é decisiva na resolução do exercício: precisamos saber se os feixes refletidos mantiveram suas fases ou não. Sem saber isso, a gente pode chegar na resposta errada e não queremos isso, não é?Vamos lá! Temos dois feixes que são refletidos: o feixe Equation e o feixe Equation . Eles estão tracejados na figura abaixo

Note que o feixe 3 é a reflexão do feixe 2, este que vai do vidro para o ar (atingindo o ponto Equation ). Já o feixe 5 é a reflexão do feixe Equation , este que vai do ar para o vidro (atingindo o ponto Equation ).Existe uma regrinha muito legal que ajuda a dizer se o feixe refletido mudou de fase ou não (dá pra mostrar essa regrinha usando as equações de Maxwell).

Vamos aplicar essa regrinha.

- O feixe Equation vai do vidro para o ar Equation , então o feixe Equation NÃO MUDA de fase.

- O feixe 4 vai do ar para o vidro Equation , então o feixe 5 MUDA de fase de um valor Equation .

Ih! Deu ruim! O feixe 5 muda de fase!

Vamos entender o que implica nessa mudança de fase.

Quando ocorre uma mudança de fase de valor Equation , na verdade estamos dizendo que o feixe refletido está invertido, como quando vemos uma onda em uma corda atingir sua extremidade, que está fixa em uma parede. Vejam a figura abaixo.

Aí vem a sacada! Um feixe invertido é igual ao feixe original atrasado de Equation !

Desta forma, a equação para “interferência construtiva” que escrevemos no passo 2, a saber,

Equation

na verdade, é a equação para interferência destrutiva (pois o feixe Equation está atrasado em Equation )!

E temos também que a equação para “interferência destrutiva” que escrevemos no passo 2, a saber,

Equation

é na verdade a equação para interferência construtiva!

Desta forma, podemos escrever que

Equation

Passo 4

Letra Equation : Primeiro, vamos relacionar a espessura do filme de ar Equation com a posição Equation . Veja a figura abaixo.

Da figura acima, temos que a tangente de Equation pode ser calculada por

Equation

Note também que podemos escrever a mesma tangente da seguinte forma

Equation

Assim, igualando as duas expressões, temos que

Equation

Podemos escrever as posições Equation que acontecerá uma interferência construtiva. Utilizando a última equação do passo 3 do item Equation temos que

Equation

Passo 5

O enunciado disse que a distância entre duas franjas escuras consecutivas é igual a

Equation .

Essa distância é a mesma para duas franjas claras consecutivas. Assim, se as duas franjas claras consecutivas ocorrem nas posições Equation e Equation , então

Equation

Utilizando a equação do passo 1 deste item, temos que

Equation Equation

Equation

Isolando o diâmetro do fio de cabelo, temos que

Equation

Substituindo os valores de Equation ; Equation ; e Equation , obtemos que

Equation

Resposta

Equation Equation

Equation Equation

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