Exercícios Resolvidos de Filmes Finos em Forma de Cunha

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Enunciado

Dois estudantes desejam medir o diâmetro D de um fio de cabelo. Com esse objetivo, realizam um experimento de interferência descrito a seguir. Apoiam uma placa de vidro sobre outra idêntica, ambas transparentes e perfeitamente planas. Colocam entre elas, na extremidade direita de cada placa, o fio de cabelo, como aparece na figura abaixo. Entre as placas, há uma lâmina delgada de ar cuja espessura d ( x ) depende da coordenada horizontal x . Por conveniência, a figura está fora de escala.

Os estudantes fazem incidir, de cima para baixo, luz monocromática de comprimento de onda de 500   n m e analisam a interferência dos raios refletidos (de baixo pra cima) em função da posição x . Os estudantes verificam que a distância horizontal entre duas franjas escuras é de Δ x = 0,5   m m .

a Determine a condição para a interferência CONSTRUTIVA em função da espessura d ( x ) da lâmina delgada de ar.

b Sabendo que o comprimento de cada placa é l = 10   c m , determine o diâmetro D do fio de cabelo.

Passo 1

Letra a : Vamos analisar primeiro o fenômeno de interferência de reflexão na imagem abaixo. Esta figura está fora de escala para visualizarmos melhor os raios luminosos.

Primeiro, temos o feixe 1 incidindo sobre o vidro no ponto A . Parte do feixe 1 é refratado e chamamos de feixe 2 . Logo depois, o feixe 2 incide no ponto B do vidro e a parte refletida chamamos de feixe 3 . Já a parte refratada do feixe 2 chamamos de feixe 4 e incide no ponto C . O feixe 5 é a reflexão do feixe 4 no ponto C . O feixe 6 é a parte refratada do feixe 5 quando o mesmo atinge o ponto D . Os feixes 7 e 8 são as partes refratadas dos feixes 3 e 6 , respectivamente. No final, temos o observador recebendo os feixes 7 e 8 interferindo.

A largura d ( x ) é espessura da lâmina de ar entre as placas de vidro a uma distância x da extremidade esquerda das placas de vidro. Veja abaixo.

É importante destacar que o vidro tem um índice de refração maior que o do ar, isto é, n v i d r o > n a r . Isto será muito importante no passo 3 .

Passo 2

Agora precisamos saber a diferença de caminho ótico dos feixes que chegam no observador.

Note que é do ponto B que saem os dois feixes que irão interferir para nosso observador.

O primeiro feixe é o 3 + 8 , que é a soma dos feixes 3 e 8 . O segundo feixe é o 4 + 5 + 6 + 7 , pois é composto pelos feixes 4 , 5 , 6 e 7 . É só uma maneira prática de falar.

Agora, se olharmos bem, os caminhos óticos dos feixes 3 + 8 , e 6 + 7 são iguais. Isto porque eles percorrem as mesmas distâncias (interior da placa de vidro e até o observador).

Isso significa que a diferença de caminho ótico se dá pelos caminhos percorridos pelos feixes 4 e 5! Que maravilha! Como determinamos isso?Como a incidência é quase normal, podemos dizer que, para uma certa distância x da extremidade esquerda das placas de vidro, que o feixe 4 percorreu uma distância d ( x ) , enquanto o feixe 5 percorreu a mesma distância d ( x ) . Assim, no total, a diferença de caminho é 2 d ( x ) ! Lembre que a imagem está fora de escala.

Assim, SOMOS TENTADOS a escrever que a interferência será construtiva se a diferença de caminho ótico for um múltiplo do comprimento de onda da luz no meio, isto é,

2 d x = m λ a r

e a interferência será destrutiva se a diferença de caminho ótico for um múltiplo ímpar da metade do comprimento de onda, isto é,

2 d x = 2 m + 1   λ a r 2

com m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   … No entanto, estas expressões são válidas SOMENTE se os feixes refletidos mantiveram suas fases! Como a gente verifica isso? Veremos agora no passo 3.

Passo 3

Esta parte é decisiva na resolução do exercício: precisamos saber se os feixes refletidos mantiveram suas fases ou não. Sem saber isso, a gente pode chegar na resposta errada e não queremos isso, não é?Vamos lá! Temos dois feixes que são refletidos: o feixe 3 e o feixe 5 . Eles estão tracejados na figura abaixo

Note que o feixe 3 é a reflexão do feixe 2, este que vai do vidro para o ar (atingindo o ponto B ). Já o feixe 5 é a reflexão do feixe 4 , este que vai do ar para o vidro (atingindo o ponto C ).Existe uma regrinha muito legal que ajuda a dizer se o feixe refletido mudou de fase ou não (dá pra mostrar essa regrinha usando as equações de Maxwell).

Vamos aplicar essa regrinha.

- O feixe 2 vai do vidro para o ar ( n v i d r o > n a r ) , então o feixe 3 NÃO MUDA de fase.

- O feixe 4 vai do ar para o vidro n a r < n v i d r o , então o feixe 5 MUDA de fase de um valor π .

Ih! Deu ruim! O feixe 5 muda de fase!

Vamos entender o que implica nessa mudança de fase.

Quando ocorre uma mudança de fase de valor π , na verdade estamos dizendo que o feixe refletido está invertido, como quando vemos uma onda em uma corda atingir sua extremidade, que está fixa em uma parede. Vejam a figura abaixo.

Aí vem a sacada! Um feixe invertido é igual ao feixe original atrasado de   1 2   λ a r !

Desta forma, a equação para “interferência construtiva” que escrevemos no passo 2, a saber,

2 d x = m λ a r

na verdade, é a equação para interferência destrutiva (pois o feixe 8 está atrasado em 1 2   λ a r )!

E temos também que a equação para “interferência destrutiva” que escrevemos no passo 2, a saber,

2 d x = 2 m + 1 λ a r 2

é na verdade a equação para interferência construtiva!

Desta forma, podemos escrever que

d x = 2 m + 1 λ a r 4

Passo 4

Letra ( b ) : Primeiro, vamos relacionar a espessura do filme de ar d x com a posição x . Veja a figura abaixo.

Da figura acima, temos que a tangente de θ pode ser calculada por

tan ⁡ θ = d x x

Note também que podemos escrever a mesma tangente da seguinte forma

tan ⁡ θ = D l

Assim, igualando as duas expressões, temos que

d x = x D l                 ↔               x = l d x D

Podemos escrever as posições x m que acontecerá uma interferência construtiva. Utilizando a última equação do passo 3 do item ( a ) temos que

x m = l d x m D = 2 m + 1 l λ a r 4 D

Passo 5

O enunciado disse que a distância entre duas franjas escuras consecutivas é igual a

Δ x = 0,5   m m .

Essa distância é a mesma para duas franjas claras consecutivas. Assim, se as duas franjas claras consecutivas ocorrem nas posições x m + 1 e x m , então

Δ x = x m + 1 - x m

Utilizando a equação do passo 1 deste item, temos que

Δ x = 2 m + 1 + 1 l λ a r 4 D - 2 m + 1 l λ a r 4 D Δ x   = 2 m + 1 l λ a r 4 D + 2 l λ a r 4 D - 2 m + 1   l λ a r / 4 D

Δ x = l λ a r 2 D  

Isolando o diâmetro do fio de cabelo, temos que

D = l λ a r 2 Δ x

Substituindo os valores de l = 10   c m = 10 - 1   m ; λ a r = 5,0   × 10 - 7   m ; e Δ x = 0,5   m m = 5   × 10 - 4   m , obtemos que

D = 50 × 10 - 6   m = 50   μ m .

Resposta

( a ) d x = 2 m + 1 λ a r 4

( b ) D = 50   μ m .

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