Exercícios Resolvidos de Filtração

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Enunciado

Um filtro-prensa (um quadro de 6 ”   x   6 ”   x   1 ” ) foi utilizado na filtração, em laboratório, de uma suspensão aquosa de barita ( 20   g de sólido/L de suspensão). De acordo com a curva obtida ao se lançar t / V versus V , pede-se:

Calcular os parâmetros R m e α ; caso dependam de parâmetros desconhecidos, deixar indicado o cálculo.

OBS:

  • A lavagem não é necessária;
  • O tempo de desmantelamento, limpeza e montagem é estimado em 30   m i n .

Considere a área de filtração igual a:

A = 1180   c m 2

Passo 1

Lá na teoria, vimos que, partindo da equação do movimento, chegamos na equação de trabalho para filtração:

d t d V = μ A . Δ P . α ρ C V A + R m

E, integrando-a ao longo do filtro, à ∆ P constante, chegamos em:

t V = μ α ρ C 2 A 2 Δ P . V + μ R m A Δ P

Essa equação aí representa uma reta e podemos usá-la pra determinar parâmetros com base em experimentos, que é exatamente o que essa questão pede :) Mas temos que lembrar de só pegar os pontos que estão alinhados no gráfico!

As informações de lavagem e tempo de desmantelamento, limpeza e montagem não vamos usar pra nada, mas repara que aparece a concentração C na fórmula da reta que achamos:

t V = μ α ρ C 2 A 2 Δ P . V + μ R m A Δ P

E essa concentração temos como calcular já que:

Passo 2

A primeira coisa que vou fazer é calcular logo a concentração C :

Nos foi informado que a suspensão de trabalho é aquosa e de barita, com concentração 20   g de sólido/L de suspensão. Daí:

1 L   s u s p e n s ã o = V o l u m e   d e   s ó l i d o + V o l u m e   d e   á g u a

Nesse 1 litro de suspensão, sabemos a massa de sólido, 20   g . Usando a densidade da barita, determinamos esse volume de sólido ( V P ) :

ρ S = m P V P

ρ S = 20   g V P

Daí:

V P = 20   g ρ S

A densidade da barita não foi dada, mas é tabelada então temos como achar:

ρ S ≈ 4,5 g c m 3

Só lembrar que, como a massa está em gramas, vamos usar a densidade em g / c m 3 , para ficar com unidades compatíveis. Daí o volume vai sair em c m 3 .

V P = 20   g 4,5 g c m 3

V P = 4,44   c m 3

Ok, tendo o volume de sólidos, podemos calcular o volume de água:

1 L   s u s p e n s ã o = V o l u m e   d e   s ó l i d o + V o l u m e   d e   á g u a

Como volume de sólidos está em c m 3 , vou passar o litro pra c m 3 também, pra deixar tudo com mesmas unidades, né.

1   L = 1000   c m 3

V o l u m e   d e   á g u a = 1000   c m 3 - V o l u m e   d e   s ó l i d o

V o l u m e   d e   á g u a = V A = 1000   c m 3 - 4,44   c m 3  

V A = 995,56     c m 3

Ok, mas para calcular C precisamos da MASSA de líquido, e não do volume... Novamente, usamos densidade, mas agora a da água:

ρ = m V

ρ = m 995,56     c m 3

m = ρ . 995,56     c m 3  

A densidade da água varia com a temperatura e, como não temos a temperatura, poderíamos fazer duas coisas:

  • Assumir que a densidade da água é por volta de ρ = 1   g / c m 3 então usar esse valor
  • Deixar a densidade indicada

Como o enunciado disse para deixar indicado o que fosse desconhecido, vou pelo segundo caminho.

De qualquer maneira, como “temos” a massa de sólidos e a de água, podemos calcular C :

C = 20 g ρ . 995,56     c m 3

Passo 3

Agora que já calculamos a concentração C , podemos partir pra análise do gráfico:

Vimos que a parte LINEAR pode ser descrita por:

t V = μ α ρ C 2 A 2 Δ P . V + μ R m A Δ P

Comparando essa equação com à de uma reta:

Y = a . X + b

Temos que o coeficiente angular é:

a = μ α ρ C 2 A 2 Δ P

E o coeficiente linear é:

b = μ R m A Δ P

Agora, traçamos a melhor reta possível para os dados na parte linear; como já temos o gráfico, não vale a pena pegar ponto a ponto e fazer regressão linear; mais vale traçar a reta na mão mesmo, ou no computador no caso hahah

E foi assim que EU tracei... Se você tiver traçado um pouco mais pra cá, ou um pouco mais pra lá, tá de boas; só tem que lembrar de desprezar o primeiro ponto e os últimos 3, porque fogem da linearidade.

Agora, vendo pelo gráfico, podemos pegar os coeficientes linear e angular. Começando pelo linear, que é o valor de y quando a reta cruza o eixo y , isto é, quando x = z e r o :

b ≈ 0,018

Já o angular, pegamos pela tangente da reta com o eixo x. Temos que usar pontos em cima da reta que traçamos!!! E NÃO necessariamente pontos experimentais, ok? Vou usar, para o cálculo, os pontos:

x = 0       ,       y = 0,018       e     (   x ≈ 7000       ,       y = 0,04 )

tan ⁡ θ = a = 0,04 - 0,018 7000 - 0

a = 0,000003143

Passo 4

Acabamos de calcular os coeficientes linear e angular da reta experimental:

b ≈ 0,018

a = 0,000003143

Agora, comparamos os valores calculados com a expressão pra cada um deles:

t V = μ α ρ C 2 A 2 Δ P . V + μ R m A Δ P

Daí:

μ R m A Δ P = b = 0,018

μ α ρ C 2 A 2 Δ P = a = 0,000003143

Nos é pedido pra calcular os parâmetros R m e α , daí bora isolá-los nessas expressões:

R m = 0,018 . A Δ P μ

α = 0,000003143 . 2 A 2 Δ P μ ρ C

E agora é só substituir tudo que temos, que no caso são só:

A = 1180   c m 2

C = 20 g ρ . 995,56     c m 3

Daí:

R m = 0,018 . 1180   c m 2 . Δ P μ

α = 0,000003143 . 2 . 1180   c m 2 2 . Δ P μ 20 g 995,56     c m 3

E é só até aqui que conseguimos chegar com os dados fornecidos.

Resposta

R m = 0,018 . 1180   c m 2 . Δ P μ

α = 0,000003143 . 2 . 1180   c m 2 2 . Δ P μ 20 g 995,56   c m 3