Velocidade e Aceleração Médias no Movimento Circular

Resumo Completo

Velocidade Média e Aceleração Média no Movimento Circular

Estudaremos agora a velocidade média e a aceleração média no Movimento Circular Uniforme.

Velocidade Média

Sabemos que a fórmula de velocidade média é:

v m = Δ r Δ t

Agora, como a aplicaremos no movimento circular uniforme?

Vamos pensar primeiro no r , ou seja, o deslocamento que a partícula faz em um movimento circular. No movimento circular, ele é calculado da mesma forma, r f i n a l -   r i n i c i a l .

Exemplo:

Uma partícula que faz um movimento no sentido anti-horário de 1/4 de círculo, terá o r da seguinte forma, representado pela setinha azul:

Nesse caso, para descobrirmos o valor de seu módulo, podemos fazer Pitágoras.

Δ r 2 = R 2 + R 2

Δ r = R 2

Show!

E o t ?

Como a velocidade escalar é constante, podemos descobri-lo por meio da fórmula que relaciona distância percorrida com o tempo.

V = s t

A distância percorrida vai ser o comprimento do círculo que a partícula percorreu.

No exemplo acima, a distância percorrida é 1 / 4     do comprimento do círculo de raio R .

Sabendo que o comprimento de um círculo completo é 2 π R então:

Δ S = 2 π R 4 = π R 2

Logo:

t = π R 2 V

Após acharmos os valores de r e t , podemos substituir na fórmula inicial e achamos o valor da velocidade média.

v m = Δ r Δ t

No exemplo que estudamos, o módulo é igual a:

v m = 2 V 2 π

Tranquilo, né? Esse é o tipo de coisa que não é tão intuitivo, mas é tranquilo de aprender.

Aceleração média

A aceleração média é calculada por:

a m = Δ v Δ t

O passo a passo para achar seu módulo é o mesmo que o utilizado para achar o módulo da velocidade média. Lembre-se que a aceleração média é dada que sabemos os pontos inicial e final que queremos =D

Passo 1: Achar Δ v por meio dos vetores. Aplicando

Δ v = v f i n a l -   v i n c i a l

Passo 2: Achar Δ t da mesma forma que no caso da velocidade média.

OBS: A velocidade no Movimento Circular Uniforme é constante, a aceleração que existe é a centrípeta, ela não altera o módulo da velocidade tangencial, beleza? Então podemos aplicar V = Δ S / Δ t e, consequentemente

t = s V

Passo 3: Substituir os valores encontrados na fórmula inicial

a m = Δ v Δ t  

É isso! Agora vamos praticar nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UFRJ, Física 1, Prova 1, 2012.1

Uma partícula descreve um movimento circular, com velocidade de módulo constante e igual a V . Num intervalo de tempo em que percorre 1 / 4 da circunferência, o módulo de seu vetor velocidade média é igual a

  1. 2 2 π V
  2. 1 4 V
  3. 2   V
  4. π 2 V
  5. 2 2 V
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Os dados do enunciado são

D a d o s V

O vetor velocidade média é

v m = Δ r Δ t

Vamos fazer um esboço do movimento, considerando o raio do movimento R .

Vamos considerar que o corpo está girando no sentido anti-horário.

Passo 2

O vetor em azul, é o vetor deslocamento, como ele quer o módulo do vetor velocidade média devemos ter o módulo do vetor deslocamento.

Δ r 2 = R 2 + R 2

Δ r = R 2

Passo 3

Então

v m = R 2 Δ t

Porém, não temos nenhuma dessas variáveis.

Passo 4

Sabemos que o módulo da velocidade é V ,

Como a velocidade é constante

V = Δ S Δ t

Onde Δ S é a distancia percorrida, que nesse caso é 1 / 4   do comprimento do círculo de raio R .

O comprimento de um circulo completo é 2 π R então

Δ S = 2 π R 4 = π R 2

t = π R 2 V

Passo 5

Substituindo na equação do módulo da velocidade média

v m = 2 V 2 π

- ''

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFRJ, Física 1, Prova 1, 2014.1

Uma partícula descreve um movimento circular de raio R , com velocidade de módulo constante e igual a V . Num intervalo de tempo em que percorre 1 / 2 da circunferência, o módulo de seu vetor aceleração média é

  1. z e r o ;
  2. 2 π R V 2 ;
  3. V 2 R ;
  4. 3 2 π R V 2 ;
  5. 2 2 π R V 2 ;
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Os dados do problema são

D a d o s V R

Para acharmos o vetor aceleração média temos

a m = Δ v Δ t

Devemos então achar Δ v .

Passo 2

Vamos fazer um esboço de como é esse movimento, como ele está com um movimento circular a velocidade é tangente ao círculo.]

Repare que, sabendo que o módulo das velocidades é V ,

v 0 = V j ^

v = - V j ^

Uma está apontando para cima, logo positiva, enquanto outra está apontando para baixo, logo negativa.

Passo 3

Voltando a fórmula do vetor aceleração média

a m = Δ v Δ t

a m = v - v 0 Δ t

a m = - V j ^ - V j ^ Δ t

a m = - 2 V j ^ Δ t

O módulo do vetor aceleração media é

a m = 2 V Δ t

Porém não temos Δ t

Passo 4

Sabemos que o módulo da velocidade é V ,

Como a velocidade é constante

V = Δ S Δ t

Onde Δ S é a distancia percorrida, que nesse caso é 1 / 2   do comprimento do círculo de raio R .

O comprimento de um circulo completo é 2 π R então

Δ S = 2 π R 2 = π R

Passo 5

V = π R Δ t

Queremos Δ t , então

Δ t = π R V

Passo 6

Substituindo na fórmula do módulo da aceleração vetorial

a m = 2 V Δ t

a m = 2 V π R V

a m = 2 V 2 π R

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #3

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 88- 68

Um gato pula em um carrossel que está descrevendo um movimento circular uniforme. No instante t 1 = 2,00   s a velocidade do gato é v 1 =   ( 3,00   m / s ) i ^   +   ( 4,00   m / s )   j ^ , medida em um sistema de coordenadas horizontal   x y . No instante t 2 = 5,00   s a velocidade é v 2 = ( - 3,00   m / s ) i ^ +   ( - 4,00   m / s )   j ^ . Quais são:

  1. o módulo da aceleração centrípeta do gato.
  2. a aceleração média do gato no intervalo de tempo t 2 - t 1 , que é menor que um período.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lá, galera!

Como ele nos diz que temos um MCU, no tempo t 1 e no tempo t 2 teremos as velocidades e o vetor posição r , como mostrado abaixo.

Passo 2

Mas se liga só, ele nos pede o módulo da aceleração centrípeta.

Lembra aí como se calcula? Saca só!

a c p = v 2 R

Mas quem seria o nosso v ?

Justamente o módulo da velocidade nos dois casos, que nada mais nada menos é que:

v = 3 ² + 4 ² = 5 m / s

Desta forma, teremos...

a c p = 5 2 R

Passo 3

Mas pera aí! Ele não falou o R , daí a conta não sai!

Calma! É só lembrar que, ω = θ t . Mas aí também temos que ω = v R .

Daí, teremos que:

v R = θ t

R = v t θ

Mas e aí? Não temos o θ !

Aí que vem o pulo do gato!

Lembra dos vetores posição lá da nossa primeira figura. Dizendo que ele fez o percurso entre t 1 e t 2 , teremos o seguinte caso:

E o nosso θ será θ = π .

Passo 4

Assim, vamos ter que:

R = 5.3 π = 15 π m

Agora, tacando lá na fórmula do Passo 2, teremos:

a c p = 5 2 R = 25 15 / π = 5 π 3 m / s ²

Passo 5

b)

Pela definição de aceleração média, teremos que:

a m e d = v f - v i t = - 3,00 m s i ^ +   - 4,00 m s j ^ - 3,00 m s i ^   +   4,00 m s j ^ 5 - 2

a m e d = - 6 i ^ - 8 j ^ 3 m / s ²

a m e d = - 2 i ^ - 2,667 j ^ m / s ²

Calculando o módulo da aceleração, teremos:

a m e d = - 2 2 + [ - 2,667 ] ² = 3,33 m / s ²

Resposta

a) a c p = 5 π 3 m / s ²

b) a m e d = - 2 i ^ - 2,667 j ^ m s 2             a m e d = 3,33 m / s ²

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