Velocidade e Aceleração Médias no Movimento Circular

Teoria Completa

Velocidade Média e Aceleração Média no Movimento Circular

Estudaremos agora a velocidade média e a aceleração média no Movimento Circular Uniforme.

Velocidade Média

Sabemos que a fórmula de velocidade média é:

v → m = Δ r → Δ t

Agora, como a aplicaremos no movimento circular uniforme?

Vamos pensar primeiro no ∆ r → , ou seja, o deslocamento que a partícula faz em um movimento circular. No movimento circular, ele é calculado da mesma forma, r → f i n a l -   r → i n i c i a l .

Exemplo:

Uma partícula que faz um movimento no sentido anti-horário de 1/4 de círculo, terá o ∆ r → da seguinte forma, representado pela setinha azul:

Nesse caso, para descobrirmos o valor de seu módulo, podemos fazer Pitágoras.

Δ r → 2 = R 2 + R 2

Δ r → = R 2

Show!

E o ∆ t ?

Como a velocidade escalar é constante, podemos descobri-lo por meio da fórmula que relaciona distância percorrida com o tempo.

V = ∆ s ∆ t

A distância percorrida vai ser o comprimento do círculo que a partícula percorreu.

No exemplo acima, a distância percorrida é 1 / 4     do comprimento do círculo de raio R .

Sabendo que o comprimento de um círculo completo é 2 π R então:

Δ S = 2 π R 4 = π R 2

Logo:

∆ t = π R 2 V

Após acharmos os valores de ∆ r → e ∆ t , podemos substituir na fórmula inicial e achamos o valor da velocidade média.

v → m = Δ r → Δ t

No exemplo que estudamos, o módulo é igual a:

v → m = 2 V 2 π

Tranquilo, né? Esse é o tipo de coisa que não é tão intuitivo, mas é tranquilo de aprender.

Aceleração média

A aceleração média é calculada por:

a → m = Δ v → Δ t

O passo a passo para achar seu módulo é o mesmo que o utilizado para achar o módulo da velocidade média. Lembre-se que a aceleração média é dada que sabemos os pontos inicial e final que queremos =D

Passo 1: Achar Δ v → por meio dos vetores. Aplicando

Δ v → = v → f i n a l -   v → i n c i a l

Passo 2: Achar Δ t da mesma forma que no caso da velocidade média.

OBS: A velocidade no Movimento Circular Uniforme é constante, a aceleração que existe é a centrípeta, ela não altera o módulo da velocidade tangencial, beleza? Então podemos aplicar V = Δ S / Δ t e, consequentemente

∆ t = ∆ s V

Passo 3: Substituir os valores encontrados na fórmula inicial

a → m = Δ v → Δ t  

É isso! Agora vamos praticar nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 1, Prova 1, 2012.1

Uma partícula descreve um movimento circular, com velocidade de módulo constante e igual a V . Num intervalo de tempo em que percorre 1 / 4 da circunferência, o módulo de seu vetor velocidade média é igual a

  1. 2 2 π V
  2. 1 4 V
  3. 2   V
  4. π 2 V
  5. 2 2 V
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Os dados do enunciado são

D a d o s V

O vetor velocidade média é

v → m = Δ r → Δ t

Vamos fazer um esboço do movimento, considerando o raio do movimento R .

Vamos considerar que o corpo está girando no sentido anti-horário.

Passo 2

O vetor em azul, é o vetor deslocamento, como ele quer o módulo do vetor velocidade média devemos ter o módulo do vetor deslocamento.

Δ r → 2 = R 2 + R 2

Δ r → = R 2

Passo 3

Então

v → m = R 2 Δ t

Porém, não temos nenhuma dessas variáveis.

Passo 4

Sabemos que o módulo da velocidade é V ,

Como a velocidade é constante

V = Δ S Δ t

Onde Δ S é a distancia percorrida, que nesse caso é 1 / 4   do comprimento do círculo de raio R .

O comprimento de um circulo completo é 2 π R então

Δ S = 2 π R 4 = π R 2

∆ t = π R 2 V

Passo 5

Substituindo na equação do módulo da velocidade média

v → m = 2 V 2 π

- ''

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Física 1, Prova 1, 2014.1

Uma partícula descreve um movimento circular de raio R , com velocidade de módulo constante e igual a V . Num intervalo de tempo em que percorre 1 / 2 da circunferência, o módulo de seu vetor aceleração média é

  1. z e r o ;
  2. 2 π R V 2 ;
  3. V 2 R ;
  4. 3 2 π R V 2 ;
  5. 2 2 π R V 2 ;
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Passo 1

Os dados do problema são

D a d o s V R

Para acharmos o vetor aceleração média temos

a → m = Δ v → Δ t

Devemos então achar Δ v → .

Passo 2

Vamos fazer um esboço de como é esse movimento, como ele está com um movimento circular a velocidade é tangente ao círculo.]

Repare que, sabendo que o módulo das velocidades é V ,

v → 0 = V j ^

v → = - V j ^

Uma está apontando para cima, logo positiva, enquanto outra está apontando para baixo, logo negativa.

Passo 3

Voltando a fórmula do vetor aceleração média

a → m = Δ v → Δ t

a → m = v → - v → 0 Δ t

a → m = - V j ^ - V j ^ Δ t

a → m = - 2 V j ^ Δ t

O módulo do vetor aceleração media é

a → m = 2 V Δ t

Porém não temos Δ t

Passo 4

Sabemos que o módulo da velocidade é V ,

Como a velocidade é constante

V = Δ S Δ t

Onde Δ S é a distancia percorrida, que nesse caso é 1 / 2   do comprimento do círculo de raio R .

O comprimento de um circulo completo é 2 π R então

Δ S = 2 π R 2 = π R

Passo 5

V = π R Δ t

Queremos Δ t , então

Δ t = π R V

Passo 6

Substituindo na fórmula do módulo da aceleração vetorial

a → m = 2 V Δ t

a → m = 2 V π R V

a → m = 2 V 2 π R

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 88- 68

Um gato pula em um carrossel que está descrevendo um movimento circular uniforme. No instante t 1 = 2,00   s a velocidade do gato é v → 1 =   ( 3,00   m / s ) i ^   +   ( 4,00   m / s )   j ^ , medida em um sistema de coordenadas horizontal   x y . No instante t 2 = 5,00   s a velocidade é v 2 → = ( - 3,00   m / s ) i ^ +   ( - 4,00   m / s )   j ^ . Quais são:

  1. o módulo da aceleração centrípeta do gato.
  2. a aceleração média do gato no intervalo de tempo t 2 - t 1 , que é menor que um período.
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Passo 1

Vamos lá, galera!

Como ele nos diz que temos um MCU, no tempo t 1 e no tempo t 2 teremos as velocidades e o vetor posição r → , como mostrado abaixo.

Passo 2

Mas se liga só, ele nos pede o módulo da aceleração centrípeta.

Lembra aí como se calcula? Saca só!

a → c p = v 2 R

Mas quem seria o nosso v ?

Justamente o módulo da velocidade nos dois casos, que nada mais nada menos é que:

v = 3 ² + 4 ² = 5 m / s

Desta forma, teremos...

a → c p = 5 2 R

Passo 3

Mas pera aí! Ele não falou o R , daí a conta não sai!

Calma! É só lembrar que, ω = ∆ θ ∆ t . Mas aí também temos que ω = v R .

Daí, teremos que:

v R = ∆ θ ∆ t

R = v ∆ t ∆ θ

Mas e aí? Não temos o ∆ θ !

Aí que vem o pulo do gato!

Lembra dos vetores posição lá da nossa primeira figura. Dizendo que ele fez o percurso entre t 1 e t 2 , teremos o seguinte caso:

E o nosso ∆ θ será ∆ θ = π .

Passo 4

Assim, vamos ter que:

R = 5.3 π = 15 π m

Agora, tacando lá na fórmula do Passo 2, teremos:

a → c p = 5 2 R = 25 15 / π = 5 π 3 m / s ²

Passo 5

b)

Pela definição de aceleração média, teremos que:

a → m e d = v → f - v → i ∆ t = - 3,00 m s i ^ +   - 4,00 m s j ^ - 3,00 m s i ^   +   4,00 m s j ^ 5 - 2

a → m e d = - 6 i ^ - 8 j ^ 3 m / s ²

a → m e d = - 2 i ^ - 2,667 j ^ m / s ²

Calculando o módulo da aceleração, teremos:

a → m e d = - 2 2 + [ - 2,667 ] ² = 3,33 m / s ²

Resposta

a) a → c p = 5 π 3 m / s ²

b) a → m e d = - 2 i ^ - 2,667 j ^ m s 2             a → m e d = 3,33 m / s ²

Exercício Resolvido #4

Elaboraação Própria

Uma formiga pula em uma roda gigante que está descrevendo um movimento circular uniforme de Raio valendo 2m. No instante t 1 = 2,00   s a velocidade da formiga é v → 1 =   ( 9 , 00   m / s ) i ^   +   ( 5 , 00   m / s )   j ^ , medida em um sistema de coordenadas horizontal   x y . No instante t 2 = 4 , 00   s a velocidade é v 2 → = ( - 9 , 00   m / s ) i ^ +   ( - 5 , 00   m / s )   j ^ . Calcule a aceleração centrípeta e a aceleração média da formiga no intervalo de tempo t 2 - t 1 , que é menor que um período.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá, galera!

Como ele nos diz que temos um MCU, no tempo t 1 e no tempo t 2 teremos as velocidades e o vetor posição r → , como mostrado abaixo.

E a gente pode calcular a aceleração centrípeta assim, né:

a → c p = v 2 R

Mas quem seria o nosso v ?

Justamente o módulo da velocidade nos dois casos, que nada mais nada menos é que:

v = 9 ² + 5 ² = 106 m / s

Desta forma, teremos...

a → c p = 106 2 2 = 53 m / s 2

Passo 2

Pela definição de aceleração média, teremos que:

a → m e d = v → f - v → i ∆ t = - 9 , 00 m s i ^ +   - 5 , 00 m s j ^ - 9 , 00 m s i ^   +   5 , 00 m s j ^ 4 - 2

a → m e d = - 18 i ^ - 10 j ^ 2 m / s ²

a → m e d = - 9 i ^ - 5 m / s ²

Calculando o módulo da aceleração, teremos:

a → m e d = - 9 2 + [ - 5 ] ² = 10,3 m / s ²

Resposta

a) a → c p = 53 m / s ²

b) a → m e d = - 9 i - 5 j ^ m s 2             a → m e d = 10,3 m / s ²

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Uma partícula descreve um movimento circular de raio 5m, com velocidade de módulo constante e igual a V . Num intervalo de tempo 10 segundos, a partícula anda 1 / 4 da circunferência. O módulo de seu vetor velocidade média é igual a

  1. 2 2 π m / s
  2. 1 4 m / s
  3. 2   m / s
  4. π 2 m / s
  5. 2 2 m / s
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Os dados do enunciado são

D a d o s V

O vetor velocidade média é

v → m = Δ r → Δ t

Vamos fazer um esboço do movimento, considerando o raio do movimento R .

Vamos considerar que o corpo está girando no sentido anti-horário.

Passo 2

O vetor em azul, é o vetor deslocamento, como ele quer o módulo do vetor velocidade média devemos ter o módulo do vetor deslocamento.

Δ r → 2 = R 2 + R 2

Δ r → = R 2

Passo 3

Então

v → m = R 2 Δ t = 5 2 10 = 2 2 m / s

Prontooo!

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #6

UFRJ Física 1 P1 2012.1

Uma partícula descreve um movimento circular, com velocidade de módulo constante e igual a V . Num intervalo de tempo em que percorre 1 / 4 da circunferência, o módulo de seu vetor velocidade média é igual a

  1. 2 2 π V
  2. 1 4 V
  3. 2   V
  4. π 2 V
  5. 2 2 V
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Passo 1

Os dados do enunciado são

D a d o s V

O vetor velocidade média é

v → m = Δ r → Δ t

Vamos fazer um esboço do movimento, considerando o raio do movimento R .

Vamos considerar que o corpo está girando no sentido anti-horário.

Passo 2

O vetor em azul, é o vetor deslocamento, como ele quer o módulo do vetor velocidade média devemos ter o módulo do vetor deslocamento.

Δ r → 2 = R 2 + R 2

Δ r → = R 2

Passo 3

Então

v → m = R 2 Δ t

Porém, não temos nenhuma dessas variáveis.

Passo 4

Sabemos que o módulo da velocidade é V ,

Como a velocidade é constante

V = Δ S Δ t

Onde Δ S é a distancia percorrida, que nesse caso é 1 / 4   do comprimento do círculo de raio R .

O comprimento de um circulo completo é 2 π R então

Δ S = 2 π R 4 = π R 2

Passo 5

V = π R 2 Δ t

No módulo do vetor velocidade média temos R / Δ t , então vamos achar essa razão em função de V .

R Δ t = 2 V π

Passo 6

Substituindo na equação do módulo da velocidade média

v → m = 2 V 2 π

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #7

Cinemática Tridimensional

Considere as seguintes afirmações sobre os vetores velocidade e aceleração de um corpo em movimento:

I ) A velocidade pode ser zero e a aceleração ser diferente de zero.

I I ) O módulo do vetor velocidade pode ser constante, com o vetor velocidade mudando com o tempo.

I I I ) O vetor velocidade pode ser constante mas seu módulo variar com o tempo.

I V ) O vetor velocidade pode mudar de sentido com o tempo mesmo que o vetor aceleração permaneça constante.

São verdadeiras as afirmações:

  1. Todas as afirmações
  2. I, II e III
  3. II e III
  4. I, II e IV
  5. Nenhuma das afirmações anteriores.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos analisar cada afirmação.

I ) Verdadeiro, Basta lembrarmos do lançamento vertical para cima, onde a velocidade na altura máxima e zero, porém a aceleração da gravidade ainda está atuando;

Passo 2

I I ) Verdadeiro, no movimento circular uniforme é exatamente isso que acontece, temos a aceleração centrípeta mudando o vetor velocidade, no caso variando sua direção, mas o seu módulo permanece constante.

Passo 3

I I I ) Falso, para o vetor ser constante ele precisa manter seu módulo constante.

Passo 4

I V ) Verdadeiro, é o que acontece no lançamento vertical para cima, a aceleração é constante, porem durante uma parte do movimento ele está com um sentido e em outra parte está com outro.

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #8

Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 2 questão 5

Um mergulhador realiza 2,5 giros ao saltar de uma plataforma de 10 metros. Supondo que a velocidade vertical inicial seja nula, determine a velocidade angular média do mergulhador.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Então, de acordo com as equações do movimento uniformemente acelerado, o tempo que o mergulhador leva para chegar à água é :

t = 2 h g = 2 10 m 9,8 m s 2 = 1,4   s

Nesse caso, de acordo com a equação da velocidade angular média, temos:

ω m é d = 2,5   r e v 2 π r a d r e v 1,4   s = 11   r a d / s

Resposta

ω m é d = 11   r a d / s

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