Movimento Circular Acelerado

Resumo Completo

Movimento Circular Acelerado

Estudaremos agora o Movimento Circular Acelerado, ou seja, aquele em que a velocidade da partícula varia.

Um exemplo desse movimento é esse carrinho que faz uma curva com o módulo da velocidade variando.

Percebemos que no Movimento Circular Acelerado há sempre duas componentes da aceleração: a aceleração centrípeta e a aceleração tangencial.

Aceleração Centrípeta

No Movimento Circular Uniforme, a aceleração centrípeta era sempre igual, já que a velocidade escalar era constante:

a c p = v 2 R

No Movimento Circular Acelerado, a fórmula continua valendo, mas ela não é sempre igual, já que a velocidade escalar varia devido à componente tangencial.

Dessa forma, numa circunferência, a aceleração centrípeta assume valor máximo no ponto para o qual a velocidade escalar possui seu máximo valor.

Aceleração Tangencial

A aceleração centrípeta não altera a velocidade escalar. A responsável pela variação da velocidade escalar é justamente a aceleração tangencial.

Logo,

a t = d v d t

É importante saber que a aceleração tangencial SEMPRE possui direção paralela à direção do vetor velocidade.

Quando a aceleração tangencial está no mesmo sentido, a velocidade escalar aumenta.

Quanto a aceleração tangencial está em sentido contrário, a velocidade escalar diminui.

Aceleração Resultante

Vamos chamar de aceleração resultante, a aceleração total do corpo. Ela é a soma vetorial da aceleração tangencial e da aceleração centrípeta.

Podemos achar o módulo da aceleração, com

a 2 = a c p 2 + a t 2

Aceleração Angular

A aceleração angular é a variação da velocidade angular em relação ao tempo.

α = ω t

Outra forma de escrever, é a seguinte:

α = ω - ω 0 t

ω = ω 0 + α t

Que nos lembra a formula da velocidade lá no MRUV.

:D

Daí, poderemos utilizar as mesmas formulas que usávamos pra lá só que onde tem distância trocamos por ângulos, onde tem velocidade trocamos por velocidade angular e onde tem aceleração trocamos por aceleração angular. Simples assim!

θ = θ 0 + ω 0 t + α t 2 2

E Torricelli também:

ω ² = ω 0 ² + 2 α θ

Tranquilão, né? Mas vamos lá!

Só lembrando. No MCU que a aceleração centrípeta não causa aceleração angular, já que a velocidade angular é constante, no entanto, a aceleração tangencial causa aceleração angular, já que ela altera a velocidade escalar em que a partícula faz o percurso e a velocidade angular.

Uma relaçãozinha que podemos usar, e que é bem parecida com a da velocidade angular é a relação entre aceleração tangencial, aceleração angular e o raio do movimento é dada pela fórmula:

a t =   α   x   R

Tratando da forma vetorial, ou apenas...

a t = α R

;D

Agora, galera, vamos exercitar pra fixar bem tudo isso aí.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 83

A roda-gigante da figura abaixo, gira no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio. Em dado instante, um passageiro na periferia da roda e passando no ponto mais baixo do movimento circular se move a 3,00   m/s e está ganhando velocidade com uma taxa de 0,500   m/ s 2 . a) Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração do passageiro nesse instante. b) Faça um desenho do passageiro e da roda-gigante mostrando o vetor velocidade e o vetor aceleração.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pelo enunciado, considerando o movimento do passageiro, ele está em um movimento circular, e sua velocidade está aumentando.

Isso nós diz que neste caso temos aceleração centrípeta (movimento circular) e aceleração tangencial (aumento da velocidade).

Os dados do enunciado são

Dados v = 3   m / s a t = 0,5   m / s 2

Passo 2

a)

Para encontrarmos a aceleração total, primeiro vamos lembrar que ela é a soma vetorial da aceleração centrípeta com a aceleração tangencial.

Precisamos então calcular primeiro a aceleração centrípeta, usando a sua fórmula

a c p = v 2 R

a c p = 3 2 14 = 9 14   m/ s 2

Passo 3

Vamos fazer um esquema para mostrar o valor da aceleração total,

Temos cada componente

a c p = 9 14   m / s 2 a t = 0,5   m / s 2

Usando a fórmula de aceleração total,

a 2 = a c p 2 + a t 2

a 2 = 9 14 2 + 0,5 2

a = a = 65 98   m/ s 2

Passo 4

b)

O esquema ficará

Resposta

  1. a = a = 65 98   m/ s 2

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

No instante t = 0 , uma partícula parte com velocidade angular de 20 r a d / s em trajetória circular de raio 80 c m e sofre uma desaceleração de 2 r a d / s ² até parar. Determine:

  1. O número de voltas que ela realiza;
  2. O tempo de movimento;
  3. A aceleração tangencial.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bora lá!

Aqui o problema é bem simples. A partícula está lá rodando na moral quando sofre uma desaceleração até parar. Isso nos lembra de um problema de MRUV, só que aqui ao invés de deslocamento linear teremos o angular.

Passo 2

a)

Sabendo disso, podemos utilizar a relação de Torricelli pra ângulos, já que temos a velocidade angular inicial, a velocidade angular final, a aceleração angular e o θ . Daí, teremos:

ω ² = ω 0 2 + 2 α θ

Como aqui temos ω 0 = 20 r a d / s , ω = 0 ,   e α = - 2 r a d / s ² .

Substituindo ali, teremos:

20 2 = 2.2 . θ

400 = 4 θ

θ = 100 r a d

Como em uma volta, temos 2 π   r a d , fazendo regra de três, teremos:

1 v o l t a - - - - - - 2 π   r a d

n   v o l t a s - - - - - 100   r a d

n = 50 π   v o l t a s

Passo 3

b)

Utilizando agora a equação de Movimento Circular Uniformemente Acelerado que utiliza o tempo, teremos:

θ = θ 0 + ω 0 t + α t 2 2

100 = 0 + 20 t - t ²

Opa, encontramos uma equação do 2° grau. Agora é só usar Bháskara e correr pro abraço. Vamos lá!

t 2 - 20 t + 100 = 0

= 20 2 - 4.1 . 100 = 0

Como = 0 a gente só vai ter uma raiz, então...

t = - b ± 2 a = 20 2 = 10 s

Meio chato ter que fazer Bháskara, né? Podemos também resolver de uma forma mais simples usando essa fórmula:

ω = ω 0 + α t

Como ω 0 = 20 r a d / s , ω = 0 ,   e α = - 2 r a d / s ² :

0 = 20 - 2 t

t = 10   s

Passo 4

c)

Ah, aqui é bem mais simples!

Lembra lá, a aceleração tangencial é calculada por

a t g = α R

a t g = - 2.0,8 = - 1,6 m / s ²

E é isso aí!

Resposta

a) n = 50 π   v o l t a s

b) t = 10 s

c) a t g = - 1,6 m / s ²

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração Própria

A aceleração de um corpo faz um ângulo de π / 6   r a d com a tangente do movimento, como mostrado na figura abaixo. Determine a equação que relaciona a velocidade angular e a aceleração angular.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Nós sabemos que a aceleração tangencial pode ser relacionada com a aceleração angular.

a t = α R

E a aceleração centrípeta é

a c p = v 2 R

Mas queremos a velocidade angular e não a escalar, lembrando que

v = ω R

E substituindo na equação pra aceleração centrípeta, fica

a c p = ω R 2 R = ω 2 R

Tá mas e agora?

Passo 2

Como ele deu o ângulo podemos faz as componentes da aceleração, uma tangencial e outra apontando para o centro da curva, no caso a centrípeta.

Vamos usar a “regra COlado/SEparado”

a t = a cos π 6 = 3 2 a

a c p = a sen π 6 = 1 2 a = a 2

Passo 3

Beleza, mas e agora?

Dividindo a aceleração tangencial pela centrípeta que temos no passo 1 vamos encontrar

a t a c p = α R ω 2 R = α ω 2

Agora fazendo a mesma coisa só que com as equações do passo 2

a t a c p = 3 2 a a 2 = 3

Podemos igualar esses dois resultados

α ω 2 = 3

E pronto temos uma relação entre os dois.

Resposta

α ω 2 = 3

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