Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas

Teoria Completa

Aprendemos lá na cinemática linear que a velocidade e aceleração instantâneas são as velocidade e aceleração médias quando pegamos um instante beeeeem pequenininho de tempo.

Portanto, para termos a velocidade e aceleração angulares instantâneas, basta fazer aquela troca de sempre: s por θ e v por ω , resultando então em:

ω = d θ d t

α = d ω d t = d 2 θ d t 2

Como podemos aplicar isso? Imagina que tenhamos uma partícula que possui o seu deslocamento angular θ regido pela seguinte expressão:

θ t = 4 t 3 + 3 t

O exercício pode nos pedir a expressão da velocidade ou da aceleração angular dessa partícula, e você irá agir como agiria no caso linear: derivando! Portanto:

ω t = 12 t 2 + 3

α t = 24 t

O contrário também pode ser feito. Imagina que o exercício te dê a expressão de uma aceleração angular:

α t = 2 t 2

E se ele te pedir a velocidade angular? Isso mesmo! Integra!

ω t = ∫ 2 t 2 d t

ω t = 2 3 t 3 + C

Essa resposta não tá completa, certo? Para conseguirmos, o enunciado deve nos dá uma informação sobre a velocidade em algum instante. Vamos supor que ele nos informou que ω 0 = 0 .

Substituindo essa informação na expressão encontrada:

C = 0

E então:

ω t = 2 3 t 3

Safo? De boa? Bora praticar!

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Exercício Resolvido #1

UVA- 2016- Lista 3- Questão 7- Prof Otávio Castellani

Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo e θ = a t + b t 3 - c t 4 , onde a , b e c são constantes. Escreva expressões para o vetor velocidade angular

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Passo 1

Bom, sabemos a relação da velocidade angular com o deslocamento angular:

ω = d θ d t

Portanto, para obtermos a expressão da velocidade angular, basta derivarmos a expressão do deslocamento. Então:

ω t = a + 3 b t 2 - 4 c t 3

Tranquilo, né?

Resposta

ω = a + 3 b t 2 - 4 c t 3

Exercício Resolvido #2

UVA- 2016- Lista 3- Questão 10- Prof Otávio Castellani

A posição angular de um ponto sobre uma roda que está girando é dada por θ = 2 + 4 t 2 + 2 t 3 , onde θ está em radianos e t em segundos. Em t = 0 , qual é a posição angular do ponto ?

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Passo 1

Temos a expressão de θ em função do tempo, certo? Para obter o θ em um tempo específico, basta substituir, se liga:

θ 0 = 2 + 4   .   0 2 + 2   .   0 3 = 2   r a d

Resposta

a )   2   r a d

Exercício Resolvido #3

Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 2 questão 8

A aceleração angular de uma roda é a   =   6,0 t 4   - 4,0 t 2 , com a em radianos por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante t   = 0 , a roda tem uma velocidade angular de + 2,0   r a d / s e uma posição angular de +   1,0   r a d . Escreva expressões

a) para a velocidade angular (em r a d / s ) e

b) para a posição angular (em r a d ) em função do tempo (em s ).

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Passo 1

Integrando em relação ao tempo a expressão dada para a aceleração e levando em conta que a velocidade inicial é 2,0   r a d / s , obtemos:

ω   =   1,2 t 5   – 1,33   t 3   +   2,0

Passo 2

E agora, integrando novamente e levando em conta que a posição angular inicial é 1   r a d , obtemos;

θ   =   0,20 t 6   –   0,33   t 4   +   2,0   t   +   1,0

Resposta

ω   =   1,2 t 5   – 1,33   t 3   +   2,0

θ   =   0,20 t 6   –   0,33   t 4   +   2,0   t   +   1,0

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

Exercício Resolvido #4

Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 2 questão 4

A posição angular de um ponto de uma roda é dada por θ   =   2,0   +   4,0 t 2   +   2,0 t 3 , onde θ está em radianos e t em segundos. Em t   = 0 , qual é:

a) a posição angular no ponto?

b) a velocidade angular do ponto?

c) Qual éa velocidade angular em t   =   4,0   s ?

d) Calcule a aceleração angular em t   =   2,0   s .

e) A aceleração angular da roda é constante?

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Passo 1

Fazendo t   =   0 na função dada, obtemos θ 0   =   2,0   r a d .

Passo 2

Ec omo sabemos, a velocidade angular em função do tempo é dada por:

ω = d θ d t = 8 t + 6 t 2

Fazendo   t   =   0   na função acima, obtemos ω 0   =   0 .

Passo 3

Para t   =   4,0   s , função do item (b) nos dá :

ω 4   =   8,0 4,0 +   6,0 4,0 2   =   128 r a d s =   1,3 *   10 2   r a d / s

Passo 4

A aceleração angular em função do tempo é dada pela derivada da velocidade angular em função do tempo, então:

α = d ω d t = 8 + 12 t

Para t   =   2,0 , a equação acima nos dá α 2   =   8,0   +   ( 12,0 ) ( 2,0 )   =   32   r a d / s 2 .

Passo 5

De acordo com a equação obtida no item (d), a aceleração angular varia com o tempo e, portanto, não é constante.

Resposta

θ 0   =   2,0   r a d

ω 0   =   0

ω 4 =   1,3 *   10 2   r a d / s

α 2     =   32   r a d / s 2

De acordo com a equação obtida no item (d), a aceleração angular varia com o tempo e, portanto, não é constante.

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

Exercício Resolvido #5

Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 5 questão 20

Um objeto gira em torno de um eixo fixo e a posição angular de uma reta de referência sobre o objeto é dada por θ =   0,40 e 2 t , onde θ está em radianos e t   em segundos. Considere um ponto do objeto situado a 4,0   c m do eixo de rotação . Em t   = 0   , qual é o módulo

a) da componente tangencial no ponto?

b) da componente radial da aceleração do ponto?

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Passo 1

A função θ = ζ e β t   é usada para descrever a posição angular de uma reta.

Ele quer informações a respeito da aceleração.

Sabemos que:

α = d 2 θ d 2 t

Derivando a função duas vezes em relação ao tempo, obtemos:

ω = d θ d t = ζ β e β t   e     α = d 2 θ d 2 t = ζ β 2 e β t

Show! Já sabemos o mósulo da aceleração angular. Vamos lembrar de mais umas relações aqui:

α t = α r

Como vimos α = d 2 θ d 2 t

Então:

α t = α r

α t = d 2 θ d 2 t r

Substituindo:

α t = ζ β 2 e β t r

Fazendo r   =   0,04   m , ζ   =   0,40   m , β   =   2   s - 1 e t   =   0 , obtemos α t   =   0,064   m / s 2 .

Passo 2

Como a gente já viu, α r = ω 2 r = r d θ d t 2 = r ζ 2 β 2 e 2 β t .

Fazendo r   =   0,04   m , ζ   =   0,40   m , β   =   2   s - 1 e t   =   0 , obtemos α r =   0,026   m / s 2 .

Resposta

α t   =   0,064 m s 2

α r =   0,026   m / s 2

Exercício Resolvido #6

Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 5 questão 22

Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga. A centrífuga tem um raio de 10   m e, partindo do repouso, gira de acordo com a equação θ = 0,30 t 2 , onde   t está em segundos e θ em radianos. No instante t   =   5,0   s , calcule o módulo

a) da velocidade angular

b) da velocidade linear

c) da aceleração tangencial

d) da aceleração radial do astronauta

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Passo 1

Bom, de acordo com o que vimos, a velocidade angular no instante t   =   5,0   s é

ω = d θ d t t = 5 s = d d t ( 0,30 t 2 ) t = 5 s = 2 0,30 5 = 3 r a d s

Passo 2

E agora, a velocidade linear no instante t   =   5,0 s é

v = ω r = 3 r a d s 10 m = 30 m s

Passo 3

E agora, pra aceleração angular, temos:

α = d ω d t = d d t 0,60 t = 0,60 r a d / s 2

E a aceleração tangencial é:

α t = r α = 10 m 0,60 r a d s 2 = 6 m / s 2

Passo 4

E a aceleração radial ou centrípeta é calculada por:

a r = ω 2 r = 3 r a d s 2 10 m = 90 m / s

Resposta

ω = 3 r a d s

v = 30 m s

α t = 6 m / s 2

a r = 90 m / s

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

Exercício Resolvido #7

Elaboração Própria

Uma partícula tem uma aceleração angular que varia com o tempo conforme a equação: α = 6 t + 3 t 2 .

a) Encontre a velocidade angular em função do tempo t .

b) Encontre o valor dessa aceleração e da velocidade angular no instante t=2s.

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Passo 1

Aqui devemos lembrar que

α = d ω d t

Então pra gente encontrar a velocidae angular a partir da equação da aceleração angular, devemos integrar, ou seja:

ω = ∫ α d t

Passo 2

Integrando a equação dada pela questão, temos:

α = 6 t + 3 t 2

∫ α d t = ∫ 6 t + 3 t 2 d t