Velocidade Angular e Aceleração Angular Instantâneas
Teoria
Aprendemos lá na cinemática linear que a velocidade e aceleração instantâneas são as velocidade e aceleração médias quando pegamos um instante beeeeem pequenininho de tempo.
Portanto, para termos a velocidade e aceleração angulares instantâneas, basta fazer aquela troca de sempre: por e por , resultando então em:
Como podemos aplicar isso? Imagina que tenhamos uma partícula que possui o seu deslocamento angular regido pela seguinte expressão:
O exercício pode nos pedir a expressão da velocidade ou da aceleração angular dessa partícula, e você irá agir como agiria no caso linear: derivando! Portanto:
O contrário também pode ser feito. Imagina que o exercício te dê a expressão de uma aceleração angular:
E se ele te pedir a velocidade angular? Isso mesmo! Integra!
Essa resposta não tá completa, certo? Para conseguirmos, o enunciado deve nos dá uma informação sobre a velocidade em algum instante. Vamos supor que ele nos informou que .
Substituindo essa informação na expressão encontrada:
E então:
Safo? De boa? Bora praticar!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UVA- 2016- Lista 3- Questão 7- Prof Otávio Castellani
Durante um intervalo de tempo t, o volante de um gerador gira de um ângulo e , onde , e são constantes. Escreva expressões para o vetor velocidade angular
Passo 1
Bom, sabemos a relação da velocidade angular com o deslocamento angular:
Portanto, para obtermos a expressão da velocidade angular, basta derivarmos a expressão do deslocamento. Então:
Tranquilo, né?
Resposta
Exercício Resolvido #2
UVA- 2016- Lista 3- Questão 10- Prof Otávio Castellani
A posição angular de um ponto sobre uma roda que está girando é dada por , onde está em radianos e em segundos. Em , qual é a posição angular do ponto ?
Passo 1
Temos a expressão de em função do tempo, certo? Para obter o em um tempo específico, basta substituir, se liga:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 2 questão 8
A aceleração angular de uma roda é , com em radianos por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante , a roda tem uma velocidade angular de e uma posição angular de . Escreva expressões
a) para a velocidade angular (em ) e
b) para a posição angular (em ) em função do tempo (em ).
Passo 1
Integrando em relação ao tempo a expressão dada para a aceleração e levando em conta que a velocidade inicial é , obtemos:
Passo 2
E agora, integrando novamente e levando em conta que a posição angular inicial é , obtemos;
Resposta
Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então
Exercício Resolvido #4
Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 2 questão 4
A posição angular de um ponto de uma roda é dada por , onde está em radianos e em segundos. Em , qual é:
a) a posição angular no ponto?
b) a velocidade angular do ponto?
c) Qual éa velocidade angular em ?
d) Calcule a aceleração angular em .
e) A aceleração angular da roda é constante?
Passo 1
Fazendo na função dada, obtemos .
Passo 2
Ec omo sabemos, a velocidade angular em função do tempo é dada por:
Fazendona função acima, obtemos .
Passo 3
Para , função do item (b) nos dá :
Passo 4
A aceleração angular em função do tempo é dada pela derivada da velocidade angular em função do tempo, então:
Para , a equação acima nos dá .
Passo 5
De acordo com a equação obtida no item (d), a aceleração angular varia com o tempo e, portanto, não é constante.
Resposta
De acordo com a equação obtida no item (d), a aceleração angular varia com o tempo e, portanto, não é constante.
Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então
Exercício Resolvido #5
Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 5 questão 20
Um objeto gira em torno de um eixo fixo e a posição angular de uma reta de referência sobre o objeto é dada por , onde está em radianos e em segundos. Considere um ponto do objeto situado a do eixo de rotação . Em , qual é o módulo
a) da componente tangencial no ponto?
b) da componente radial da aceleração do ponto?
Passo 1
A função é usada para descrever a posição angular de uma reta.
Ele quer informações a respeito da aceleração.
Sabemos que:
Derivando a função duas vezes em relação ao tempo, obtemos:
Show! Já sabemos o mósulo da aceleração angular. Vamos lembrar de mais umas relações aqui:
Como vimos
Então:
Substituindo:
Fazendo , , e , obtemos .
Passo 2
Como a gente já viu, .
Fazendo , , e , obtemos .
Resposta
Exercício Resolvido #6
Halliday 9ª edição vol.1 cap.10 seção 5 questão 22
Um astronauta está sendo testado em uma centrífuga. A centrífuga tem um raio de e, partindo do repouso, gira de acordo com a equação , onde está em segundos e em radianos. No instante , calcule o módulo
a) da velocidade angular
b) da velocidade linear
c) da aceleração tangencial
d) da aceleração radial do astronauta
Passo 1
Bom, de acordo com o que vimos, a velocidade angular no instante é
Passo 2
E agora, a velocidade linear no instante é
Passo 3
E agora, pra aceleração angular, temos:
E a aceleração tangencial é:
Passo 4
E a aceleração radial ou centrípeta é calculada por:
Resposta
Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então
Exercício Resolvido #7
Elaboração Própria
Uma partícula tem uma aceleração angular que varia com o tempo conforme a equação: .
a) Encontre a velocidade angular em função do tempo .
b) Encontre o valor dessa aceleração e da velocidade angular no instante t=2s.
Passo 1
Aqui devemos lembrar que
Então pra gente encontrar a velocidae angular a partir da equação da aceleração angular, devemos integrar, ou seja:
Passo 2
Integrando a equação dada pela questão, temos:
Prontinho!
Passo 3
Agora aplicando o tempo de 2 segundos pra descobrirmos a velocidade angular e a aceleração angular instantâneas, temos:
Conseguimos!
Resposta
- e
Exercício Resolvido #8
Elaboração Própria
Uma partícula tem sua posição angular que varia com o tempo conforme a equação: .
- Encontre a velocidade angular em função do tempo .
- Encotnre a aceleração angular em função do tempo
c) Encontre o a posição, a velocidade e a aceleração angular no instante t=1s.
Passo 1
Como a gente já viu:
Então vamos derivar a equação da posição pra descobrirmos a velocidade, né? Bora lá:
Passo 2
E agooora, pra gente encontrar a celeração angular, temos que:
Prontinho, agora vamos derivar:
Showw!
Passo 3
Pra encontrar a posição, velocidade e aceleração angulares nesse instante devemos só susbtituir o valor do tempo nas equações, então:
Showw! Acabamos!
Resposta
- , e
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