Equações do Movimento em Notação Vetorial

Teoria Completa

Equações do Movimento em Notação Vetorial

Vamos ver como aplicar as equações do movimento uniforme e do movimento uniformemente variado em um movimento bidimensional ou tridimensional.

A primeira ideia que temos que construir para entender tudo desse assunto é que o movimento de um objeto em um eixo é completamente independente do movimento do mesmo objeto em outro eixo.

Isso que acabei de lhe dizer significa que um objeto pode mover-se no eixo x em um movimento acelerado, no eixo y ele pode estar parado e no eixo z estar executando um movimento uniforme.

Então não se assuste se ver que o movimento em um eixo é diferente do movimento em outro eixo.

Mas, vamos as fórmulas né! Bem, as equações vão continuar as mesmas pois o tempo é um escalar.

Equação da posição

r → t = r → 0 + v → . t + a → . t 2 2

Equação da velocidade

v → t = v → 0 + a → . t

Vamos ver um exemplo!

Uma bola passa na origem com aceleração a → = 3,0 . i ^ + 0 . j ^ + 0 . k ^ m / s 2 e velocidade v → = ( 1,0 i ^ + 0 j ^ + 5,0 k ^ ) . Qual é a posição e a velocidade dessa bola 10   s depois de passar na origem.

Vamos calcular a posição da bola usando a equação da posição

r → t = r → 0 + v → . t + a → . t 2 2

Como no inicio ele estava na origem, temos que r 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , e vamos substituir nossos vetores na equação

r → t = 1,0 i ^ + 0 j ^ + 5,0 k ^ . t + 3,0 . i ^ + 0 . j ^ + 0 . k ^ . t 2 2

Vamos agora juntar tudo que for de um eixo

r → t = 1,0 . t + 3,0 . t 2 2 . i ^ + 0 . j ^ + 5,0 . t . k ^

Observe que no eixo x   temos um movimento acelerado, no eixo y a bola ta parada e no eixo z a bola executa um movimento uniforme.

Vamos calcular r → ( 10 )

r → 10 = 1 × 10 + 3 × 50 . i ^ + 0 . j ^ + 5 × 10 . k ^

r → 10 = 160 . i ^ + 0 . j ^ + 50 . k ^

Agora, para calcular v → ( 10 ) vamos usar a equação da velocidade

v → t = v → + a → . t

v → t = 1,0 i ^ + 0 j ^ + 5,0 k ^ + 3,0 . i ^ + 0 . j ^ + 0 . k ^ . t

Reescrevendo a equação juntando as informações de cada eixo

v → t = 1 + 3 . t i ^ + 0 . j ^ + 5 . k ^

v → 10 = 1 + 3 × 10 . i ^ + 0 . j ^ + 5 . k ^

v → 10 = 31 . i ^ + 0 . j ^ + 5 . k ^

Bom já resolvemos o problema, mas poderíamos ter resolvido o problema analisando o movimento em cada eixo separadamente e assim trabalhando como se o movimento fosse unidimensionalmente pois os movimentos são independentes entre os eixos.

Vamos aos exercícios fixar tudo que aprendemos!

Expandir

Exercício Resolvido #1

DEF.FE

Um corpo encontra-se inicialmente (em unidades do SI) com velocidade  v → 0 = 5 j + 4 k . Em qualquer instante, a aceleração é dada pela expressão  a → = 2 t 2 i + 3 t k . Encontre a expressão para a velocidade em função do tempo.

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Passo 1

Para a velocidade, podemos usar a formulinha da velocidade!

Essa aqui ó:

v → = v → 0 ± ∫ 0 t a d t

Show! Temos a velocidade inicial e a aceleração, então:

v → = ( 5 j + 4 k ) ± ( 2 t 3 3 i + 3 t 2 2 k )

Agora somando as componentes no mesmo eixo coordenado, temos:

v → = 2 t 3 3 i + 5 j + ( 3 t 2 2 + 4 ) k

Prontinho!

Resposta

v → = 2 t 3 3 i + 5 j + ( 3 t 2 2 + 4 ) k

Exercício Resolvido #2

UNIVAP

Uma partícula, cuja velocidade   v → 0 = - 2,0 i + 4,0 j   m / s   em t=0, sofre uma aceleração constante a → de módulo a = 3,0 m / s 2 , que faz um ângulo θ = 130 ° com o eixo-x positivo. Qual é, aproximadamente, a velocidade v → em t = 5,0 s ?

Obs: Pega a calculadora que vai te ajudar :D

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Passo 1

Como temos uma aceleração constante, podemos usar essa formulinha aqui ó:

v → = v → 0 ± a t

Né não? Mas pra descobrirmos o vetor velocidade, como temos componentes no eixo x e no eixo y, podemos dividir essa equação pra cada eixo, né? Ou seja:

v x = v 0 x + a x t                                         v y = v 0 y + a y t                            

Então vamo lá! Primeiro passo é encontrar nossa aceleração nos dois eixos coordenados x e y. Como essa aceleração faz um ângulo de 130 ° com o eixo x, temos que:

a x = a c o s θ = - 1,93 m / s 2

a y = a s e n θ = 2,30 m / s 2

Show! Primeira parte já foi.

Passo 2

Agora que temos nossas acelerações em cada um dos eixos coordenados, quando jogamos seus valores nas equações com t = 5,0 s , temos:

v x = v 0 x + a x t   → v x = - 2 + - 1,93 . 5 = - 11,65 m / s

v y = v 0 y + a y t   → v y = + 4 + 2,30.5 = 15,50 m / s

Aproximando as valores como a questão nos pede, temos:

v → = - 12 i + 16 j m / s

Conseguimos! Acabamos! :D

Resposta

v → = - 12 i + 16 j m / s

Exercício Resolvido #3

Paul A. Tripler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros, Volume 1, 6ª edição, Cap 3, pp 86 xx 50

No tempo zero, uma partícula está em x = 4,0   m e y = 3,0   m e tem a velocidade v → = ( 2,0   m / s ) i ^   + ( - 9,0   m / s ) j ^ . A aceleração da partícula é constante e dada por a → = ( 4,0   m / s 2 ) i ^   + ( 3,0   m / s 2 ) j ^ . a   Encontre a velocidade em t = 2,0   s b   Expresse o vetor posição em t = 4,0   s em termos de i ^ e j ^ . Além disso, dê a magnitude e a orientação do vetor posição neste tempo.

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Passo 1

O problema quer a velocidade e a posição da partícula em um determinado tempo. Para isso vamos usar as equações do movimento.

v → t = v → 0 + a → . t

r → t = r → 0 + v → . t + a → . t 2 2

Passo 2

a   Vamos encontrar a velocidade em t = 2   s , para isso vamos usar a fórmula da velocidade

v → 2 = ( 2,0   m / s ) i ^   + ( - 9,0   m / s ) j ^ + 4,0   m / s 2 i ^   + 3,0   m / s 2 j ^ . 2   s

v → 2 = 2,0 + 8,0 i ^ + - 9,0 + 6,0 j ^ m / s

v → 2 = 10,0 . i ^ - 3,0 . j ^   m / s

Passo 3

b   Agora vamos encontrar a posição da partícula no momento t = 4   s , faremos isso utilizando da equação da posição.

r → t = 4,0 . i ^ + 3,0 . j ^ + 2,0   m / s i ^   + - 9,0   m / s j ^ . t + 4,0   m / s 2 i ^   + 3,0   m / s 2 j ^ . t 2 2

r → 4 = 4,0 . i ^ + 3,0 . j ^ + 2,0   m / s i ^   + - 9,0   m / s j ^ . 4 + 4,0   m / s 2 i ^   + 3,0   m / s 2 j ^ . 4 2 2

r → 4 = 4,0 + 8,0 + 32 . i ^ + 3,0 - 36 + 24 . j ^   m

r → 4 = 44,0 . i ^ - 9,0 . j ^ m

Passo 4

Quando escrevemos algo em notação vetorial a orientação já está clara no vetor, então nos resta encontrar a magnitude desse vetor. Bom, isso é o mesmo que achar o tamanho do vetor, ou seja, o problema quer o módulo, então faremos isso.

r 2 = 44 2 + - 9 2

r = 193 6 + 81

r = 44,91   m