Equações do Movimento em Notação Vetorial

Teoria Completa

Equações do Movimento em Notação Vetorial

Vamos ver como aplicar as equações do movimento uniforme e do movimento uniformemente variado em um movimento bidimensional ou tridimensional.

A primeira ideia que temos que construir para entender tudo desse assunto é que o movimento de um objeto em um eixo é completamente independente do movimento do mesmo objeto em outro eixo.

Isso que acabei de lhe dizer significa que um objeto pode mover-se no eixo x em um movimento acelerado, no eixo y ele pode estar parado e no eixo z estar executando um movimento uniforme.

Então não se assuste se ver que o movimento em um eixo é diferente do movimento em outro eixo.

Mas, vamos as fórmulas né! Bem, as equações vão continuar as mesmas pois o tempo é um escalar.

Equação da posição

r → t = r → 0 + v → . t + a → . t 2 2

Equação da velocidade

v → t = v → 0 + a → . t

Vamos ver um exemplo!

Uma bola passa na origem com aceleração a → = 3,0 . i ^ + 0 . j ^ + 0 . k ^ m / s 2 e velocidade v → = ( 1,0 i ^ + 0 j ^ + 5,0 k ^ ) . Qual é a posição e a velocidade dessa bola 10   s depois de passar na origem.

Vamos calcular a posição da bola usando a equação da posição

r → t = r → 0 + v → . t + a → . t 2 2

Como no inicio ele estava na origem, temos que r 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , e vamos substituir nossos vetores na equação

r → t = 1,0 i ^ + 0 j ^ + 5,0 k ^ . t + 3,0 . i ^ + 0 . j ^ + 0 . k ^ . t 2 2

Vamos agora juntar tudo que for de um eixo

r → t = 1,0 . t + 3,0 . t 2 2 . i ^ + 0 . j ^ + 5,0 . t . k ^

Observe que no eixo x   temos um movimento acelerado, no eixo y a bola ta parada e no eixo z a bola executa um movimento uniforme.

Vamos calcular r → ( 10 )

r → 10 = 1 × 10 + 3 × 50 . i ^ + 0 . j ^ + 5 × 10 . k ^

r → 10 = 160 . i ^ + 0 . j ^ + 50 . k ^

Agora, para calcular v → ( 10 ) vamos usar a equação da velocidade

v → t = v → + a → . t

v → t = 1,0 i ^ + 0 j ^ + 5,0 k ^ + 3,0 . i ^ + 0 . j ^ + 0 . k ^ . t

Reescrevendo a equação juntando as informações de cada eixo

v → t = 1 + 3 . t i ^ + 0 . j ^ + 5 . k ^

v → 10 = 1 + 3 × 10 . i ^ + 0 . j ^ + 5 . k ^

v → 10 = 31 . i ^ + 0 . j ^ + 5 . k ^

Bom já resolvemos o problema, mas poderíamos ter resolvido o problema analisando o movimento em cada eixo separadamente e assim trabalhando como se o movimento fosse unidimensionalmente pois os movimentos são independentes entre os eixos.

Vamos aos exercícios fixar tudo que aprendemos!

Expandir

Exercício Resolvido #1

DEF.FE

Um corpo encontra-se inicialmente (em unidades do SI) com velocidade  v → 0 = 5 j + 4 k . Em qualquer instante, a aceleração é dada pela expressão  a → = 2 t 2 i + 3 t k . Encontre a expressão para a velocidade em função do tempo.

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Passo 1

Para a velocidade, podemos usar a formulinha da velocidade!

Essa aqui ó:

v → = v → 0 ± ∫ 0 t a d t

Show! Temos a velocidade inicial e a aceleração, então:

v → = ( 5 j + 4 k ) ± ( 2 t 3 3 i + 3 t 2 2 k )

Agora somando as componentes no mesmo eixo coordenado, temos:

v → = 2 t 3 3 i + 5 j + ( 3 t 2 2 + 4 ) k

Prontinho!

Resposta

v → = 2 t 3 3 i + 5 j + ( 3 t 2 2 + 4 ) k

Exercício Resolvido #2

UNIVAP

Uma partícula, cuja velocidade   v → 0 = - 2,0 i + 4,0 j   m / s   em t=0, sofre uma aceleração constante a → de módulo a = 3,0 m / s 2 , que faz um ângulo θ = 130 ° com o eixo-x positivo. Qual é, aproximadamente, a velocidade v → em t = 5,0 s ?

Obs: Pega a calculadora que vai te ajudar :D

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Passo 1

Como temos uma aceleração constante, podemos usar essa formulinha aqui ó:

v → = v → 0 ± a t

Né não? Mas pra descobrirmos o vetor velocidade, como temos componentes no eixo x e no eixo y, podemos dividir essa equação pra cada eixo, né? Ou seja:

v x = v 0 x + a x t                                         v y = v 0 y + a y t                            

Então vamo lá! Primeiro passo é encontrar nossa aceleração nos dois eixos coordenados x e y. Como essa aceleração faz um ângulo de 130 ° com o eixo x, temos que:

a x = a c o s θ = - 1,93 m / s 2

a y = a s e n θ = 2,30 m / s 2

Show! Primeira parte já foi.

Passo 2

Agora que temos nossas acelerações em cada um dos eixos coordenados, quando jogamos seus valores nas equações com t = 5,0 s , temos:

v x = v 0 x + a x t   → v x = - 2 + - 1,93 . 5 = - 11,65 m / s

v y = v 0 y + a y t   → v y = + 4 + 2,30.5 = 15,50 m / s

Aproximando as valores como a questão nos pede, temos:

v → = - 12 i + 16 j m / s

Conseguimos! Acabamos! :D

Resposta

v → = - 12 i + 16 j m / s

Exercício Resolvido #3

Paul A. Tripler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros, Volume 1, 6ª edição, Cap 3, pp 86 xx 50

No tempo zero, uma partícula está em x = 4,0   m e y = 3,0   m e tem a velocidade v → = ( 2,0   m / s ) i ^   + ( - 9,0   m / s ) j ^ . A aceleração da partícula é constante e dada por a → = ( 4,0   m / s 2 ) i ^   + ( 3,0   m / s 2 ) j ^ . a   Encontre a velocidade em t = 2,0   s b   Expresse o vetor posição em t = 4,0   s em termos de i ^ e j ^ . Além disso, dê a magnitude e a orientação do vetor posição neste tempo.

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Passo 1

O problema quer a velocidade e a posição da partícula em um determinado tempo. Para isso vamos usar as equações do movimento.

v → t = v → 0 + a → . t

r → t = r → 0 + v → . t + a → . t 2 2

Passo 2

a   Vamos encontrar a velocidade em t = 2   s , para isso vamos usar a fórmula da velocidade

v → 2 = ( 2,0   m / s ) i ^   + ( - 9,0   m / s ) j ^ + 4,0   m / s 2 i ^   + 3,0   m / s 2 j ^ . 2   s

v → 2 = 2,0 + 8,0 i ^ + - 9,0 + 6,0 j ^ m / s

v → 2 = 10,0 . i ^ - 3,0 . j ^   m / s

Passo 3

b   Agora vamos encontrar a posição da partícula no momento t = 4   s , faremos isso utilizando da equação da posição.

r → t = 4,0 . i ^ + 3,0 . j ^ + 2,0   m / s i ^   + - 9,0   m / s j ^ . t + 4,0   m / s 2 i ^   + 3,0   m / s 2 j ^ . t 2 2

r → 4 = 4,0 . i ^ + 3,0 . j ^ + 2,0   m / s i ^   + - 9,0   m / s j ^ . 4 + 4,0   m / s 2 i ^   + 3,0   m / s 2 j ^ . 4 2 2

r → 4 = 4,0 + 8,0 + 32 . i ^ + 3,0 - 36 + 24 . j ^   m

r → 4 = 44,0 . i ^ - 9,0 . j ^ m

Passo 4

Quando escrevemos algo em notação vetorial a orientação já está clara no vetor, então nos resta encontrar a magnitude desse vetor. Bom, isso é o mesmo que achar o tamanho do vetor, ou seja, o problema quer o módulo, então faremos isso.

r 2 = 44 2 + - 9 2

r = 193 6 + 81

r = 44,91   m

Resposta

a   v → 2 = 10,0 . i ^ - 3,0 . j ^   m / s

b   r → 4 = 44,0 . i ^ - 9,0 . j ^ m

              r → = 44,91   m

Exercício Resolvido #4

DEF.FE

Um canhão dispara uma bala, desde o terraço de um edifício, na posição (unidades SI):

r → 0 = 9 i + 4 j + 15 k

com velocidade inicial (unidades SI):

v → 0 = 13 i + 22,5 j + 15 k

em que o eixo dos z aponta na direção vertical, para cima, e com origem no chão. Admitindo que a resistência do ar pode ser desprezada, calcule a altura máxima atingida pela bala e a posição em que a bala bate no chão.

Obs: Pega a calculadora que cê pode precisar ;)

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Passo 1

Usando o sistema de eixos definido no enunciado do problema como z na vertical, o vetor aceleração é  a → = - 9,8   k ^   m / s 2 , sendo a gravidade. A expressão do vetor velocidade em função de um instante t qualquer obtém-se a partir da equação das velocidades, né? Aquela lá:

v → = v → 0 - a t

Então vamo lá! Substituindo nossos dados, temos:

v → = 13 i + 22,5 j + 15 k - 9,8 k t

Juntando cada coordenada, temos:

v → = 13 ) i + ( 22,5 ) j + ( 15 - 9,8 t k

A altura máxima será atingida no instante em que a velocidade seja nula na vertical, ou seja, no nosso caso, quando a componente  v → z  da velocidade for nula. Show, né? Então devemos igualar a componente em z a 0.

15 - 9,8 t = 0

t = 15 9,8 = 1,531 s

Como queremos a altura máxima, temos que substiruir esse tempo na equação da posição na direção z:

H m a x = z 0 + v 0 z t + a z t 2 2

Substituindo os dados:

H m a x = 15 + 15 ( 1,531 ) + - 9,8 1,531 2 2

H m a x ≅ 26,5   m

Passo 2

Agora pra gente encontrar a posição onde a bala bate no chão, sabemos que a equação do espaço é dada por:

r → = r 0 + v → 0 t - a t 2 2

r → = ( 9 i + 4 j + 15 k ) + 13 i + 22,5 j + 15 k t - 9,8 k t 2 2

Para calcular o instante em que a bala bate no chão, ou seja, o instante onde a altura Z é igual a 0, calcula-se o tempo t em que a componente z da posição é igual a zero, né? :p Então vamo lá:

r z = 15 + 15 t - 4,9 t 2

Usando Bháskara nessa equaçãozinha do segundo grau, temos que:

t = 3,855 s

E pra gente descobrir a posição da bala nesse instante é só substituirmos esse valor de t na equação do espaço! Vamo nessa:

r → = ( 9 i + 4 j + 15 k ) + 13 i + 22,5 j + 15 k t - 9,8 k t 2 2

r → = ( 9 i + 4 j + 15 k ) + 13 i + 22,5 j + 15 k 3,855 - 9,8 k ( 3,855 ) 2 2

r → = ( 9 + 13.3,855   ) i + ( 4 + 22,5.3,855   ) j

r → = ( 5 9 , 12 i + 90.74 j )

Resposta

H m a x ≅ 26,5   m e r → = ( 5 9 , 12 i + 90.74 j )

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 85-17

Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial v → = 3,00 i ^   m / s e uma aceleração constante a → = - 1,00 i ^ - 0,500 j ^ m / s 2 . Quando ela atinge o máximo valor de sua coordenada x , quais são a   a sua velocidade e b   o seu vetor posição?

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Passo 1

O problema quer a velocidade e posição da partícula quando ela atinge o máximo valor de sua coordenada x . Bom, aqui entra uma parte teórica importante, vamos observar os dados que temos sobre o movimento no eixo x .

m o v i m e n t o   e m   x v x = 3   m / s a x = - 1   m / s 2

A partícula só se moverá para frente (sentido positivo do eixo x ) se a velocidade for positiva. No momento que a velocidade for negativa a partícula começará a voltar no eixo x movendo-se para trás. Como a aceleração é negativa sabemos que ela irá diminuir o valor da velocidade.

Passo 2

a   Assim, teremos o máximo valor na coordenada x   quando a velocidade x for zero, v x = 0 . Vamos calcular isso então, analisando apenas o eixo x .

Como estamos estudando apenas o movimento no eixo x podemos trabalhar como se fosse um movimento unidimensional e por isso

v x = v x 0 + a . t

Onde a velocidade final é zero v = 0 , a velocidade inicial é v 0 = 3   m / s e a aceleração é a = - 1   m / s 2 .

0 = 3 - 1 . t

t = 3   s

Agora vamos analisar o movimento no eixo y , pois já sabemos o instante em que a partícula atinge o máximo valor da coordenada x , como queremos saber a velocidade em y neste instante, basta sunstituir t = 3   s na equação da velocidade.

v y 3 = v y 0 + a . t

Onde v y 0 = 0 e aceleração é a = - 0,5   m / s 2

v y 3 = 0 - 0,5   .   3

v y 3 = - 1,5   m / s  

Agora que já descobrimos a velocidade em cada eixo, vamos escrever o vetor velocidade

v → = 0 . i ^ - 1,5 j ^   m / s

Passo 3

b Como já descobrimos o instante de tempo em que a partícula atinge o máximo valor da coordenada do eixo x . Basta substituirmos esse t na equação da posição que acharemos o vetor posição.

r → 3 = 3,0 . i ^ + 0 . j ^ . t + - 1,0 . i ^ - 0,5 . j ^ . 3 2 2

r → 3 = 9,0 - 4,5 . i ^ + 0 - 2,25 . j ^

r → 3 = 4,5 . i ^ - 2,25 . j ^   m

Resposta

a   v → = 0 . i ^ - 1,5 j ^   m / s

b   r → 3 = 4,5 . i ^ - 2,25 . j ^   m

Exercício Resolvido #6

UNICAMP-1ªProva-2013.2

Na figura abaixo, a partícula A se move ao longo da reta y = 30   m com uma velocidade constante v → paralela ao eixo x . No instante de tempo em que a partícula A passa pelo eixo y , a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante a → de módulo 0,40   m / s 2 , o ângulo entre a → e o semi-eixo y positivo é θ = 60 ° .

a Escreva uma expressão para a velocidade da partícula B .

b   Escreva uma expressão para a posição da partícula A em função do tempo.

c   Escreva uma expressão para a posição da partícula B em função do tempo.

d   Que valor de velocidade v → deve ter a particula A para que aconteça a colisão?

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Passo 1

a Basta lembrar da fórmula que diz que v = v 0 + a t . Mas como a velocidade inicial da partícula B é nula e ela está inclinada aos eixos x e y , teremos que decompor ela assim:

v → b = a x t   i ^ + a y t   j ^ = a sen ⁡ θ   t   i ^ + a cos ⁡ θ   t   j ^

v → b = 0,20 3   t   i ^ + 0,20 t   j ^   m

Passo 2

b   Nessa teremos que lembrar da fórmula r = r 0 + v t + a t 2 2 , a partícula A não tem aceleração. Então vamos decompor nos eixos x e y assim:

r → A = v t   i ^ + 30 j ^

Passo 3

c   Novamente vamos utilizar a fórmula r = r 0 + v t + a t 2 2 , só que na partícula B não tem velocidade inicial e a posição inicial é zero. Então vamos decompor assim:

r → b t = 1 2 a x t 2 i ^ + 1 2 a y t 2 j ^

r → b t = 0,10 3 t 2 i ^ + 0,10 t 2 j ^

Passo 4

d   Para que aconteça a colisão r → b t = r → A t para o mesmo instante de tempo, assim obtemos:

Igualando em y :

r b y = r A y

30 = 0,10 t 2

t = 10 3   s

Igualando em x :

r b x = r A x

v t = 0,10 3 t 2

v . 10 3 = 0,10 3   300

v = 3   m / s

E, portanto:

v → = 3   m / s   i ^

Resposta

a   v → b = 0,20 3   t   i ^ + 0,20 t   j ^   m

b   r → A ( t ) = v t   i ^ + 30 j ^

c   r → b t = 0,10 3 t 2 i ^ + 0,10 t 2 j ^