Lançamento Horizontal

Teoria Completa

Olá galera bonita, nós somos o Responde Aí, a plataforma de exatas que vai salvar o seu semestre!!

Hoje nós vamos falar sobre o lançamento horizontal. Se você precisa aprender esse conteúdo ou está com algumas dúvidas, você chegou ao lugar certo 😉 Partiu?

Conhecimentos Prévios

Existem alguns conceitos que são bem importantes que você saiba para poder entender bem o lançamento horizontal. Eu vou deixar esses conceitos prévios listados aqui embaixo e se você ainda não entende super bem algum deles, você dá uma conferida lá e depois volta para essa página aqui, combinado?

Movimento Retilíneo Uniforme

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Lançamento Horizontal

O lançamento horizontal nada mais é que o movimento de um objeto que ocorre tanto na horizontal quanto na vertical e que o objeto sai da posição inicial somente com velocidade na horizontal. O fato interessante para esse lançamento é que o movimento que ele faz na horizontal é um movimento retilíneo uniforme (MRU) enquanto o movimento na vertical é um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

Por esse motivo, para resolvermos problemas de lançamento horizontal não precisamos conhecer nenhuma fórmula nova, vamos usar as fórmulas que usamos para o MRU e para o MRUV.

Menos fórmulas para gravar!

📢 ALERTA: Acabamos de falar que para resolvermos problemas de lançamento horizontal vamos utilizar as fórmulas do MRU e MRUV, então é importante que você tenha um mente essas fórmula, beleza? Nós temos uma tabela, onde reunimos todas as fórmulas úteis de cinemática retilínea, inclusive as fórmulas que precisamos para esse conteúdo agora. Confere aqui 👇🏽

                           Tabela de fórmulas do MRU e MRUV
Tabela de fórmulas do MRU e MRUV

É mais fácil entender como vamos resolver um problema de lançamento horizontal através de um exemplo, então é isso que vamos fazer.

EXEMPLO: Um professor para estimular seus alunos, dá um peteleco em uma bola que está em cima de uma mesa a altura uma latura $h=20~m$ e diz a eles que a velocidade com que a bola sai da mesa é horizontal e igual $v=10~m/s$ , então o professor pergunta aos alunos em quantos segundos a bola tocará o chão e ainda pede para acharem o alcance. Dados: $g=10 ~m/s^2$.

RESOLUÇÃO:

Primeiro, em um lançamento horizontal o objeto descreve uma trajetória como mostra a figura, justamente por ter um movimento na horizontal e outro na vertical.

Trajetória de um objeto em um lançamento horizontal
Trajetória de um objeto em um lançamento horizontal

Agora, o que vamos fazer é separar os movimentos, horizontal e vertical, e resolver um eixo de cada vez. Ao separarmos esses movimentos vamos ver que o objeto terá uma velocidade no eixo $x$, referente ao movimento na horizontal, e uma velocidade no eixo $y$, referente ao movimento na vertical.

Separação dos movimentos horizontal e vertical em um lançamento horizontal
Separação dos movimentos horizontal e vertical em um lançamento horizontal

Vamos começar analisando o movimento na vertical, eixo $y$. Nesse eixo nós temos um movimento retilíneo uniformemente acelerado, sendo a acelaração a aceleração da gravidade $g$ (que aponta para baixo e portanto entrará na fórmula com sinal negativo), partindo da posição inicial $S_0=20~m$ e indo até o chão, $S=0~m$. Além disso, a velocidade inicial no eixo $y$ é zero, $v_{0y}=0$, porque em um lançamento horizontal só temos velocidade inicial na horizontal.

Dito isso, vamos utilizar a equação da posição para o movimento acelerado:

Equação ds posição para o movimento acelerado
Equação ds posição para o movimento acelerado

Substituindos os valores que temos conseguimos achar o tempo que a bola leva para chegar ao chão:

Equação da posição para o movimento acelerado aplicada ao movimento vertical do exemplo
Equação da posição para o movimento acelerado aplicada ao movimento vertical do exemplo

Agora, vamos analisar o movimento horizontal, eixo $x$. É o movimento na horizontal que nos dá o alcance que o exemplo está pedindo, uma vez que o alcance é o quanto a bola anda no eixo $x$ até chegar ao chão.

Vamos usar a equação da posição para o movimento retilíneo uniforme:

Equação da posição para o movimento retilíneo uniforme
Equação da posição para o movimento retilíneo uniforme

Vamos assumir que a bola parte da posição $0$ na horizontal. A velocidade é constante e nós conhecemos, $v=10~m/s$, e o tempo que a bola leva para chegar ao chão nós acabamos de calcular, então vamos substituir os valores e achar $S_x$

Equação da posição para o MRU aplicada ao movimento horizontal do exemplo
Equação da posição para o MRU aplicada ao movimento horizontal do exemplo

E prontinho, achamos o alcance também!

Deu pra entender como encarar um problema de lançamento vertical?

Agora que terminamos a teoria, é hora de EXERCITAR. Para isso eu vou deixar aqui embaixo 👇🏾 um vídeo, no qual um exercício é resolvido passo-a-passo com você. Dá uma conferida aí!

Exercício em vídeo

Confere esse vídeo aí de exercício resolvido passo-a-passo, tenho certeza que vai amar! 😉

Expandir

Exercício Resolvido #1

Seduc-PI

Num experimento, são utilizadas duas bolas de bilhar idênticas, um lançador de bolas horizontal e um ambiente com ar muito rarefeito, de maneira que os corpos em movimento apresentam resistência do ar desprezível. Por meio de sensores e fotografia estroboscópica, o experimento consiste em acompanhar o tempo de queda das duas bolas e caracterizar o tipo de movimento que elas descrevem durante a queda. As duas são colocadas numa mesma altura inicial h, ficando a bola B sobre uma plataforma. A bola A é abandonada no mesmo instante que a bola B é lançada horizontalmente com velocidade V.

Assumindo que a aceleração da gravidade é constante, é correto afirmar que:

a) a bola A tem o tempo de queda menor que o tempo de queda da bola B.

b) a bola A tem o tempo de queda maior que o tempo de queda da bola B.

c) os tempos de queda das duas bolas são iguais e a bola B descreve um movimento uniforme.

d) as duas componentes da velocidade da bola B são descritas por um movimento uniforme variado.

e) os tempos de queda das duas bolas são iguais e a bola A descreve um movimento uniforme variado.

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Passo 1

O tempo de queda das bolas é determinado para o movimento vertical delas, né? Que ocorre sob ação da aceleração da gravidade, e pode ser calculado assim (considerando a velocidade sendo 0 no ponto máximo):

H f = H 0 + v 0 t + g t 2 2

∆ H = g t 2 2

t = 2 H g  

Como podemos ver, o tempo de queda depende apenas da altura e da gravidade de onde se encontram as bolinhas. Como elas estão na mesma altura e sujeitas a mesma aceleração da gravidade, o tempo de queda será o mesmo para as duas bolinhas, e a única diferença é que a bola B, além do movimento na vertical, executa um movimento na horizontal e para a direita.

Caindo sob a ação da força da gravidade, o movimento da bola A é retilíneo e uniformemente variado.

Resposta

e) os tempos de queda das duas bolas são iguais e a bola A descreve um movimento uniforme variado.

Exercício Resolvido #2

USP-1ª Prova-2014

Uma bola desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito com uma velocidade v 1 → até chegar a borda de uma mesa e cair em queda livre. No exato momento em que atinge o solo a velocidade da bola é v 2 → . Quanto vale a componente vertical da velocidade da bola neste instante?

a v 1

b v 1 + v 2

c   v 2 - v 1

d v 1 2 + v 2 2

e v 2 2 - v 1 2

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Passo 1

Inicialmente a bola tá deslizando sobre a mesa e ao chegar na borda a gente tem a seguinte situação:

Muito bem, a mesa não tem atrito então a bola chega à ponta da mesa com velocidade:

v 1 → = v 1   i ^

Ou seja a velocidade horizontal é constante!

Após isso, a bola cai da mesa e começa a sofrer ação aceleração da gravidade que vai acelerá-la na vertical e no esquema vai ficar dessa forma:

Ao chegar no solo, a bola agora terá uma componente y e uma componente x e o seu vetor velocidade pode ser visto como a resultante das outras duas velocidades.

E vetorialmente a gente soma as componentes dos dois vetores.

v 2 → = v 1   i ^ + v y   j ^

Nas alternativas o v 2 aparece em módulo, sem a indicação de vetor. Então vamos tirar o módulo de v 2 fazendo o teorema de Pitágoras com o triângulo da figura:

Daí teremos o módulo de v 2 :

v 2 = v 1 2 + v y 2

Pronto! Agora é só isolar o v y :

v 2 2 = v 1 2 + v y 2

v y 2 = v 2 2 - v 1 2

Enfim:

v y = v 2 2 - v 1 2

Resposta

Letra e

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 86-25

Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de 10   m / s em direção a um ponto P , o centro de um alvo de parede. Ele atinge um ponto Q do alvo, verticalmente abaixo de P , 0,19 s depois do arremesso. a Qual é a distância P Q ? b A que distância do alvo foi arremessado o dardo?

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Passo 1

O item ( a ) quer saber qual a distância que o dardo anda no eixo y dado que no estado inicial ele estava na posição P , como queremos o deslocamento no eixo y vamos usar a equação do movimento uniformemente variado para resolver este item.

Já no item b ele pede a distância entre o alvo e o dardo, como se ele pedisse o alcance e por isso vamos usar a rquação do movimento uniforme para encontrar essa distância no eixo x .

Passo 2

a   Para descobrirmos a distância P Q , que é a posição final menos a posição inicial ( S - S 0 ) , vamos analisar o movimento no eixo y e por isso vamos usar a equação da posição de um movimento acelerado.

S y = S y 0 + v . t + a . t 2 2

O problema nos forneceu que o lançamento é horizontal, então v y = 0 , a = - g e ainda deu o instante que o dardo acerta o ponto Q , t =   0,19   s .

S y - S y 0 = - g . 0,19 2 2

S y - S y 0 = - 0,177   m

Como o problema pede apenas a distância entre P Q não faz sentido colocarmos sinal na resposta, por isso

P Q = 0,177   m

Mas vale lembrar que o sinal de negativo nos mostra que o ponto Q está abaixo do ponto P . O que já era de se esperar por ser um lançamento horizontal.

Passo 3

b A distância entre o alvo e o dardo é no eixo x . Por isso vamos analisar o movimento nesse eixo para encontrarmos a resposta. Como o movimento em x é uniforme temos uma única equação possível

S x = S x 0 + v . t

Queremos saber o deslocamento do dado em t = 0,19   s dado que o dardo parte com velocidade de 10   m / s

S x - S x 0 = 10   .   0,19

S x - S x 0 = 1,9   m

Resposta

a   P Q = 0,177   m

b   S x - S x 0 = 1,9   m

Exercício Resolvido #4

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 82 - Modificado

Uma bola de tênis rola para fora da extremidade de uma mesa situada a uma altura igual a 1,250   m acima do solo e atinge o solo em um ponto situado a 1,40   m da extremidade da mesa. Despreze a resistência do ar. a Ache o tempo de percurso. b Ache o módulo da velocidade inicial. c Ache o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola imediatamente antes de a bola atingir o solo.

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Passo 1

Ele diz que a bola de tênis, atinge o solo em um ponto a 1,40   m , essa é a maior distância horizontal que ele atinge, seu alcance.

No eixo x temos um Movimento Uniforme.

No eixo y , temos um lançamento vertical, que neste caso é uma queda livre.

Pelo enunciado, temos os seguintes dados:

D a d o s S 0 x = 0   m S 0 y = 1,25   m A = 1,4   m v 0 y = 0   m / s a → = - g j ^ = - 9,8 j ^   m / s 2

Passo 2

a   O tempo de percurso é o tempo que a bola leva para chegar ao chão, então

S y = 0   m

Como não temos a velocidade inicial em x e temos a velocidade inicial em y , vamos usar o movimento vertical.

S y = S 0 y + v 0 y t + a t 2 2

0 = 1,25 + 0 t - 9,8 t 2 2

t 2 = 0,25 5

t = 0,5   s

Passo 3

b   Para acharmos o módulo da velocidade inicial, devemos encontrar suas componentes. A velocidade inicial em y já temos, precisamos da velocidade inicial em x . Para isso vamos usar a equação da posição com o alcance.

S x = S 0 x + v x t

1,4 = 0 + v x . 0,5

v x = v 0 x = 2,8   m / s

Passo 4

Para achar o módulo da velocidade basta fazer a fórmula do módulo de um vetor.

v → 2 = v x 2 + v y 2

v → 0 2 = v 0 x 2 + v 0 y 2

v → 0 2 = 2,8 2 + 0 2

v → 0 = 2,8   m / s

Passo 5

c   A velocidade horizontal é constante, então já temos a componente horizontal da velocidade no momento que ele chega ao solo.

Devemos então encontrar a velocidade vertical que ela chega ao solo, para podermos calcular o módulo da velocidade.

Como temos um M.U.V., e encontramos o tempo no item a , vamos usar a fórmula da velocidade pelo tempo.

v y = v 0 y + a t

v y = 0 - 9,8 . 0,5

v y = - 4,9   m / s

Assim o vetor velocidade fica da seguinte forma

v → = 2,8 . i ^ - 4,9 . j ^   m / s

Passo 6

Para calcularmos o módulo vamos usar a fórmula do módulo de um vetor.

v → 2 = v x 2 + v y 2

v → 2 = 2,8 2 + - 4,9 2

v → 2 = 3 1 , 8 5

v → = 31,85 m / s = 5,64   m / s

Resposta

a t = 0,5   s

b v → 0 = 2,8   m / s

c   v → = 2,8 . i ^ - 4,9 . j ^   m / s

            v → = 31,85   m / s = 5,64 m / s

Exercício Resolvido #5

Seduc-Pi

Um avião tipo caça, voa horizontalmente a uma altitude de 500m, com velocidade constante, cujo módulo é 360km/h, numa região em que a aceleração da gravidade tem módulo g=10m/s2 . Num determinado instante o piloto recebe uma ordem de soltar uma bomba para atingir um alvo na superfície do solo e a executa imediatamente. Desprezando os efeitos da resistência do ar e supondo a superfície do solo plana, a distância horizontal, em metros, entre o avião e o alvo, no instante em que a bomba foi abandonada, é igual a

a) 1000m

b) 1100m

c) 1200m

d) 2400m

e) 4320m

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Passo 1

Primeiro vamos imaginar nossa situação, temos algo assim, ó:

Considerando que a bomba é abandonada, temos que v 0 = 0 , e como ela vai cair 500m, essa é exatamente a distância percorrida pela bombinha! Como queremos a distância horizontal da bombinha, podemos descobrir o tempo de queda da bomba (que vai ser o mesmo tempo que ela ta percorrendo uma distância na horizontal) e usarmos esse tempo pra calcular o alcance dela na horizontal, sacou? Como a bomba tá em queda, ou seja, no sentido a favor da gravidade, nossa aceleração vai ter sinal positivo. Analisando nossa equação horária do espaço de um Movimento Uniforme Variado, temos:

S f = S 0 + v 0 t + a t 2 2

Como estamos tratando de um lançamento vertical, nosso espaço é a altura, e nossa aceleração é a própria gravidade, né? Então:

H f = H 0 + v 0 t + g t 2 2

Como v 0 = 0 , a gente fica com:

∆ H = g t 2 2

Substituindo ∆ H por 500 e g por 10, temos:

500 = 10 t 2 2

t = 10 s

Show! Acabamos a primeira parte.

Passo 2

Agora que sabemos que o movimento da bomba durou 10 segundos e temos a sua velocidade, que é constante, ou seja, não temos aceleração na horizontal, é só usarmos aquela nossa clássica formulinha de Movimento Uniforme, da velocidade média!

v = ∆ S ∆ t

Pô, temos o tempo e temos a velocidade! Agora é só jogar na formulinha! OPA! Mas peraí, né? Nossa velocidade tá em km/h, t nossas respostas estão todas em metros. Então vamos converter de km/h pra m/s, dividindo por 3,6, né? Show:

360 k m / s 3,6 = 100 m / s

Perfeito! Agora podemos substituir:

v = ∆ S ∆ t → 100 = ∆ S 10

∆ S = 1000 m

Conseguimosss! Fechamos!

Resposta

a)1000m

Exercício Resolvido #6

Paul A. Tripler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros, Volume 1, 6ª edição, Cap 3, pp 88-80

Um avião de carga está voando Horizontalmente a uma altitude de 12   k m , com uma rapidez de 900   k m / h , quando um grande caixote cai da rampa de acesso traseira. (Ignore a resistância do ar) a Quanto tempo o caixote leva para chegar ao solo? b Ao atingir o solo, qual é a distância horizontal do caixote ao ponto em que ele se soltou do avião? c Ao atingir o solo, qual é a distância do caixote ao avião, supondo que este continuou com a mesma velocidade?

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Passo 1

O problema é um lançamento horizontal, pois como o caixote estava viajando com o avião a 900   k m / h e derrepente foi solto do avião o caixote continuará a se mover com 900   k m / h no eixo x já que o enunciado pede para desconsiderar a resistência do ar e vai começar a executar um movimento de queda livre no eixo y .

Passo 2

a   Para descobrirmos o tempo que o caixote leva para chegar ao chão vamos olhar o movimento de queda livre no eixo y . Pela equação da posição temos:

S y = S y 0 + v y 0 t + a . t 2 2

Como aceleração está em m / s devemos passar a posição para metros também

0 = 12000 - g . t 2 2

- 12000 = - 4,9 . t 2

t =   ± 49,5   s

Como o tempo sempre é positivo, podemos desconsiderar esse valor negativo que encontramos.

t = 49,5 s

Passo 3

b O problema nos pede o alcance do objeto, vamos analisar o movimento do caixote no eixo x . Como é um lançamento horizontal sabemos que o corpo continuará se movendo com velocidade constante de 900   k m / h no eixo x .

S x = S x 0 + v x . t  

Como a velocidade está em k m / h   e o tempo em segundos, devemos passar a velocidade para m / s

S x = 0 + 900 3,6 . 49,5  

S x = 12375 m = 12 , 375 k m

Passo 4

c   O avião e o caixote continuam com a mesma velocidade no eixo x , por isso a distância deles no eixo x é zero.

Como a avião não muda sua posição no eixo y , e o caixote sai da altura 12   k m e vai para zero. Temos que a distância entre els no eixo y é 12   k m

Vamos então representar essa distância em vetores unitários

d = 0 . i ^ + 12 . j ^ = 12 j ^ ( k m )

Resposta

a   t = 49 , 5   s

b   S x = 12,375 k m

c   d = 12 . j ^     ( k m )

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 88-53

Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com uma velocidade de 1,52   m / s . Os degraus têm 20,3   c m   de altura e   20,3   c m   de largura. Em qual degrau a bola bate primeiro?

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Passo 1

A bola executa um lançamento horizontal de forma que ela vai caindo e andando para frente até encontrar o chão (um degrau qualquer da escada).

Porém o chão não é mais reto, a cada 20 ,   3   c m o “chão” desce 20,3   c m . Vamos representar esse “movimento” do chão da seguinte forma S = N . 0,203 , onde N representa o numero de degraus. Observe que passamos o 20,3   c m   para 0,203   m .

Queremos descobrir para qual N a equação da posição no eixo x e no eixo y são satisfeitas. Vamos começar analisando o movimento no eixo x .

Passo 2

Vamos analisar o movimento no eixo x . A bola encontrará o chão em um instante de tempo t em uma posição N . 0,203 . Como é um lançamento horizontal, sabe-se que o movimento é uniforme, sendo assim usaremos a única equação do movimento uniforme.

S x = S x 0 + v . t

Considerando o início da escada sendo a posição S X 0 = 0

N . 0,203 = 1,52 . t

Podemos isolar t

t = 0,1335 . N

Passo 3

Vamos analisar o movimento no eixo y agora. Como é um lançamento horizontal temos que v y 0 = 0 , a = - g . Como sempre vamos chamar o chão como posição zero, e por isso temos que a bola sai da posição S y 0 = N . 0,203

S y = S y 0 + v y 0 .   t + a . t 2 2

0 = N 0,203 - g . t 2 2

N . 0,203 = 4,9 . t 2

Passo 4

No Passo 2 encontramos uma relação entre N e t , vamos substituir essa relação na equação que acabamos de encontrar para achar N

No passo dois achamos que

t = 0,1335 . N

Terminamos de achar, analisando o movimento em y

N . 0,203 = 4,9 . t 2

Substituindo, temos

N = 4,9 0,203 . 0,1335 . N 2    

N = 0,43 . N 2

Se N = 0 , teremos a posição inicial, que foi de onde a bola saiu, então esse valor de N não nos interessa. Vamos achar o outro e por isso podemos cortar o N

1 = 0,43 . N

N = 2 ,   322

Como N representa o número de degraus, isso significar que a bola baterá no chão no 3 º degraus.

Resposta

3 º   Degrau.

Exercício Resolvido #8

USP-1ª Prova-2014

Um corpo de massa m sai do repouso e cai em queda livre de uma altura H com relação ao solo. Quando ele passa pela altura h (veja a figura abaixo) é desviado por um anteparo de modo que assume uma nova velocidade na horizontal tal que o módulo dessa velocidade é igual ao módulo da velocidade que o corpo tinha imediatamente antes de ser desviado.

a Ache o vetor velocidade com que o corpo é lançado na horizontal.

b A que distância x A de sua posição inicial o corpo atinge o solo?

c Quais valores de h dariam o mesmo alcance x A ?

d Qual valor de h maximiza x A ?

Note que para uma função f ( x ) , o valor x = x 0 que maximiza esta função é obtido tomando a derivada com relação a x e igualando a zero de forma que d f d x x = x 0 = 0 .

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Passo 1

a