Teoria Completa
Vetor Velocidade Instantânea
Velocidade instantânea é a velocidade da partícula naquele exato momento. Em um movimento unidimensional dizemos que a velocidade instantânea é a derivada da função posição. Isso também é valido para duas ou três dimensões, temos que o vetor velocidade instantânea é a derivada da equação do vetor posição.
Eita, mas como derivar um vetor?? Parece estranho né! Mas para nossa felicidade é bem tranquilo. Basta derivar suas coordenadas separadamente.
Como o vetor velocidade é derivada do vetor posição, pode-se dizer que o vetor deslocamento é a integral do vetor velocidade :
Para integrar um vetor iremos separar e fazer a integral coordenada por coordenada
Vetor Aceleração Instantânea
A aceleração é o quanto a velocidade varia no tempo. Assim como fizemos com o vetor velocidade instantânea, o vetor aceleração instantânea poder ser escrito como a derivada do vetor velocidade no tempo.
Como vimos, podemos escrever de outra maneira
Como o vetor aceleração é derivada do vetor velocidade, pode-se dizer que a variação da velocidade é a integral do vetor aceleração :
Para integrar um vetor iremos separar e fazer a integral coordenada por coordenada
Mantenha em mente que:
- Para achar o vetor deslocamento você deve integrar o vetor velocidade;
- Para achar o vetor velocidade instantânea você deve derivar o vetor posição;
- Para achar o vetor variação da velocidade você deve integrar o vetor aceleração;
- Para achar o vetor aceleração instantânea você deve derivar o vetor velocidade.
Agora que já relembramos o que conseguimos derivando ou integrando, vamos colocar em prática nosso conhecimento!
Exercício Resolvido #1
O vetor posição de uma partícula é dado por , em metros, para t medido em segundos. Para o instante , os vetores velocidade e aceleração dessa partícula se escrevem:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Como queremos a velocidade a aceleração instantânea no momento de 2 segundos, a gente precisa lembrar que a derivada do espaço em função do tempo é a velocidade, e que a velocidade derivada em função do tempo é a aceleração! Então vamos lá:
No tempo de 2 segundos é só substituir o 2 no lugar do tempo na equação, ou seja:
Show!
Passo 2
Agora vamos calcular a aceleração, derivando a equação da velocidade dessa vez:
Fechamos!
Resposta
d)
Exercício Resolvido #2
Sabendo-se que a posição de uma partícula, em relação à origem do plano , é determinada pelo vetor:
Com em metros () e em segundos (), determine:
O vetor velocidade instantânea e o vetor aceleração instantânea em função do tempo.
O vetor velocidade instantânea no ponto e o vetor aceleração instantânea no ponto , ambos os pontos estão indicados no gráfico abaixo. Neste gráfico, a curva contínua representa a trajetória da partícula, descrita através do vetor posição
O vetor velocidade média e o vetor aceleração média , ambos entre os pontos e .
Passo 1
Lembrando que o vetor velocidade nada mais é do que a derivada do vetor posição, portanto:
E por sua vez, a aceleração é a derivada da velocidade, então:
Passo 2
Já possuímos as equações do vetor velocidade e aceleração, mas ambos estão em função do tempo. Então para utilizá-los precisamos do instante de tempo do ponto e do ponto . Para descobrir o tempo, basta substituir as coordenadas do ponto na equação da posição.
Igualando as componentes de e :
Ou
Logo, o ponto corresponde ao instante .
Fazemos o mesmo para o ponto .
Igualando as componentes de e :
Ou
Logo o ponto B corresponde ao instante .
Agora substituindo, temos que a velocidade instantânea no ponto é:
E agora o vetor aceleração instantânea no ponto
Passo 3
Bem, nós calcularemos a velocidade média com a fórmula:
E a aceleração média com a fórmula:
Observando ambas as fórmulas vemos que ainda nos falta calcular , e que são respectivamente, , e . Então, mãos a obra:
Show! Agora já temos tudo para calcular as médias.
Velocidade média.
Aceleração média.
Resposta
Exercício Resolvido #3
O vetor posição de uma partícula que se move no plano é dado por:
Onde é dado em metros e em segundos. Determine:
O vetor velocidade instantânea da partícula, seu módulo e direção (ângulo em relação ao eixo ) para o instante ;
O vetor aceleração instantânea da partícula, seu módulo e direção (ângulo em relação ao eixo ) para o instante ;
O vetor deslocamento da partícula no intervalo de tempo até ;
O vetor velocidade média da partícula no intervalo de tempo até .
Dado:
Passo 1
O vetor velocidade instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor posição em função do tempo, ou seja:
Portanto o vetor velocidade instantânea para vale:
E o módulo vale:
Já temos as componentes e , podemos fazer uma analogia em que a componente é o cateto oposto, e a componente é o cateto adjacente. E então utilizando relação trigonométrica encontramos o ângulo do vetor resultante com o cateto adjacente, ou seja, com o eixo . Então:
Passo 2
O vetor aceleração instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor velocidade em função do tempo, ou seja:
O módulo do vetor para vale:
Sua direção é (paralela ao eixo ).
Passo 3
As posições para os instantes e valem:
Portanto o deslocamento é igual a:
Passo 4
A velocidade média entre os intervalos e é por definição igual a:
Agora é só jogar na fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uma partícula tem uma aceleração constante . No tempo , a velocidade é zero e o vetor posição é . Encontre os vetores velocidade e posição em função do tempo . Encontre a equação da trajetória (de em função de ) da partícula no plano e esboce a trajetória.
Passo 1
O problema nos fornece a equação da aceleração de um partícula e nos pede os vetores velocidade e posição em função do tempo.
Como a variação da velocidade é a integral da aceleração e o vetor deslocamento é a integral da velocidade. Precisamos apenas integrar a equação da aceleração. Então vamos lá.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a equação da velocidade, integrando a aceleração
Substituindo os valores de , e o de que o enunciado diz ser zero.
Passo 3
Para achar o vetor posição devemos integrar a velocidade
Vamos substituir os valores que acabamos de encontrar e o valor de