Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

Teoria Completa

Vetor Velocidade Instantânea

Velocidade instantânea é a velocidade da partícula naquele exato momento. Em um movimento unidimensional dizemos que a velocidade instantânea é a derivada da função posição. Isso também é valido para duas ou três dimensões, temos que o vetor velocidade instantânea é a derivada da equação do vetor posição.

v → t = d r → t d t

Eita, mas como derivar um vetor?? Parece estranho né! Mas para nossa felicidade é bem tranquilo. Basta derivar suas coordenadas separadamente.

d r → t d t = d x t d t   .   i ^ + d y t d t   .   j ^ + d z t d t   .   k ^

Como o vetor velocidade é derivada do vetor posição, pode-se dizer que o vetor deslocamento é a integral do vetor velocidade :

r → t 1 - r → t 0 =   ∫ t 0 t 1 v → ( t ) d t

Para integrar um vetor iremos separar e fazer a integral coordenada por coordenada

r → t 1 - r → t 0 =   ∫ t 0 t 1 v x ( t ) d t .   i ^ + ∫ t 0 t 1 v y ( t ) d t   .   j ^ + ∫ t 0 t 1 v z ( t ) d t   .   k ^

Vetor Aceleração Instantânea

A aceleração é o quanto a velocidade varia no tempo. Assim como fizemos com o vetor velocidade instantânea, o vetor aceleração instantânea poder ser escrito como a derivada do vetor velocidade no tempo.

a → t = d v → t d t

Como vimos, podemos escrever de outra maneira

a → t = d v x t d t   .   i ^ + d v y t d t   .   j ^ + d v z t d t   .   k ^

Como o vetor aceleração é derivada do vetor velocidade, pode-se dizer que a variação da velocidade é a integral do vetor aceleração :

v → t 1 - v → t 0 =   ∫ t 0 t 1 a → ( t ) d t

Para integrar um vetor iremos separar e fazer a integral coordenada por coordenada

v → t 1 - v → t 0 =   ∫ t 0 t 1 a x ( t ) d t .   i ^ + ∫ t 0 t 1 a y ( t ) d t   .   j ^ + ∫ t 0 t 1 a z ( t ) d t   .   k ^

Mantenha em mente que:

  • Para achar o vetor deslocamento você deve integrar o vetor velocidade;
  • Para achar o vetor velocidade instantânea você deve derivar o vetor posição;
  • Para achar o vetor variação da velocidade você deve integrar o vetor aceleração;
  • Para achar o vetor aceleração instantânea você deve derivar o vetor velocidade.

Agora que já relembramos o que conseguimos derivando ou integrando, vamos colocar em prática nosso conhecimento!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP

O vetor posição de uma partícula é dado por r → t = 2,0 + 1,0 t 2 i + 1,0 t   j , em metros, para t medido em segundos. Para o instante t = 2 s , os vetores velocidade e aceleração dessa partícula se escrevem:

a)   v → = 3,0 i + 1,0 j   m / s   e   a → = 0 m / s 2

b)   v → = 3,0 i + 1,0 j   m / s   e   a → = 1,5 i   + 0,5 j   m / s 2

c)   v → = 0 m / s   e   a → = 0 m / s 2

d) v → = 4 , 0 i + 1,0 j   m / s   e   a → = 2,0 m / s 2

e)   v → = 4 , 0 i - 1,0 j m s e   a → = - 2,0 m / s 2

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Passo 1

Como queremos a velocidade a aceleração instantânea no momento de 2 segundos, a gente precisa lembrar que a derivada do espaço em função do tempo é a velocidade, e que a velocidade derivada em função do tempo é a aceleração! Então vamos lá:

v → = d r → d t → v → ( t ) = 2,0 t i + 1,0 j

No tempo de 2 segundos é só substituir o 2 no lugar do tempo na equação, ou seja:

v → 2 = 2,0 . 2 i + 1,0 j = 4,0 i + 1 j   m / s

Show!

Passo 2

Agora vamos calcular a aceleração, derivando a equação da velocidade dessa vez:

a → = d v → d t   → a → = 2,0 i + 0 j   m / s 2

Fechamos!

Resposta

d) v → = 4,0 i + 1,0 j   m / s   e   a → = 2,0 m / s 2

Exercício Resolvido #2

USP-1ª Prova-2013

Sabendo-se que a posição de uma partícula, em relação à origem O do plano x y , é determinada pelo vetor:

r → t =   x t i ^ + y t j ^ = 1 4 m s 3 t 3 i ^ + 1 m s 2 t 2 j ^

Com | | r → | | em metros ( m ) e t em segundos ( s ), determine:

a O vetor velocidade instantânea v → ( t ) e o vetor aceleração instantânea a → ( t ) em função do tempo.

b O vetor velocidade instantânea no ponto A e o vetor aceleração instantânea no ponto B , ambos os pontos estão indicados no gráfico abaixo. Neste gráfico, a curva contínua representa a trajetória da partícula, descrita através do vetor posição r → ( t )

c ) O vetor velocidade média v m → e o vetor aceleração média a m → , ambos entre os pontos A e B .

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Passo 1

a Lembrando que o vetor velocidade nada mais é do que a derivada do vetor posição, portanto:

v → t = d d t 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

E por sua vez, a aceleração é a derivada da velocidade, então:

a → t = d d t 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

a → t = 3 2 . t . i ^ + 2 . j ^

Passo 2

b   Já possuímos as equações do vetor velocidade e aceleração, mas ambos estão em função do tempo. Então para utilizá-los precisamos do instante de tempo do ponto A e do ponto B . Para descobrir o tempo, basta substituir as coordenadas do ponto na equação da posição.

r A → t = 2 . i ^ + 4 . j ^ = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

Igualando as componentes de i ^ e j ^ :

2 = 1 4 . t 3

t = 2   s

Ou

4 = t 2

t = 2   s

Logo, o ponto A corresponde ao instante 2   s .

Fazemos o mesmo para o ponto B .

r B → = 16 . i ^ + 16 . j ^ = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

Igualando as componentes de i ^ e j ^ :

16 = 1 4 . t 3

t = 4   s

Ou

16 = t 2

t = 4   s

Logo o ponto B corresponde ao instante 4   s .

Agora substituindo, temos que a velocidade instantânea no ponto A é:

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

v → 2 = 3 4 . 2 2 . i ^ + 2   .   2 . j ^

v → 2 = 3 . i ^ + 4 . j ^

E agora o vetor aceleração instantânea no ponto B

a → t = 3 2 . t . i ^ + 2 . j ^

a → 4 = 3 2 . 4 . i ^ + 2 . j ^

a → 4 = 6 . i ^ + 2 . j ^

Passo 3

c   Bem, nós calcularemos a velocidade média com a fórmula:

v m = r f - r i t f - t i

E a aceleração média com a fórmula:

a m = v f - v i t f - t i

Observando ambas as fórmulas vemos que ainda nos falta calcular v f , r i e r f que são respectivamente, v 4 , r 2 e r ( 4 ) . Então, mãos a obra:

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

v → 4 = 3 4 . 4 2 . i ^ + 2   .   4 . j ^

v → 4 = 12 . i ^ + 8 . j ^

r → t = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

r → 2 = 1 4   .   2 3 . i ^ + 2 2 . j ^

r → 2 = 2 . i ^ + 4 . j ^

r → 4 = 1 4 . 4 3 . i ^ + 4 2 . j ^

r → 4 = 16 . i ^ + 16 . j ^

Show! Agora já temos tudo para calcular as médias.

Velocidade média.

  v → m = r → 4 - r → 2 4 - 2

  v → m = 16 . i ^ + 16 . j ^ - 2 . i ^ + 4 . j ^ 2

  v → m = 7 . i ^ + 6 . j ^

Aceleração média.

a → m = v → 4 - v → 2 4 - 2

a → m = 12 . i ^ + 8 . j ^ - 3 . i ^ + 4 . j ^ 2

a → m = 9 2 i ^ + 2 j ^

Resposta

a     v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

                  a → t = 3 2 . t . i ^ + 2 . j ^

b     v → A = 3 . i ^ + 4 . j ^

                a → B = 6 . i ^ + 2 . j ^

c     v → m = 7 . i ^ + 6 . j ^

                a → m = 9 2 i ^ + 2 j ^

Exercício Resolvido #3

USP-1ª Prova-2012

O vetor posição de uma partícula que se move no plano x y é dado por:

r → t = 20 + 20 t i ^ + 10 t + 5 3 t 3 j ^

Onde r → é dado em metros e t em segundos. Determine:

a O vetor velocidade instantânea da partícula, seu módulo e direção (ângulo θ em relação ao eixo x ) para o instante t = 1   s ;

b O vetor aceleração instantânea da partícula, seu módulo e direção (ângulo θ em relação ao eixo x ) para o instante t = 2   s ;

c   O vetor deslocamento da partícula no intervalo de tempo t = 0   s até t = 3   s ;

d   O vetor velocidade média da partícula no intervalo de tempo t = 0   s até t = 3   s .

Dado: y x = a x n ⇒ d y x d x = a n x n - 1

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Passo 1

a O vetor velocidade instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor posição em função do tempo, ou seja:

V → t = d r → t d t

V → t = d d t 20 + 20 t i ^ + 10 t + 5 3 t 3 j ^

V → t = 20   i ^ + 10 + 5 t 2 j ^     m / s

Portanto o vetor velocidade instantânea para t = 1   s vale:

V → 1 = 20   i ^ + 10 + 5   .   1 2 j ^

V → 1 = 20   i ^ + 15   j ^   m / s

E o módulo vale:

V = 20 2 + 15 2

V = 25   m / s

Já temos as componentes x e y , podemos fazer uma analogia em que a componente y é o cateto oposto, e a componente x é o cateto adjacente. E então utilizando relação trigonométrica encontramos o ângulo do vetor resultante com o cateto adjacente, ou seja, com o eixo x . Então:

tg ⁡ θ = c a t .   o p c a t .   a d j

tg ⁡ θ = 15 20

tg ⁡ θ = 3 4

θ = arctg ⁡ 3 4

θ = 36,87 °

Passo 2

b   O vetor aceleração instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor velocidade em função do tempo, ou seja:

a → = d V → t d t

a → = d d t 20   i ^ + 10 + 5 t 2 j ^  

a → = 10 t   j ^   m / s 2

O módulo do vetor para t = 2   s vale:

a 2 = 10   .   2

a = 20   m / s 2

Sua direção é j ^ (paralela ao eixo y ).

Passo 3

c   As posições para os instantes t = 0   s e t = 3   s valem:

r → 0 = 20 + 20   .   0 i ^ + 10   .   0 + 5 3 . 0 3 j ^

r → 0 = 20   i ^   m

r → 3 = 20 + 20   .   3 i ^ + 10   .   3 + 5 3 3 3 j ^

r → 3 = 80   i ^ + 7 5   j ^   m

Portanto o deslocamento é igual a:

Δ r → = r → 3 - r → 0

Δ r → = 80   i ^ + 7 5   j ^ - 20   i ^

Δ r → = 60   i ^ + 7 5   j ^   m

Passo 4

d   A velocidade média entre os intervalos t = 0   s e t = 3   s é por definição igual a:

v → m = Δ r → Δ t

Agora é só jogar na fórmula:

v → m = 60   i ^ + 7 5   j ^ 3 - 0

v → m = 20   i ^ + 2 5   j ^   m / s

Resposta

a   V → 1 = 20   i ^ + 15   j ^   m / s V = 25   m / s θ = arctg ⁡ 3 4

b   a 2 = 20   j ^ m / s a = 20   m / s 2 P a r a l e l o   a o   e i x o   y

c   Δ r → = 60   i ^ + 7 5   j ^   m

d   v → m = 20   i ^ + 2 5   j ^   m / s

Exercício Resolvido #4

Paul A. Tripler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros, Volume 1, 6ª edição, Cap 3, pp 86-52- Modificado

Uma partícula tem uma aceleração constante a → = 6,0 m / s 2 i ^ + ( 4,0   m / s 2 ) j ^ . No tempo t = 0 , a velocidade é zero e o vetor posição é r → 0 = ( 10   m ) i ^ . a Encontre os vetores velocidade e posição em função do tempo t . b   Encontre a equação da trajetória (de y em função de x ) da partícula no plano x y e esboce a trajetória.

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Passo 1

O problema nos fornece a equação da aceleração de um partícula e nos pede os vetores velocidade e posição em função do tempo.

Como a variação da velocidade é a integral da aceleração e o vetor deslocamento é a integral da velocidade. Precisamos apenas integrar a equação da aceleração. Então vamos lá.

Passo 2

a Primeiro vamos encontrar a equação da velocidade, integrando a aceleração

v → t - v → t 0 =   ∫ t 0 t a → x ( t ) .   i ^ + ∫ t 0 t a → y ( t )   .   j ^ + ∫ t 0 t a → z ( t )   .   k ^

Substituindo os valores de a x ,     a y , a z ,   t 0 = 0 e o de v → t 0 que o enunciado diz ser zero.

v → t =   ∫ 0 t 6,0 .   i ^ + ∫ 0 t 4,0   .   j ^

v → t = 6,0 . t . i ^ + 4,0 . t . j ^

Passo 3

Para achar o vetor posição devemos integrar a velocidade

r → t 1 - r → t 0 =   ∫ t 0 t 1 v → x ( t ) .   i ^ + ∫ t 0 t 1 v → y ( t )   .   j ^ + ∫ t 0 t 1 v → z ( t )   .   k ^

Vamos substituir os valores que acabamos de encontrar e o valor de r → 0 = 10 .   i ^

r → t - 10 . i ^   =   ∫ 0 t 6,0 . t   .   i ^ + ∫ 0 t 4,0 . t   .   j ^

r → t - 10 . i ^ = 3 . t 2 . i ^ + 2 . t 2 . j ^

r → t = ( + 10 + 3 . t 2 ) . i ^ + 2 . t 2 . j ^