Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

Teoria Completa

Vetor Velocidade Instantânea

Velocidade instantânea é a velocidade da partícula naquele exato momento. Em um movimento unidimensional dizemos que a velocidade instantânea é a derivada da função posição. Isso também é valido para duas ou três dimensões, temos que o vetor velocidade instantânea é a derivada da equação do vetor posição.

v → t = d r → t d t

Eita, mas como derivar um vetor?? Parece estranho né! Mas para nossa felicidade é bem tranquilo. Basta derivar suas coordenadas separadamente.

d r → t d t = d x t d t   .   i ^ + d y t d t   .   j ^ + d z t d t   .   k ^

Como o vetor velocidade é derivada do vetor posição, pode-se dizer que o vetor deslocamento é a integral do vetor velocidade :

r → t 1 - r → t 0 =   ∫ t 0 t 1 v → ( t ) d t

Para integrar um vetor iremos separar e fazer a integral coordenada por coordenada

r → t 1 - r → t 0 =   ∫ t 0 t 1 v x ( t ) d t .   i ^ + ∫ t 0 t 1 v y ( t ) d t   .   j ^ + ∫ t 0 t 1 v z ( t ) d t   .   k ^

Vetor Aceleração Instantânea

A aceleração é o quanto a velocidade varia no tempo. Assim como fizemos com o vetor velocidade instantânea, o vetor aceleração instantânea poder ser escrito como a derivada do vetor velocidade no tempo.

a → t = d v → t d t

Como vimos, podemos escrever de outra maneira

a → t = d v x t d t   .   i ^ + d v y t d t   .   j ^ + d v z t d t   .   k ^

Como o vetor aceleração é derivada do vetor velocidade, pode-se dizer que a variação da velocidade é a integral do vetor aceleração :

v → t 1 - v → t 0 =   ∫ t 0 t 1 a → ( t ) d t

Para integrar um vetor iremos separar e fazer a integral coordenada por coordenada

v → t 1 - v → t 0 =   ∫ t 0 t 1 a x ( t ) d t .   i ^ + ∫ t 0 t 1 a y ( t ) d t   .   j ^ + ∫ t 0 t 1 a z ( t ) d t   .   k ^

Mantenha em mente que:

  • Para achar o vetor deslocamento você deve integrar o vetor velocidade;
  • Para achar o vetor velocidade instantânea você deve derivar o vetor posição;
  • Para achar o vetor variação da velocidade você deve integrar o vetor aceleração;
  • Para achar o vetor aceleração instantânea você deve derivar o vetor velocidade.

Agora que já relembramos o que conseguimos derivando ou integrando, vamos colocar em prática nosso conhecimento!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP

O vetor posição de uma partícula é dado por r → t = 2,0 + 1,0 t 2 i + 1,0 t   j , em metros, para t medido em segundos. Para o instante t = 2 s , os vetores velocidade e aceleração dessa partícula se escrevem:

a)   v → = 3,0 i + 1,0 j   m / s   e   a → = 0 m / s 2

b)   v → = 3,0 i + 1,0 j   m / s   e   a → = 1,5 i   + 0,5 j   m / s 2

c)   v → = 0 m / s   e   a → = 0 m / s 2

d) v → = 4 , 0 i + 1,0 j   m / s   e   a → = 2,0 m / s 2

e)   v → = 4 , 0 i - 1,0 j m s e   a → = - 2,0 m / s 2

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Passo 1

Como queremos a velocidade a aceleração instantânea no momento de 2 segundos, a gente precisa lembrar que a derivada do espaço em função do tempo é a velocidade, e que a velocidade derivada em função do tempo é a aceleração! Então vamos lá:

v → = d r → d t → v → ( t ) = 2,0 t i + 1,0 j

No tempo de 2 segundos é só substituir o 2 no lugar do tempo na equação, ou seja:

v → 2 = 2,0 . 2 i + 1,0 j = 4,0 i + 1 j   m / s

Show!

Passo 2

Agora vamos calcular a aceleração, derivando a equação da velocidade dessa vez:

a → = d v → d t   → a → = 2,0 i + 0 j   m / s 2

Fechamos!

Resposta

d) v → = 4,0 i + 1,0 j   m / s   e   a → = 2,0 m / s 2

Exercício Resolvido #2

USP-1ª Prova-2013

Sabendo-se que a posição de uma partícula, em relação à origem O do plano x y , é determinada pelo vetor:

r → t =   x t i ^ + y t j ^ = 1 4 m s 3 t 3 i ^ + 1 m s 2 t 2 j ^

Com | | r → | | em metros ( m ) e t em segundos ( s ), determine:

a O vetor velocidade instantânea v → ( t ) e o vetor aceleração instantânea a → ( t ) em função do tempo.

b O vetor velocidade instantânea no ponto A e o vetor aceleração instantânea no ponto B , ambos os pontos estão indicados no gráfico abaixo. Neste gráfico, a curva contínua representa a trajetória da partícula, descrita através do vetor posição r → ( t )

c ) O vetor velocidade média v m → e o vetor aceleração média a m → , ambos entre os pontos A e B .

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Passo 1

a Lembrando que o vetor velocidade nada mais é do que a derivada do vetor posição, portanto:

v → t = d d t 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

E por sua vez, a aceleração é a derivada da velocidade, então:

a → t = d d t 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

a → t = 3 2 . t . i ^ + 2 . j ^

Passo 2

b   Já possuímos as equações do vetor velocidade e aceleração, mas ambos estão em função do tempo. Então para utilizá-los precisamos do instante de tempo do ponto A e do ponto B . Para descobrir o tempo, basta substituir as coordenadas do ponto na equação da posição.

r A → t = 2 . i ^ + 4 . j ^ = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

Igualando as componentes de i ^ e j ^ :

2 = 1 4 . t 3

t = 2   s

Ou

4 = t 2

t = 2   s

Logo, o ponto A corresponde ao instante 2   s .

Fazemos o mesmo para o ponto B .

r B → = 16 . i ^ + 16 . j ^ = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

Igualando as componentes de i ^ e j ^ :

16 = 1 4 . t 3

t = 4   s

Ou

16 = t 2

t = 4   s

Logo o ponto B corresponde ao instante 4   s .

Agora substituindo, temos que a velocidade instantânea no ponto A é:

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

v → 2 = 3 4 . 2 2 . i ^ + 2   .   2 . j ^

v → 2 = 3 . i ^ + 4 . j ^

E agora o vetor aceleração instantânea no ponto B

a → t = 3 2 . t . i ^ + 2 . j ^

a → 4 = 3 2 . 4 . i ^ + 2 . j ^

a → 4 = 6 . i ^ + 2 . j ^

Passo 3

c   Bem, nós calcularemos a velocidade média com a fórmula:

v m = r f - r i t f - t i

E a aceleração média com a fórmula:

a m = v f - v i t f - t i

Observando ambas as fórmulas vemos que ainda nos falta calcular v f , r i e r f que são respectivamente, v 4 , r 2 e r ( 4 ) . Então, mãos a obra:

v → t = 3 4 . t 2 . i ^ + 2 . t . j ^

v → 4 = 3 4 . 4 2 . i ^ + 2   .   4 . j ^

v → 4 = 12 . i ^ + 8 . j ^

r → t = 1 4 . t 3 . i ^ + t 2 . j ^

r → 2 = 1 4   .   2 3 . i ^ + 2 2 . j ^