Torque

Teoria Completa

Torque

Lá no estudo da estática nós aprendemos um conceito chamado torque. Aqui em dinâmica de rotação o torque vai ser fundamental para a análise dos movimentos.

A definição segue a mesma, se liga:

τ → = r → ×   F →

Onde r → é o vetor da posição do ponto de aplicação da força relativo ao eixo de rotação, esse vetor também é conhecido por braço de alavanca.

Esse negocinho aí com × se chama produto vetorial. Por isso o torque é uma grandeza vetorial, portanto, possui módulo, direção e sentido. Mas, como descobrir isso tudo?

- Direção do Torque

Imagina uma barra de tamanho L que está sobre o eixo x . Suponha também que existe uma força F → , agindo na extremidade que distancia L da origem, e que faz um ângulo θ com a com o vetor r → . A imagem vai dar uma ideia melhor.

Esse vetor F → faz o nosso objeto girar no sentido anti-horário, correto? Olha só

Pra saber a direção e o sentido do vetor, gire a sua mão no mesmo sentido da tendência de rotação que F → faz

Nesse nosso caso o torque aponta para fora da página

E se tivesse no sentido contrário??? No sentido horário de rotação o torque aponta pra dentro da página

Show?

- Módulo do Torque:

O módulo do torque é dado por

τ = r F s e n θ

Uma coisa importante aqui é que se r → e F → são paralelos, o ângulo entre eles vai ser 0 e o torque vai ser nulo! Isso porque

θ = 0 → s e n 0 = 0 → τ = r F s e n 0 = 0

Vai ser essa situação aqui:

Faz total sentido, né? A força, desse jeito, nunca vai girar o nosso objeto!

Relação entre o Torque e a Aceleração Angular

Show! Vamos continuar com o nosso exemplo aqui:

Quando eu aplico nessa barra a força F → ela vai girar, correto? E se eu te perguntasse qual é a aceleração linear do centro de massa dessa barra? Como você ia agir? Chorar? Não! Se acalma aí que vai ficar tudo claro como a neve. =]

Já aprendemos o que é torque:

τ → = r →   ×   F →

No entanto, temos mais uma relação pro torque que é super importante, principalmente para esse nosso exemplo. Saca só!

τ → = I α →

Isso aí! Essa fórmula te ajuda a achar a aceleração angular α do corpo, se você souber o torque total que age sobre este mesmo corpo.

Vamos tentar usar essa fórmula pra resolver o exemplo que foi dado.

Primeiramente temos que achar o torque total que tá agindo no corpo. Para isso, vamos usar o conceito que aprendemos.

Dado que o eixo de rotação do corpo é a extremidade presa da barra, temos que:

τ = F r s e n θ

Como o tamanho do vetor r → é o tamanho L da barra

τ = F L s e n θ

Podemos relacionar o torque com a aceleração angular por

τ = I α → α = τ I

O momento de inércia de uma barra é I = M L 2 / 3 . Substituindo tudo que a gente sabe:

α = L F s e n θ M L 2 3 → α = 3 F s e n θ M L

Show de bola! Mas não podemos parar por aqui. Lembre-se que a aceleração angular é SEMPRE a mesma para todos os pontos de um corpo rígido.

Usaremos um conceito simples lá da cinemática de rotação:

a = α r

Como r é a distância entre o eixo de rotação e o ponto onde você quer obter a aceleração linear, temos que o centro de massa está a uma distância r = L / 2   do eixo de rotação, assim:

a C M = α r = α L 2

Substituindo o valor de α :

a C M = 3 F s e n θ M L L 2

a C M = 3 2 F s e n θ M

Beleza? Então é assim que usa o torque!

É isso, não deixe de praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 291-85.

Um ciclista de 70   k g apoia toda a sua massa em cada movimento do pedal para baixo enquanto pedala em uma estrada íngreme. Suponha que o diâmetro da circunferência descrita pelo pedal é de 0,40   m e determine o módulo do torque máximo exercido pelo ciclista em relação ao eixo de rotação dos pedais.

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Passo 1

Este é um exercício de aplicação da definição de torque, sem mistério! Se liga na imagem.

Se usarmos a forma simplificada:

τ = r F s e n θ

Onde θ é o ângulo entre o vetor direção r → e a força.

Temos que θ = 90 ° e a nossa força F é a força peso P do ciclista. Portanto, substituindo os valores, temos:

τ = 0,2   .   70   .   9,8 ⏟ P = m . g   .   s e n 90 °

τ = 137,2   N . m

Resposta

τ = 137,2   N . m

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 288-48.

O corpo da Fig. 10-40 tem um eixo que passa por O e é perpendicular ao papel. Três forças agem sobre ele: F A = 10   N no ponto A , a 8,0   m de O ; F B = 16   N em B , a 4,0   m de O ; e F C = 19   N em C , a 3,0   m de O . Qual é o torque resultante em relação a O ?

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Passo 1

Para encontrarmos o torque resultante, iremos realizar a soma vetorial dos torques gerados por cada força.

No entanto, é SUPER IMPORTANTE que você se atente aos sinais de cada torque. Por isso, vamos calcular as intensidades do torque através da fórmula do módulo do torque, mas usaremos a regra da mão direita para definir para que sentido cada um deles aponta.

Definimos o eixo z apontando para você como o sentido positivo, e então:

τ → = τ A → + τ B → + τ C →

Passo 2

Para calcular o módulo do torque usamos a fórmula:

τ = F . r . s e n   θ

Lembrando que θ é o ângulo entre os vetores   F → e   r → . Aplicando a fómula para os pontos A, B e C:

τ A = 10   .   8   .   s e n   135 ° → τ A ≅ 56,5   N . m

τ B = 16   .   4   .   s e n   90 ° → τ B ≅ 64   N . m

τ C = 19   .   3   .   s e n   160 ° → τ C ≅ 19,5   N . m

Passo 3

Agora precisamos realizar a regra da mão direita, para descobrir para que sentido apontam os vetores.

Se você reparar na figura, é possível visualizar que, tanto   F A → quanto   F C → tendem a girar nosso objeto no sentido anti-horário em relação ao eixo de rotação e isso vai gerar um torque que aponta para você, portanto positivo. Já   F B → faz o nosso objeto girar no sentido horário, o que gera um torque negativo, já que o dedão aponta no sentido de furar a tela. Logo:

τ A → ≅ ( 56,5   N . m )   k →

τ B → ≅ ( - 64   N . m )   k →

τ C → ≅ ( 19,5   N . m )   k →

Passo 4

Obtendo o torque resultante:

τ → ≅ 56,5 - 64 + 19,5 N . m   k →

Passo 5

Resposta

τ → ≅ 12   N . m   k →

Exercício Resolvido #3

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 320-19.

Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida uma partícula localizada nas coordenadas ( 0 ,   - 4,0   m ,   3,0   m ) se esse torque se deve (a) a uma força F 1 → de componentes F 1 x = 2,0   N ,   F 1 y = F 1 z = 0 e (b) a uma força F 2 → de componentes F 2 x = 0 ,   F 2 y = 2,0   N ,   F 2 z = 4,0   N ?

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Passo 1

A gente aprendeu que torque é um produto vetorial, entre um vetor Força e um vetor Raio (Braço)

τ → = r → × F →

Então o que vamos fazer nesse exercício é calcular os torques gerados pela força   F 1 → para a letra a ) e para força   F 2 →   para letra b ) , sabendo que em ambos os casos temos um raio r = 0   i ^ - 4     j ^ + 3   k ^ , sendo   i ^ ,       j ^   ,     k ^ , vetores unitários dos eixos x ,     y e z respectivamente.

Passo 2

(a) Por ser um exercício em 3 dimensões fica difícil representar a imagem, mas “planificando” nossas dimensões:

τ → = r → × F →

τ 1 → = - 4   j ^ + 3   k ^ × 2   i ^  

Aplicando a propriedade distributiva:

τ 1 → = - 8   j ^   × i ^ + 6 (   k ^ × i ^ )

Pode-se aplicar a regra da mão direita para descobrir os resultados dos produtos vetoriais dos vetores unitários, então:

τ 1 → = 8   k ^ + 6   j ^