Torque

Teoria Completa

Introdução

Já reparou que quando abrimos uma porta, nós sempre temos a maçaneta no lado oposto da porta que rotaciona? Você já parou pra pensar na força aplicamos na porta e faz ela girar? Não? Então vamos pensar nesse simples ato que fazemos todos os dias. Vamos olhar a porta de cima:

Imagina essas duas situações de aplicação de força: a primeira vamos aplicar uma força perpendicular a porta e na segunda vamos aplicar uma força na direção da reta que liga a dobradiça e e a maçaneta:

Bom, pela nossa experiência, nós sabemos que aplicar a força da primeira forma faz a porta girar, enquanto aplicar a força da segunda forma não funciona. Mas por quê?

Torque

Porque existe um conceito chamado torque, nada mais é do que um vetor que representa a tendência que uma força tem para rotacionar um corpo em um eixo. Como por exemplo a força que fazemos para girar a porta.

O cálculo desse vetor torque ( τ → ) nada mais é do que o produto vetorial:

τ → = r → ×   F →

Esse r → é o vetor da posição do ponto de aplicação da força relativo ao eixo de rotação (a dobradiça no caso da porta), esse vetor também é conhecido por braço de alavanca. E F → é a força que aplicamos.

Módulo do torque

Vamos começar calculando o módulo do torque, o produto vetorial é depende dos valores do braço de alavanca r , da força F e do ângulo que esses dois vetores formam Ө . Logo o módulo será:

τ = r   .     F .   s e n Ө

Vamos fazer um exemplo, se aplicarmos uma força com módulo igual a 100 N , o braço de alavanca igual a 1 m e um ângulo entre os vetores igual a 30 ° :

O módulo do torque será:

τ = 1   .   100   .   s e n ( 30 ° )

τ = 50 N m

Percebe comigo que quando o ângulo é igual a 90°, ou seja, a força é perpendicular ao braço de alavanca, temos o torque máximo, pois o seno de 90° é igual a 1. Enquanto quando diminuímos o ângulo, o torque vai se tornando menor, pois o seno de 0° é igual a 0.

Direção do torque

Bom, já sabemos calcular o módulo do torque, mas como já falamos que ele é um vetor, precisamos descobrir como determinar sua direção e sentido né?

Para isso nós usamos a Regra da mão direita, isso é, direcionamos os quadro dedos, exceto o indicador, no sentido de r e fechamos nossos dedos no sentido em que a força F é aplicada. Nosso dedão apontará para a direção e o sentido do vetor torque.

Vamos pensar nesse primeiro caso aqui:

Primeiro devemos apontar os quatro dedos pra cima, pois essa é a direção do vetor r → , depois vamos fechar os dedos pra onde o vetor força aponta, ou seja, pra esquerda. Dessa forma, você e eu estivermos usando as nossas mãos direitas, nossos polegares vão apontar pra nossa cara, não é? Esse é o sentido do nosso torque, ou seja, saindo da página:

Outra forma de representar o sentido do torque saindo da folha na sua direção é dessa forma:

Se considerarmos a força no outro sentido, teremos outro caso:

Estaremos girando nossa mão no sentido horário e nosso polegar entra no papel. Representamos então por esse X !

Show?

Relação entre o Torque e a Aceleração Angular

Show! Vamos continuar com o nosso exemplo aqui:

Quando eu aplico nessa barra a força F → ela vai girar, correto? E se eu te perguntasse qual é a aceleração linear do centro de massa dessa barra? Como você ia agir? Chorar? Não! Se acalma aí que vai ficar tudo claro como a neve. =]

Já aprendemos o que é torque:

τ → = r →   ×   F →

No entanto, temos mais uma relação pro torque que é super importante, principalmente para esse nosso exemplo. Saca só!

τ → = I α →

Isso aí! Essa fórmula te ajuda a achar a aceleração angular α do corpo, se você souber o torque total que age sobre este mesmo corpo e o momento de inércia I .

É a aplicação da segunda Lei de Newton para o movimento rotacional, ou seja, substituímos o torque pela força, o momento de inércio pela massa e a aceleração linear é substituída pela aceleração angular.

Vamos tentar usar essa fórmula pra resolver o exemplo que foi dado.

Primeiramente temos que achar o torque total que tá agindo no corpo. Para isso, vamos usar o conceito que aprendemos.

Dado que o eixo de rotação do corpo é a extremidade presa da barra, temos que:

τ = F r s e n θ

Como o tamanho do vetor r → é o tamanho L da barra

τ = F L s e n θ

Podemos relacionar o torque com a aceleração angular por

τ = I α → α = τ I

Ou seja, a aceleração angular é a mesma para todos os pontos da barra!

O momento de inércia de uma barra é:

I = M L 2 / 3

Substituindo a massa M e o tamanho da barra L :

α = L F s e n θ M L 2 3 → α = 3 F s e n θ M L

Show de bola! Mas não podemos parar por aqui. Lembre-se que a aceleração angular é SEMPRE a mesma para todos os pontos de um corpo rígido.

Usaremos um conceito simples lá da cinemática de rotação:

a = α r

Ou seja, a aceleração linear não é a mesma para todos os pontos da barra como o ocorre pra aceleração angular!

Como r é a distância entre o eixo de rotação e o ponto onde você quer obter a aceleração linear, temos que o centro de massa está a uma distância r = L / 2   do eixo de rotação, assim:

a C M = α r = α L 2

Substituindo o valor de α :

a C M = 3 F s e n θ M L L 2

a C M = 3 2 F s e n θ M

Beleza? Então é assim que usa o torque!

É isso, não deixe de praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 291-85.

Um ciclista de 70   k g apoia toda a sua massa em cada movimento do pedal para baixo enquanto pedala em uma estrada íngreme. Suponha que o diâmetro da circunferência descrita pelo pedal é de 0,40   m e determine o módulo do torque máximo exercido pelo ciclista em relação ao eixo de rotação dos pedais.

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Passo 1

Este é um exercício de aplicação da definição de torque, sem mistério! Se liga na imagem.

Se usarmos a forma simplificada:

τ = r F s e n θ

Onde θ é o ângulo entre o vetor direção r → e a força.

Temos que θ = 90 ° e a nossa força F é a força peso P do ciclista. Portanto, substituindo os valores, temos:

τ = 0,2   .   70   .   9,8 ⏟ P = m . g   .   s e n 90 °

τ = 137,2   N . m

Resposta

τ = 137,2   N . m

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 288-48.

O corpo da Fig. 10-40 tem um eixo que passa por O e é perpendicular ao papel. Três forças agem sobre ele: F A = 10   N no ponto A , a 8,0   m de O ; F B = 16   N em B , a 4,0   m de O ; e F C = 19   N em C , a 3,0   m de O . Qual é o torque resultante em relação a O ?

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Passo 1

Para encontrarmos o torque resultante, iremos realizar a soma vetorial dos torques gerados por cada força.

No entanto, é SUPER IMPORTANTE que você se atente aos sinais de cada torque. Por isso, vamos calcular as intensidades do torque através da fórmula do módulo do torque, mas usaremos a regra da mão direita para definir para que sentido cada um deles aponta.

Definimos o eixo z apontando para você como o sentido positivo, e então:

τ → = τ A → + τ B → + τ C →

Passo 2

Para calcular o módulo do torque usamos a fórmula:

τ = F . r . s e n   θ

Lembrando que θ é o ângulo entre os vetores   F → e   r → . Aplicando a fómula para os pontos A, B e C:

τ A = 10   .   8   .   s e n   135 ° → τ A ≅ 56,5   N . m

τ B = 16   .   4   .   s e n   90 ° → τ B ≅ 64   N . m

τ C = 19   .   3   .   s e n   160 ° → τ C ≅ 19,5   N . m

Passo 3

Agora precisamos realizar a regra da mão direita, para descobrir para que sentido apontam os vetores.

Se você reparar na figura, é possível visualizar que, tanto   F A → quanto   F C → tendem a girar nosso objeto no sentido anti-horário em relação ao eixo de rotação e isso vai gerar um torque que aponta para você, portanto positivo. Já   F B → faz o nosso objeto girar no sentido horário, o que gera um torque negativo, já que o dedão aponta no sentido de furar a tela. Logo:

τ A → ≅ ( 56,5   N . m )   k →

τ B → ≅ ( - 64   N . m )   k →

τ C → ≅ ( 19,5   N . m )   k →

Passo 4

Obtendo o torque resultante:

τ → ≅ 56,5 - 64 + 19,5 N . m   k →

Passo 5

Resposta

τ → ≅ 12   N . m   k →

Exercício Resolvido #3

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 320-19.

Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida uma partícula localizada nas coordenadas ( 0 ,   - 4,0   m ,   3,0   m ) se esse torque se deve (a) a uma força F 1 → de componentes F 1 x = 2,0   N ,   F 1 y = F 1 z = 0 e (b) a uma força F 2 → de componentes F 2 x = 0 ,   F 2 y = 2,0   N ,   F 2 z = 4,0   N ?

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Passo 1

A gente aprendeu que torque é um produto vetorial, entre um vetor Força e um vetor Raio (Braço)

τ → = r → × F →

Então o que vamos fazer nesse exercício é calcular os torques gerados pela força   F 1 → para a letra a ) e para força   F 2 →   para letra b ) .

O enunciado nos diz que em ambos os casos temos um raio r = 0   i ^ - 4     j ^ + 3   k ^ , sendo   i ^ ,       j ^   ,     k ^ , vetores unitários dos eixos x ,     y e z respectivamente.

Vamos fazer um desenho pra gente visualizar melhor esse braço de alavanca.

Agora vamos pra cada uma das forças calcular o torque de cada uma das forças agindo na partícula em relação a origem, beleza?

Passo 2

(a) Por ser um exercício em 3 dimensões fica difícil representar a imagem, mas “planificando” nossas dimensões:

τ → = r → × F →

Um detalhe que facilita um pouco a nossa vida é que a força F 1 → só possui componente em x como mostrado no desenho, daí o produto vetorial fica:

τ 1 → = - 4   j ^ + 3   k ^ × 2   i ^