Polias Não-Ideais

Teoria Completa

Se liga, sempre que você começa a ver em física algo do tipo “não ideal” é sinal que você tá evoluindo no estudo.

Mas e ae o que você acha que vai influenciar a polia não ser ideal?

Agora a polia possui massa, sendo assim, ela vai passar a ser um corpo do nosso sistema e vamos precisar considera-la no diagrama do corpo livre.

Vamos olhar pra imagem.

Show, já vimos algo muito parecido com isso antes quando trabalhamos com uma polia ideal. Mas, e se eu pedir a você a aceleração angular da polia? Complica um pouco?

Então vamos descomplicar isso aí juntos! Vamos passo-a-passo.

Dados : M = 0,5 k g ;       R = 0,2 m ; m = 3 k g .

Passo 1

Primeiro passo é o mesmo de sempre! Vamos desenhar o diagrama de corpo livre de cada um dos corpos e analisar quais forças atuam sobre eles.

Polia:

Bloco:

A relação da aceleração angular pode ser tirada através da segunda lei de newton para rotação:

Σ τ = I . α

Onde τ é o torque que precisamos encontrar e I é o momento de inércia da polia que é constante.

Já a aceleração do bloco a gente tira pela segunda lei de newton, ou seja:

∑ F = m a

Passo 2

Vamos começar pelo mais simples, analisando o bloco para encontrar uma expressão para a tração, a qual relacionaremos com a polia depois. Pra isso vamos dar uma olhada no DCL do bloco de novo.

Usando a Segunda Lei de Newton com o referencial positivo para baixo, pois a aceleração do bloco aponta para baixo, assim temos:

P - T = m . a

T = m . ( g - a )

Substituindo os valores temos:

T = 3 × ( 9,81 - a )

Passo 3

Precisamos analisar as forças que agem na polia, para aí sim termos o valor de τ e relacionar também com a tração.

Nosso eixo de rotação passa pelo centro da polia, que bom pra nós! Com isso, podemos ignorar tanto a força peso quanto a força normal, sendo assim o torque na polia vai ser dado por:

τ = T . R

Considerando o sentido horário como positivo já que vai no sentido da aceleração angular. Já encontramos uma relação de τ com a tração mas dá pra melhorar isso certo? Vamos usar a segunda lei de newton da rotação:

τ = I α

E como a polia é um disco que rotacional ao redor do centro de massa:

I D I S C O _ C M = M R 2 2

τ = M R 2 2 α

E igualando a relação da tração temos:

T R = α M R 2 2

T = α M R 2

Mas beleza, chegamos numa equação para a tração com relação a aceleração angular da polia. Enquanto para o bloco, tínhamos uma equação para a tração com relação a aceleração do bloco, será que podemos relacionar as duas coisas?

Passo 4

Se liga nesse pulo do gato!

Como a corda não desliza sobre a polia, a aceleração com que o bloco cai é a mesma aceleração linear de qualquer ponto por onde a corda passa

E a corda passa ao redor da polia, com isso, podemos relacionar a aceleração do bloco com a aceleração angular da polia:

Portanto, em polias não ideias podemos usar a relação:

a = α . R

Ou então:

α = a R

E substituindo na lei de newton da polia:

T = α M R 2 = a R × M R 2

T = M a 2

Agora sim, substituindo os valores:

T = 0,5 a 2

Passo 5

Agora é só montar o sistema e partir pro abraço:

T = 3 × ( 9,81 - a ) T = 0,5 a 2

Resolvendo esse sisteminha, igualando as trações, você encontra que:

3 × 9,81 - a = 0,5 a 2

29,43 - 3 a = 0,25 a

3,25 a = 29,43

a = 9,06 m / s 2

Que é a aceleração do bloco!

Para encontrar a tração na corda, a gente pode fazer:

T = 0,5 a 2 = 0,5 × 9,06 2

T = 2,26 N

E pra fechar, como a gente queria encontrar a aceleração angular da polia, a gente pode usar a relação:

a = α R

α = a R = 9,06 0,2

α = 45,3 r a d / s 2

Conclusão

A polia não ideal deve ser sempre considerada como um corpo que faz parte do sistema. Usaremos para ela sempre a segunda lei de newton da rotação:

τ = I . α

E para relacionar a aceleração da polia e do bloco a gente fz:

a = α . R

E tome sempre cuidado com os sinais! Considere a direção da aceleração e da aceleração angular como o positivo, que dá tudo certo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP-P3-2015-7.

Uma máquina de Atwood possui massas m 1 = 2,0 k g , m 2 = 1,0 k g e uma polia maciça uniforme de massa M =2,0kg. O módulo da aceleração linear da massa m 1 vale:

a) 6,0 m / s 2

b) 3,3   m / s 2

c) 5,0   m / s 2

d) 2,5   m / s 2

e) 2,0   m / s 2

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Passo 1

Isolando as forças, teremos:

Duas forças em m 1 :   P 1 → e   T 1 →

Duas forças em m 2 :   P 2 → e   T 2 →

E quatro forças na Polia:   P → (peso da polia),   T → (reação pela polia estar presa ao teto),   T 1 ' → ( - T 1 → ) e   T 2 ' → - T 2 →   )

Passo 2

Vamos assumir que o bloco de massa m 1 está descendo e portanto se movimentando contra a orientação do nosso eixo vertical, então utilizando a segunda Lei de Newton para escrever as equações do movimento desse bloco, teremos:

T 1 - P 1 = m 1 . - a

T 1 - P 1 = - m 1 . a

Se o bloco m 1 desce, então o bloco m 2 sobe, teremos:

T 2 - P 2 = m 2 . a

E não podemos esquecer de analisar o movimento de rotação da polia, já que a polia que faz parte do problema não é ideal. A polia não translada, mas pela Segunda Lei de Newton para rotação sabemos que   T 1 → e   T 2 → geram torque. Considerando a aceleração angular sendo positiva no sentido anti-horário, podemos escrever:

τ =   I . α

τ = T 1 . R - T 2 . R

R T 1 - T 2 = I . α

Passo 3

O I da polia é dado por I p o l i a = M R 2 2 . Além disso, temos a relação α = a R .

Assim:

R T 1 - T 2 = M R 2 2 . a R = M R a 2

T 1 - T 2 = M a 2

Passo 4

Agora montando um sistema com a equação do bloco de massa m 1 e do bloco m 2 , subtraindo a primeira da segunda, teremos:

                          T 1 - P 1 = - m 1 a -                   T 2 - P 2 = m 2 a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

T 1 - T 2 - P 1 + P 2 = - a [ m 1 + m 2 ]

Mas do Passo 3, pela equação do movimento de rotação da polia, sabemos que T 1 - T 2 = M a 2 .

Substituindo na útima equação, teremos:

M a 2 - P 1 + P 2 = - a [ m 1 + m 2 ]

Passando M a 2 para o outro lado, colocando a em evidência, e substituindo os pesos por suas fórmulas correspondentes:

- m 1 g + m 2 g = - a [ m 1 + m 2 + M 2 ]

Isolando o a :

a = g m 1 - m 2 m 1 + m 2 + M 2

Passo 5

Substituindo de vez agora os valores, teremos:

a = 10 . 2 - 1 1 + 2 + 1 = 2,5 m / s 2

Como a aceleração do bloco 1 é igual a - a , teremos:

- a = - 2,5   m / s 2

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P3-2013.2-1

Um cabo ideal está enrolado em volta de uma polia de raio R = 20   c m e massa M = 1,0   k g   e tem sua outra extremidade ligada a um bloco de m = 2,0   k g . O bloco se encontra apoiado sobre um plano inclinado de 30 ° em relação a horizontal. O sistema é solto a partir do repouso. Não existe atrito entre o plano e o bloco. Considerando o momento de inércia da polia I = M   .   R 2 2 , calcule:

a ) A aceleração angular da polia.

b ) a tração no cabo e o torque na polia.

c ) O módulo da aceleração linear a de um ponto na borda na polia após 0,5   s de iniciado o movimento.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Para descobrir a aceleração angular da polia, devemos utilizar a fórmula do torque, onde τ = I   .   α .

No entanto, precisaremos de mais uma equação. Como existe um vínculo entre os dois corpos, podemos também usar F = m   .   a , pois sabemos que a =   α   .   R .

Se liga nas equações:

τ = I   .   α

T . R = M   .   R 2 2   . a R

T = M . a 2

Passo 2

Agora que já temos T em função de a , vamos à equação para o bloco:

m . g . sen ⁡ θ -   T = m   .   a

Substituindo T   na equação, temos:

m . g . sen ⁡ θ - M . a 2 = m   .   a

a = m . g . sen ⁡ 30 ° m + M 2

a = 4,0   m / s 2

A aceleração angular fica:

α = a R

α = 20,0   r a d / s 2

Passo 3

b )

Ahh...fazer esse item ficou fácil depois de ter feito o anterior! Queremos saber a tração T , que a gente ja deixou em função de M e de a , lembra?!

T = M . a 2

Agora que a gente já tem o valor de a , ficou fácil!

T = 1 , 0   .   4,0 2

T = 2 , 0   N

Já o torque da polia é dado por:

τ = T . R = 2,0.0,2 = 0,4   N . m

Passo 4

c )  

Para achar a aceleração linear, temos que achar a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta, que são as componentes da aceleração linear. Lembra?! Vamos começar pela tangencial, a gente já calculou no item a , mas vamos lá!

a t =   α   . R

a t = 4 m / s 2

Agora vamos achar a centrípeta.

Sabemos que depois de 0,5   s , temos:

ω = α   .   t

ω = 20,0   .   0,5

ω = 10

Então a aceleração centrípeta fica:

a c p = ω 2   .   R

a c p = 100   .   0,20

a c p = 20 m / s 2

Passo 5

Agora que temos a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta, basta fazer aquele Pitágoras básico para achar a aceleração linear! Olha só!

a = a c p 2 + a t 2

a = 20 2 + 4,0 2

a = 20,4   m / s 2

Resposta

a )   α = 20,0   r a d / s 2

b )   T = 2 , 0   N ; τ = 0,4   N . m

c )   a = 20,4   m / s 2

Exercício Resolvido #3

UFRJ-p2-2012.1-M01

Dois discos de mesmo raio R e de massa diferentes, onde M 1 > M 2 , estão presos ao teto por fios ideais e enrolados em suas bordas. Liberados a partir do repouso eles caem verticalmente onde g é o módulo da aceleração local da gravidade; o momento de inércia de um disco em torno do seu eixo de rotação que passa pelo seu centro é igual 1 / 2 M R 2 . Os módulos das trações nos fios em cada disco são T 1 e T 2 e as acelerações dos seus centros de massa são a C M 1 e a C M 2 , respectivamente, a opção correta abaixo é:

  1. T 1 = T 2
  2. T 1 = M 1 g ; T 2 = M 2 g
  3. a C M 1 = a C M 2
  4. a C M 1 > a C M 2
  5. a C M 1 < a C M 2 e T 1 < T 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Quando os discos caem eles descem verticalmente, isso quer dizer que eles rodam em torno do seu centro.

A única força que atua no disco fazendo torque é a tração, fazendo ele girar no sentido anti-horário

T ⋅ R = α I

O enunciado disse o momento de inércia do disco, então

T R = α ⋅ 1 2 M R 2

2 T = α R ⋅ M

Lembrando que, nesse caso

a C M = α ⋅ R

Resultando em

2 T = a C M M

Passo 2

Além disso as forças que atuam no disco, que são o peso e a tração vão ter a seguinte equação

T - P = - M ⋅ a C M

O sinal da aceleração é importante para termos compatibilidade de movimentos, já que o disco roda no sentido anti-horário a aceleração é para baixo.

M g - T = M a C M

Substituindo o que achamos no passo 1

M g - a C M M 2 = a C M M

Então

a C M = 2 3 g

Repara que eu fiz essa conta toda para um disco qualquer, por isso não disse se era 1 ou 2 . A aceleração não depende da massa, então elas são iguais

a C M 1 = a C M 2

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P2-2012.1-Q1.

Considere dois discos um de raio R 1 e de massa M 1 e outro de raio R 2 e de massa M 2 unidos concentricamente formando um sistema (disco composto) rígido, cujo momento de inércia vale I quando gira livremente em torno do eixo fixo e perpendicular ao plano dos discos passando pelo centro. Duas massas, m 1 e m 2 , presas a cordas finas e inextensíveis enroladas na periferia dos discos de raios R 1 e R 2 respectivamente, fazem girar o disco composto quando soltas; considere que g é o módulo da aceleração local da gravidade.

  1. Isole os blocos e o disco composto e represente em um diagrama de corpo livre todas as forças, identificando-as, que atuam em cada um deles; use como referência a vista lateral do sistema.
  2. Escreva as equações do movimento de rotação do disco composto e de translação dos blocos.
  3. Determine a aceleração angular, α , do disco composto.
  4. Determine matematicamente a condição para que o sistema esteja em equilíbrio
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Passo 1

a)

Vamos começar fazendo o DCL do bloco 1 .

Nesse caso, só vamos ter a tração e a força peso atuando.

Passo 2

Agora no bloco 2 será a mesma coisa que no bloco 1 , só os pesos e as trações que são diferentes:

Passo 3

No disco, o DCL é o seguinte:

Nesse caso, temos as duas forças de tração, o peso do disco e a força de reação do pino que chamei de F → .

Passo 4

b)

Vamos considerar que o disco rola com aceleração angular α no sentido anti-horário. É importante, em questões mais complexas como essa, olharmos a rotação do disco direito e com calma.

Vamos ter:

∑ τ = I ⋅ α

∑ τ = T 1 ⋅ R 1 - T 2 ⋅ R 2

Então:

T 1 R 1 - T 2 R 2 = I α

Passo 5

Se o disco está rolando no sentido anti-horário, o bloco 2 está subindo e o bloco 1 está descendo. Chamando cada módulo da aceleração de a 1 e a 2 , as equações do movimento serão as seguintes.

Para o bloco 2 :

T 2 - P 2 = m 2 ⋅ a 2

Lembrando que:

a 2 = α ⋅ R 2

Resultando em:

T 2 - m 2 g = m 2 R 2 α

Passo 6

Agora para o bloco 1 :

T 1 - P 1 = - m 1 ⋅ a 1

m 1 g - T 1 = m 1 a 1

Lembrando que:

a 1 = α ⋅ R 1

Resultando em:

m 1 g - T 1 = m 1 R 1 α

Passo 7

c)

Temos as seguintes equações:

T 1 R 1 - T 2 R 2 = I α T 2 - m 2 g = m 2 R 2 α m 1 g - T 1 = m 1 R 1 α

Multiplicando a segunda equação por R 2 e a terceira equação por R 1 :

T 1 R 1 - T 2 R 2 = I α T 2 R 2 - m 2 R 2 g = m 2 R 2 2 α m 1 R 1 g - T 1 R 1 = m 1 R 1 2 α

Agora somando todas as equações vamos ter:

T 1 R 1 - T 2 R 2 + T 2 R 2 - m 2 R 2 g + m 1 R 1 g - T 1 R 1 = I α + m 2 R 2 2 α + m 1 R 1 2 α

I + m 2 R 2 2 + m 1 R 1 2 α = m 1 R 1 g - m 2 R 2 g

α = m 1 R 1 g - m 2 R 2 g I + m 2 R 2 2 + m 1 R 1 2

Passo 8

Para que o sistema esteja em equilíbrio, devemos ter:

α = 0

Então:

α = m 1 R 1 g - m 2 R 2 g I + m 2 R 2 2 + m 1 R 1 2 = 0

m 1 R 1 g - m 2 R 2 g = 0

m 1 R 1 = m 2 R 2

Resposta

  1. T 1 R 1 - T 2 R 2 = I α T 2 - m 2 g = m 2 R 2 α m 1 g - T 1 = m 1 R 1 α
  2. α = m 1 R 1 g - m 2 R 2 g I + m 2 R 2 2 + m 1 R 1 2
  3. m 1 R 1 = m 2 R 2

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