Polias Não-Ideais

Teoria Completa

Se liga, sempre que você começa a ver em física algo do tipo “não ideal” é sinal que você tá evoluindo no estudo.

Mas e ae o que você acha que vai influenciar a polia não ser ideal?

Agora a polia possui massa, sendo assim, ela vai passar a ser um corpo do nosso sistema e vamos precisar considera-la no diagrama do corpo livre.

Vamos olhar pra imagem.

Show, já vimos algo muito parecido com isso antes quando trabalhamos com uma polia ideal. Mas, e se eu pedir a você a aceleração angular da polia? Complica um pouco?

Então vamos descomplicar isso aí juntos! Vamos passo-a-passo.

Dados : M = 0,5 k g ;       R = 0,2 m ; m = 3 k g .

Passo 1

Primeiro passo é o mesmo de sempre! Vamos desenhar o diagrama de corpo livre de cada um dos corpos e analisar quais forças atuam sobre eles.

Polia:

Bloco:

A relação da aceleração angular pode ser tirada através da segunda lei de newton para rotação:

Σ τ = I . α

Onde τ é o torque que precisamos encontrar e I é o momento de inércia da polia que é constante.

Já a aceleração do bloco a gente tira pela segunda lei de newton, ou seja:

∑ F = m a

Passo 2

Vamos começar pelo mais simples, analisando o bloco para encontrar uma expressão para a tração, a qual relacionaremos com a polia depois. Pra isso vamos dar uma olhada no DCL do bloco de novo.

Usando a Segunda Lei de Newton com o referencial positivo para baixo, pois a aceleração do bloco aponta para baixo, assim temos:

P - T = m . a

T = m . ( g - a )

Substituindo os valores temos:

T = 3 × ( 9,81 - a )

Passo 3

Precisamos analisar as forças que agem na polia, para aí sim termos o valor de τ e relacionar também com a tração.

Nosso eixo de rotação passa pelo centro da polia, que bom pra nós! Com isso, podemos ignorar tanto a força peso quanto a força normal, sendo assim o torque na polia vai ser dado por:

τ = T . R

Considerando o sentido horário como positivo já que vai no sentido da aceleração angular. Já encontramos uma relação de τ com a tração mas dá pra melhorar isso certo? Vamos usar a segunda lei de newton da rotação:

τ = I α

E como a polia é um disco que rotacional ao redor do centro de massa:

I D I S C O _ C M = M R 2 2

τ = M R 2 2 α

E igualando a relação da tração temos:

T R = α M R 2 2

T = α M R 2

Mas beleza, chegamos numa equação para a tração com relação a aceleração angular da polia. Enquanto para o bloco, tínhamos uma equação para a tração com relação a aceleração do bloco, será que podemos relacionar as duas coisas?

Passo 4

Se liga nesse pulo do gato!

Como a corda não desliza sobre a polia, a aceleração com que o bloco cai é a mesma aceleração linear de qualquer ponto por onde a corda passa

E a corda passa ao redor da polia, com isso, podemos relacionar a aceleração do bloco com a aceleração angular da polia:

Portanto, em polias não ideias podemos usar a relação:

a = α . R

Ou então:

α = a R

E substituindo na lei de newton da polia:

T = α M R 2 = a R × M R 2

T = M a 2

Agora sim, substituindo os valores:

T = 0,5 a 2

Passo 5

Agora é só montar o sistema e partir pro abraço:

T = 3 × ( 9,81 - a ) T = 0,5 a 2

Resolvendo esse sisteminha, igualando as trações, você encontra que:

3 × 9,81 - a = 0,5 a 2

29,43 - 3 a = 0,25 a

3,25 a = 29,43

a = 9,06 m / s 2

Que é a aceleração do bloco!

Para encontrar a tração na corda, a gente pode fazer:

T = 0,5 a 2 = 0,5 × 9,06 2

T = 2,26 N

E pra fechar, como a gente queria encontrar a aceleração angular da polia, a gente pode usar a relação:

a = α R

α = a R = 9,06 0,2

α = 45,3 r a d / s 2

Conclusão

A polia não ideal deve ser sempre considerada como um corpo que faz parte do sistema. Usaremos para ela sempre a segunda lei de newton da rotação:

τ = I . α

E para relacionar a aceleração da polia e do bloco a gente fz:

a = α . R

E tome sempre cuidado com os sinais! Considere a direção da aceleração e da aceleração angular como o positivo, que dá tudo certo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP-P3-2015-7.

Uma máquina de Atwood possui massas m 1 = 2,0 k g , m 2 = 1,0 k g e uma polia maciça uniforme de massa M =2,0kg. O módulo da aceleração linear da massa m 1 vale:

a) 6,0 m / s 2

b) 3,3   m / s 2

c) 5,0   m / s 2

d) 2,5   m / s 2

e) 2,0   m / s 2

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Passo 1

Isolando as forças, teremos:

Duas forças em m 1 :   P 1 → e   T 1 →

Duas forças em m 2 :   P 2 → e   T 2 →

E quatro forças na Polia:   P → (peso da polia),   T → (reação pela polia estar presa ao teto),   T 1 ' → ( - T 1 → ) e   T 2 ' → - T 2 →   )

Passo 2

Vamos assumir que o bloco de massa m 1 está descendo e portanto se movimentando contra a orientação do nosso eixo vertical, então utilizando a segunda Lei de Newton para escrever as equações do movimento desse bloco, teremos:

T 1 - P 1 = m 1 . - a

T 1 - P 1 = - m 1 . a

Se o bloco m 1 desce, então o bloco m 2 sobe, teremos:

T 2 - P 2 = m 2 . a

E não podemos esquecer de analisar o movimento de rotação da polia, já que a polia que faz parte do problema não é ideal. A polia não translada, mas pela Segunda Lei de Newton para rotação sabemos que   T 1 → e   T 2 → geram torque. Considerando a aceleração angular sendo positiva no sentido anti-horário, podemos escrever:

τ =   I . α

τ = T 1 . R - T 2 . R

R T 1 - T 2 = I . α

Passo 3

O I da polia é dado por I p o l i a = M R 2 2 . Além disso, temos a relação α = a R .

Assim:

R T 1 - T 2 = M R 2 2 . a R = M R a 2

T 1 - T 2 = M a 2

Passo 4

Agora montando um sistema com a equação do bloco de massa m 1 e do bloco m 2 , subtraindo a primeira da segunda, teremos:

                          T 1 - P 1 = - m 1 a -                   T 2 - P 2 = m 2 a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

T 1 - T 2 - P 1 + P 2 = - a [ m 1 + m 2 ]

Mas do Passo 3, pela equação do movimento de rotação da polia, sabemos que T 1 - T 2 = M a 2 .

Substituindo na útima equação, teremos:

M a 2 - P 1 + P 2 = - a [ m 1 + m 2 ]

Passando M a 2 para o outro lado, colocando a em evidência, e substituindo os pesos por suas fórmulas correspondentes:

- m 1 g + m 2 g = - a [ m 1 + m 2 + M 2 ]

Isolando o a :

a = g m 1 - m 2 m 1 + m 2 + M 2

Passo 5

Substituindo de vez agora os valores, teremos:

a = 10 . 2 - 1 1 + 2 + 1 = 2,5 m / s 2

Como a aceleração do bloco 1 é igual a - a , teremos:

- a = - 2,5   m / s 2

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P3-2013.2-1

Um cabo ideal está enrolado em volta de uma polia de raio R = 20   c m e massa M = 1,0   k g   e tem sua outra extremidade ligada a um bloco de m = 2,0   k g . O bloco se encontra apoiado sobre um plano inclinado de 30 ° em relação a horizontal. O sistema é solto a partir do repouso. Não existe atrito entre o plano e o bloco. Considerando o momento de inércia da polia I = M   .   R 2 2 , calcule:

a ) A aceleração angular da polia.

b ) a tração no cabo e o torque na polia.

c ) O módulo da aceleração linear a de um ponto na borda na polia após 0,5   s de iniciado o movimento.

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Passo 1

a )

Para descobrir a aceleração angular da polia, devemos utilizar a fórmula do torque, onde τ = I   .   α .

No entanto, precisaremos de mais uma equação. Como existe um vínculo entre os dois corpos, podemos também usar F = m   .   a , pois sabemos que a =   α   .   R .

Se liga nas equações:

τ = I   .   α

T . R = M   .   R 2 2   . a R

T = M . a 2

Passo 2

Agora que já temos T em função de a , vamos à equação para o bloco:

m . g . sen ⁡ θ -   T = m   .   a