Polias Não-Ideais

Teoria Completa

Se liga, sempre que você começa a ver em física algo do tipo “não ideal” é sinal que você tá evoluindo no estudo.

Mas e ae o que você acha que vai influenciar a polia não ser ideal? Normamente dizemos que ela tem massa e esse fato muda bastante coisa, mas o quê?

Agora você está aprendendo a Dinâmica da Rotação! E está pronto para avaliar como essa massa e o movimento de rotação da polia vai modificar o movimento geral.

Não tem jeito melhor de explicar isso do que com um exemplo.

Suponha que tenhamos uma polia e uma massa como na imagem:

Show, já vimos algo muito parecido com isso antes quando trabalhamos com uma polia ideal. Mas, e se eu pedir a você a aceleração angular da polia? Complica um pouco?

Então vamos descomplicar isso aí juntos! Vamos passo-a-passo.

Passo 1

Já aprendemos como obter a aceleração angular dos corpos a partir do torque total que age nele. É só usarmos a seguinte relação, que a gente costuma chamar da irmãzinha da segunda lei de Newton da rotação:

τ = I . α

Nessa relação temos:

  • τ – O torque, que não temos, mas podemos calcular a partir das forças que agem na polia;
  • I – O momento de inércia, que é constante;
  • α – A aceleração angular, que é o que queremos encontrar.

Passo 2

Precisamos analisar as forças que agem na polia, para aí sim termos o valor de τ . Temos o seguinte diagrama de corpo livre (DCL):

Nosso eixo de rotação passa pelo centro da polia, que bom pra nós! Com isso, podemos ignorar tanto a força peso quanto a força de reação F R que impede a polia de transladar. Para calcula o torque gerado pela tração na polia:

τ = T . R

Passo 3

Precisamos achar uma expressão para a força de tração. Para isso, faremos um DCL para o bloco:

Usando a segunda lei de Newton, temos:

P - T = m . a

T = m . ( g - a )

Passo 4

Juntando as equações do Passo 1 com a do Passo 2 e montando um sistema com a equação do Passo 3:

T . R = I . α T = m . g - a

Substituindo T , na primeira equação:

I . α = m . g - a . R

Bom, nós temos I ,   m ,   g e R , mas a e α ainda são incógnitas. O que vamos fazer???

Calma, jovem. Quando os cálculos não salvam, a gente pensa em uma solução física para relacionar as variáveis.

Como a corda não desliza sobre a polia, a aceleração com que o bloco cai é a mesma aceleração linear de qualquer ponto da polia, portanto em polias não ideias podemos usar a relação:

a = α . R

Passo 5

Nesse passo final, vamos usar a equação combinada junto com a nossa sacada física.

I . α = m . g - α . R . R

α . I + m . R 2 = m . g . R

Como o momento de inércia do disco (polia) é dado por M R 2 2 :

α = 2 . m . g R ( M + 2 . m )

AEW! Finalmente chegamos à resposta! Parece complicado? Mas fica tranquilo, depois de praticar algumas vezes você vai virar craque!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP-P3-2015-7.

Uma máquina de Atwood possui massas m 1 = 2,0 k g , m 2 = 1,0 k g e uma polia maciça uniforme de massa M =2,0kg. O módulo da aceleração linear da massa m 1 vale:

a) 6,0 m / s 2

b) 3,3   m / s 2

c) 5,0   m / s 2

d) 2,5   m / s 2

e) 2,0   m / s 2

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Passo 1

Isolando as forças, teremos:

Duas forças em m 1 :   P 1 → e   T 1 →

Duas forças em m 2 :   P 2 → e   T 2 →

E quatro forças na Polia:   P → (peso da polia),   T → (reação pela polia estar presa ao teto),   T 1 ' → ( - T 1 → ) e   T 2 ' → - T 2 →   )

Passo 2

Vamos assumir que o bloco de massa m 1 está descendo e portanto se movimentando contra a orientação do nosso eixo vertical, então utilizando a segunda Lei de Newton para escrever as equações do movimento desse bloco, teremos:

T 1 - P 1 = m 1 . - a

T 1 - P 1 = - m 1 . a

Se o bloco m 1 desce, então o bloco m 2 sobe, teremos:

T 2 - P 2 = m 2 . a

E não podemos esquecer de analisar o movimento de rotação da polia, já que a polia que faz parte do problema não é ideal. A polia não translada, mas pela Segunda Lei de Newton para rotação sabemos que   T 1 → e   T 2 → geram torque. Considerando a aceleração angular sendo positiva no sentido anti-horário, podemos escrever:

τ =   I . α

τ = T 1 . R - T 2 . R

R T 1 - T 2 = I . α

Passo 3

O I da polia é dado por I p o l i a = M R 2 2 . Além disso, temos a relação α = a R .

Assim:

R T 1 - T 2 = M R 2 2 . a R = M R a 2

T 1 - T 2 = M a 2

Passo 4

Agora montando um sistema com a equação do bloco de massa m 1 e do bloco m 2 , subtraindo a primeira da segunda, teremos:

                          T 1 - P 1 = - m 1 a -                   T 2 - P 2 = m 2 a

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

T 1 - T 2 - P 1 + P 2 = - a [ m 1 + m 2 ]

Mas do Passo 3, pela equação do movimento de rotação da polia, sabemos que T 1 - T 2 = M a 2 .

Substituindo na útima equação, teremos:

M a 2 - P 1 + P 2 = - a [ m 1 + m 2 ]

Passando M a 2 para o outro lado, colocando a em evidência, e substituindo os pesos por suas fórmulas correspondentes:

- m 1 g + m 2 g = - a [ m 1 + m 2 + M 2 ]

Isolando o a :

a = g m 1 - m 2 m 1 + m 2 + M 2

Passo 5

Substituindo de vez agora os valores, teremos:

a = 10 . 2 - 1 1 + 2 + 1 = 2,5 m / s 2

Como a aceleração do bloco 1 é igual a - a , teremos:

- a = - 2,5   m / s 2

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P3-2013.2-1

Um cabo ideal está enrolado em volta de uma polia de raio R = 20   c m e massa M = 1,0   k g   e tem sua outra extremidade ligada a um bloco de m = 2,0   k g . O bloco se encontra apoiado sobre um plano inclinado de 30 ° em relação a horizontal. O sistema é solto a partir do repouso. Não existe atrito entre o plano e o bloco. Considerando o momento de inércia da polia I = M   .   R 2 2 , calcule:

a ) A aceleração angular da polia.

b ) a tração no cabo e o torque na polia.

c ) O módulo da aceleração linear a de um ponto na borda na polia após 0,5   s de iniciado o movimento.

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Passo 1

a )

Para descobrir a aceleração angular da polia, devemos utilizar a fórmula do torque, onde τ = I   .   α .

No entanto, precisaremos de mais uma equação. Como existe um vínculo entre os dois corpos, podemos também usar F = m   .   a , pois sabemos que a =   α   .   R .

Se liga nas equações:

τ = I   .   α

T . R = M   .   R 2 2   . a R

T = M . a 2

Passo 2

Agora que já temos T em função de a , vamos à equação para o bloco:

m . g . sen ⁡ θ -   T = m   .   a

Substituindo T   na equação, temos:

m . g . sen ⁡ θ - M . a 2 = m   .   a

a = m . g . sen ⁡ 30 ° m + M 2

a = 4,0   m / s 2

A aceleração angular fica:

α = a R

α = 20,0   r a d / s 2

Passo 3

b )

Ahh...fazer esse item ficou fácil depois de ter feito o anterior! Queremos saber a tração T , que a gente ja deixou em função de M e de a , lembra?!

T = M . a 2

Agora que a gente já tem o valor de a , ficou fácil!

T = 1 , 0   .   4,0 2

T = 2 , 0   N

Já o torque da polia é dado por:

τ = T . R = 2,0.0,2 = 0,4   N . m

Passo 4

c )  

Para achar a aceleração linear, temos que achar a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta, que são as componentes da aceleração linear. Lembra?! Vamos começar pela tangencial, a gente já calculou no item a , mas vamos lá!

a t =   α   . R

a t = 4 m / s 2

Agora vamos achar a centrípeta.

Sabemos que depois de 0,5   s , temos:

ω = α   .   t

ω = 20,0   .   0,5

ω = 10

Então a aceleração centrípeta fica:

a c p = ω 2   .   R

a c p = 100   .   0,20

a c p = 20 m / s 2

Passo 5

Agora que temos a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta, basta fazer aquele Pitágoras básico para achar a aceleração linear! Olha só!

a = a c p 2 + a t 2