Energia Cinética de Rotação

Teoria Completa

Rotação pura

Vamos pensar em uma situação intrigante. Suponha que você esteja rodando uma manivela que movimenta uma grande roda, como na imagem abaixo:

A grande roda possui massa M e raio R . Você então aplica força na extremidade da manivela, fazendo o disco começar um movimento de rotação. Se fosse perguntado para você qual a energia gasta nesse movimento, como você ia saber?

Se a gente pensasse no que a gente já aprendeu sobre energia de movimento, pensaria o seguinte:

  • Para calcular a Energia Cinética usaríamos a fórmula m v 2 2 , mas levando em conta a velocidade do centro de massa, que é nula, cacularíamos que a energia necessária para fazer essa roda girar é nula.

Se disséssemos que a energia gasta pra colocar a roda em movimento é nula, você acreditaria? Acho que não, né?

A sua intuição não te enganou! Vamos aprender aqui sobre a energia cinética de rotação, que é usada quando objetos giram e ganham energia, mesmo que seu centro de massa fique parado (ou não).

Em problemas de energia, a abordagem vai ser a mesma aprendida lá em Dinâmica de Translação, vamos CONSERVAR A ENERGIA MECÂNICA. Só que, dessa vez, tomaremos cuidado com esse termo relacionado a rotação do objeto que pode aparecer.

Tá, beleza... Mas, como eu calculo essa energia de rotação?

Simples! Só usar a fórmula:

K r o t a ç ã o = I ω 2 2

Onde:

  • K r o t a ç ã o é a energia cinética de rotação;
  • I é o momento de inércia do corpo;
  • e ω é a velocidade angular do corpo no instante desejado.

Um modo de facilitar a memorização não só dessa fórmula, mas de muitas outras aqui em Dinâmica de Rotação é pensar em “irmãozinhos”.

  • A massa ( m ) lá do movimento translacional é “irmãzinha” do momento de inércia( I );
  • A velocidade linear( v ) é “irmãzinha” da velocidade angular ( ω ).

Então, basta lembrarmos da fórmula da energia cinética rotacional:

K t r a n s l a ç ã o = m v 2 2

E, se decorarmos as irmãzinhas, fica fácil lembrar da fórmula da K r o t a ç ã o .

Energia de Rotação + Translação + Potencial Gravitacional

Há situações cujos corpos executam os dois tipos de movimento e, por isso, temos que colocar todos os tipos de energia nos exercícios. Vamos a um exemplo!

A barra da figura abaixo possui massa M e tamanho L e é presa no nível do chão por uma de suas extremidades. A sua outra extremidade é abandonada de uma altura h do nível do solo. Qual é a velocidade linear da extremidade livre quando esta chega ao nível do solo?

O problema é solucionado por conservação da energia mecânica.

E i n i c i a l = E f i n a l

U i + K T i + K R i = U f + K T f + K R f

Como no inicio a barra está parada ela não translada nem rotaciona, então só há energia potencial gravitacional e como a barra é um corpo extenso, levamos em conta os dados em relação ao seu centro de massa:

E i = U i = M g h 2  

Já pra situação final:

Teremos energia cinética rotacional, porque a barra estará girando em torno do seu eixo, e de translação porque seu centro de massa terá uma velocidade conforme cai, porém não teremos energia potencial gravitacional, já que a barra estará na altura do chão.

E f = K T f + K R f

E f = M v 2 2 + I w 2 2

Energia cinética rotacional: lá da cinemática da rotação, conseguimos uma relação entre a velocidade linear da extremidade e a velocidade angular da barra (QUE É A MESMA PARA TODOS OS PONTOS DA BARRA!)

v = ω L → ω = v L

I ω 2 2 = I v L 2 2 = I v 2 2 L 2

Show! Estamos quase lá! Vamos agora aplicar a conservação da energia mecânica:

U i = K T f + K R f

M g h 2 = M v 2 2 + I v 2 2 L 2

Como o momento de inércia de uma barra de massa M e comprimento L , presa pela extremidade, é dado por:

I = M L 2 3

(Não se preocupe! No geral essas expressões de momento de inércia são dadas!)

Temos:

M g h 2 = M v 2 2 + M v 2 6

Resolvendo a equação para acharmos o valor da velocidade

g h = v 2 + v 2 3 = 4 v 2 3

v = 3 g h 2

Boa! Conseguimos aplicar os conceitos de energia cinética de rotação para resolver um problema completo. Bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 287-33

Calcule o momento de inércia de uma roda que tem uma energia cinética de 24   400   J quando gira a 602   r e v / m i n .

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Passo 1

Temos aqui um problema de aplicação direta da fórmula de energia cinética de rotação.

K r o t a ç ã o = I ω 2 2

O valor do momento de inércia ( I ) é o que procuramos no problema.

Já o valor de ω deve ser convertido para r a d / s , pois assim poderemos usar todas as unidades no Sistema Internacional, o padrão.

ω = 602 r e v m i n   .     1 60 m i n s   . 2 π r a d r e v → ω = 602   .   2 π 60   r a d / s

ω ≅ 63   r a d / s

Passo 2

Reunindo as informações obtidas, temos:

24400 = I   .   63 2 2 →   I ≅ 12,29   k g . m 2

Resposta

I ≅ 12,29   k g . m 2

Exercício Resolvido #2

UFRJ-PF-2014.1-ME6

Uma esfera é lançada rolando sem deslizar subindo um plano inclinado com velocidade inicial v → do seu centro de massa. Um bloco é lançado subindo em translação um plano inclinado com a mesma inclinação e com a mesma velocidade inicial v → do seu centro de massa. No plano onde se encontra a esfera há atrito suficiente para que ela permaneça rolando sem deslizar e no plano onde está o bloco não há atrito.

A relação entre a altura máxima H b que o bloco atinge e a altura máxima H e que a esfera atinge nos respectivos planos é dada por

(a) H b = H e , pois tanto a energia cinética do bloco como a da esfera se conserva.

(b) H b = H e , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

(c) H b > H e , pois o bloco desliza sem atrito.

(d) H e > H b , pois a esfera rola sem deslizar.

(e) H e > H b , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

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Passo 1

Primeiro vamos determinar se a energia mecânica se conserva pro bloco e pra esfera.

Pro caso do bloco é fácil: não tem atrito (nem outra força não-conservativa) atuando, então ela se conserva.

Já pra esfera temos que ficar ligados! Tem atrito, mas se não tivesse a esfera não poderia rolar sem deslizar! Que nem provavelmente você já ouviu dizer que se o chão não tivesse atrito, não daria pra gente andar (por isso que pessoas que andam no gelo escorregam).

Enfim, o ponto é que esse atrito é só o suficiente pra esfera rolar sem deslizar, mas ele não faz a esfera perder energia!

Portanto, tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

Passo 2

Apesar de na figura a esfera e o bloco não estarem exatamente no nível do chão, vamos considerar que eles partem com energia potencial gravitacional zero, ok?

Então a energia mecânica inicial E i deles é igual à energia cinética inicial K   associada à velocidade v .

Passo 3

Começando pela esfera: vamos considerar que ela tem massa M e raio R .

Ela tem as energias cinéticas de rotação K r o t e de translação K t r a n , então sua energia mecânica inicial é:

E i e s f e r a = K r o t + K t r a n

⇒ E i e s f e r a = 1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2

Passo 4

O momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R é

I = 2 5 M R 2

E também temos a relação

v = ω R   ⇒ ω = v R

Passo 5

Então a equação que achamos antes vai dar:

E i e s f e r a = 1 2 ∙ 2 5 M R 2   v R 2 + 1 2 M v 2

⇒ E i e s f e r a = 2 10 M R 2 v 2 R 2 + 1 2 M v 2

⇒ E i e s f e r a = 2 10 M v 2 + 5 10 M v 2

⇒ E i e s f e r a = 7 10 M v 2

Então essa é a energia mecânica inicial da esfera!

Passo 6

Agora vamos supor que o bloco tem massa m . Como vimos, sua energia mecânica inicial é igual à sua energia cinética inicial e vale

E i b l o c o = 1 2 m v 2

Passo 7

Agora vamos estudar as energias mecânicas finais E f da esfera e do bloco, começando pela esfera!

No fim do movimento, a esfera para numa altura H e : toda a sua energia cinética se transformou em energia potencial gravitacional, então:

E f e s f e r a = M g H e

Passo 8

E pela conservação da energia mecânica,

E i e s f e r a = E f e s f e r a

⇒ 7 10 M v 2 = M g H e

Multiplicando por 10 7 M dos 2 lados:

v 2 = 10 7 g H e

⇒ v = 10 7 g H e

Passo 9

Da mesma forma, pro bloco,

E f b l o c o = m g H b

e

E i b l o c o = E f b l o c o

Passo 10

Logo,

1 2 m v 2 = m g H b

⇒ v 2 = 2 g H b

⇒ v = 2 g H b

Passo 11

Recapitulando, achamos

v = 10 7 g H e v = 2 g H b

Passo 12

Igualando as 2 expressões:

10 7 g H e = 2 g H b

⇒ 10 7 g H e = 2 g H b

⇒ 10 7 H e = 2 H b

⇒ H e = 7 10 2 H b = 14 10 H b

⇒ H e > H b

Chegamos nesse resultado por causa da conservação da energia mecânica, então a alternativa certa é a letra (e)!

Resposta

Alternativa (e)

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2014.1-M05

Um carro tem uma roda de massa M e raio R com momento de inércia I c m = 3 / 4 M R 2 relativo ao seu eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa. O carro arranca em movimento retilíneo com a roda patinando na pista de modo que a velocidade v → c m de seu centrode massa esteja relacionada com sua velocidade angular de rotação ω por meio de v c m = ω R / 2