Energia Cinética de Rotação

Teoria Completa

Rotação pura

Vamos pensar em uma situação intrigante. Suponha que você esteja rodando uma manivela que movimenta uma grande roda, como na imagem abaixo:

A roda possui massa M = 10 k g e raio R = 0,25 m . Você então aplica força na extremidade da manivela, fazendo o disco começar um movimento de rotação. Qual a energia cinética gasta nesse movimento? Se a velocidade angular é ω = 2 r a d / s .

Ah, moleza a energia cinética é dada por:

K = m v 2 2

Mas pera aí, essa roda tá fixa ou seja o centro de massa dela tem velocidade zero. Então:

K = 0 ?

Se disséssemos que a energia gasta pra colocar a roda em movimento é nula, você acreditaria? Acho que não, né?

A sua intuição não te enganou! Vamos aprender aqui sobre a energia cinética de rotação, que é usada quando objetos giram e ganham energia. No nosso caso o eixo de rotação está parado, não há movimento de translação, isso é a rotação pura!

Mas o que é o eixo de rotação?

Nada mais é do que o eixo onde o objeto gira em torno, vamos desenhar o objeto em 3 dimensões e definir os eixos pra ver qual é o eixo de rotação.

Na nossa figura o eixo de rotação é o eixo z pois a roda gira em torno dele, e repare que esse eixo não se movimenta, é travado pelo apoio.

Tá, beleza... Mas, como eu calculo essa energia de rotação?

Simples! Só usar a fórmula:

K r o t a ç ã o = I ω 2 2

Onde:

  • K r o t a ç ã o é a energia cinética de rotação;
  • I é o momento de inércia do corpo e nesse caso é dado por:
  • I = M R 2

    E substituindo os valores do nosso exemplo temos:

    I = 10 × 0,25 2 = 0,625 k g . m 2

  • e ω é a velocidade angular do corpo no instante desejado dado.

Substituindo tudo na nossa fórmulinha, temos:

K r o t a ç ã o = I ω 2 2 = 0,625 × 2 2 = 0,625 J

Com isso podemos dizer que a energia cinética da nossa roda vai ser de 0,625 J !

E se liga para a roda do nosso problema o eixo de rotação está parado e portanto não possui energia de translação, mas em outros corpos como planetas essa energia existe e é calculada como a energia cinética comum:

K t r a n s l a ç ã o = m v c m 2 2

Isso porquê o eixo de rotação de objetos como planetas se movimenta com o passar do tempo, é a famosa translação.

Em algum momento da sua vida, você talvez tenha ouvido que os planetas fazem o movimento de translação ao redor do Sol e de rotação ao redor do próprio eixo. E como calculamos a energia cinética de um planeta, então? Somando a parcela referente a translação com a parcela referente a rotação:

K = K t r a n s + K r o t

K = m v c m 2 2 + I ω 2 2

Conservação de Energia

Mas então, aprendemos que existe uma energia cinética de rotação que é usada quando os objetos rotacionam. Será que podemos usar isso, num caso de conservação de energia mecânica?

Vamos ver um exemplo:

A barra da figura abaixo possui massa M e tamanho L = 1 m e é presa no nível do chão por uma de suas extremidades. A sua outra extremidade é abandonada e gira até a barra bater no chão. Qual é a velocidade linear da extremidade livre quando chega ao nível do solo? E qual sua velocidade angular no mesmo ponto?

O problema é solucionado por conservação da energia mecânica.

E i n i c i a l = E f i n a l

U i + K i = U f + K f

Como no inicio a barra foi abandonada, sua velocidade inicial é zero, então só há energia potencial gravitacional e como a barra é um corpo extenso, levamos em conta os dados em relação ao seu centro de massa. Considerando o chão como o eixo de referência, teremos:

E i = U i = M g y c m = M g L 2

Já pra situação final a gente vai ter a barra no chão e sua velocidade angular final indicada na figura.

Teremos energia cinética rotacional, porque a barra estará girando em torno do seu eixo, não teremos cinética translacional pois esse eixo é fixo, ou seja, temos aqui uma rotação pura.

E não teremos energia potencial gravitacional, já que o centro de massa da barra estará na altura do chão, que é o nosso nível de referência. Logo:

E f = K R f

Por se tratar de um corpo rígido a energia de rotação é:

K R f = I ω 2 2

Daí substituindo:

E f = I ω 2 2

Agora é só conservar a energia e podemos encontrar a velocidade angular final da barra:

E i = E f

M g L 2 = I ω 2 2

O momento de inércia de uma barra rotacionando ao redor de uma de suas extremidades é geralmente tabelado:

I b a r r a e x t = M L 2 3

(em algumas tabelas, há apenas o momento de inércia da barra ao redor do centro de massa I b a r r a c m = M L 2 12 e você pode chegar no momento de inércia da barra ao redor da sua extremidade pelo teorema dos eixos paralelos).

Substituindo:

M g L 2 = M L 2 3 ω 2 2  

Cortando alguns termos:

g = L 3 ω 2

ω 2 = g × 3 L = 9,8 × 3 1 =   29,4

ω = 5,42   r a d / s

Opa, encontramos o valor da velocidade angular da barra no instante que ela chega no chão. Mas também queremos encontrar a velocidade da sua extremidade livre:

Lá da cinemática angular, conhecemos uma relação entre a velocidade linear de um ponto de um corpo e a velocidade angular desse corpo:

v = ω R

No nosso caso, a velocidade v é a velocidade na extremidade da barra, ω é a velocidade angular da barra (que acabamos de encontrar) e R é a distância do ponto até o eixo de rotação (que no nosso caso, é o comprimento L da barra).

v = ω L = 5,42 × 1

v = 5,42 m / s

E como podemos ver no nosso desenho, quando a barra chega ao solo, essa velocidade na extremidade aponta para baixo.

E aí, bora praticar mais nos exercícios de fixação?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 287-33

Calcule o momento de inércia de uma roda que tem uma energia cinética de 24   400   J quando gira a 602   r e v / m i n .

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Passo 1

Temos aqui um problema de aplicação direta da fórmula de energia cinética de rotação.

K r o t a ç ã o = I ω 2 2

O valor do momento de inércia ( I ) é o que procuramos no problema.

Já o valor de ω deve ser convertido para r a d / s , pois assim poderemos usar todas as unidades no Sistema Internacional, o padrão.

ω = 602 r e v m i n   .     1 60 m i n s   . 2 π r a d r e v → ω = 602   .   2 π 60   r a d / s

ω ≅ 63   r a d / s

Passo 2

Reunindo as informações obtidas, temos:

24400 = I   .   63 2 2 →   I ≅ 12,29   k g . m 2

Resposta

I ≅ 12,29   k g . m 2

Exercício Resolvido #2

UFRJ-PF-2014.1-ME6

Uma esfera é lançada rolando sem deslizar subindo um plano inclinado com velocidade inicial v → do seu centro de massa. Um bloco é lançado subindo em translação um plano inclinado com a mesma inclinação e com a mesma velocidade inicial v → do seu centro de massa. No plano onde se encontra a esfera há atrito suficiente para que ela permaneça rolando sem deslizar e no plano onde está o bloco não há atrito.

A relação entre a altura máxima H b que o bloco atinge e a altura máxima H e que a esfera atinge nos respectivos planos é dada por

(a) H b = H e , pois tanto a energia cinética do bloco como a da esfera se conserva.

(b) H b = H e , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

(c) H b > H e , pois o bloco desliza sem atrito.

(d) H e > H b , pois a esfera rola sem deslizar.

(e) H e > H b , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

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Passo 1

Primeiro vamos determinar se a energia mecânica se conserva pro bloco e pra esfera.

Pro caso do bloco é fácil: não tem atrito (nem outra força não-conservativa) atuando, então ela se conserva.

Já pra esfera temos que ficar ligados! Tem atrito, mas se não tivesse a esfera não poderia rolar sem deslizar! Que nem provavelmente você já ouviu dizer que se o chão não tivesse atrito, não daria pra gente andar (por isso que pessoas que andam no gelo escorregam).

Enfim, o ponto é que esse atrito é só o suficiente pra esfera rolar sem deslizar, mas ele não faz a esfera perder energia!

Portanto, tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

Passo 2

Apesar de na figura a esfera e o bloco não estarem exatamente no nível do chão, vamos considerar que eles partem com energia potencial gravitacional zero, ok?

Então a energia mecânica inicial E i deles é igual à energia cinética inicial K   associada à velocidade v .

Passo 3

Começando pela esfera: vamos considerar que ela tem massa M e raio R .

Ela tem as energias cinéticas de rotação K r o t e de translação K t r a n , então sua energia mecânica inicial é:

E i e s f e r a = K r o t + K t r a n

⇒ E i e s f e r a = 1 2 I ω 2 + 1 2 M v 2

Passo 4

O momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R é

I = 2 5 M R 2

E também temos a relação

v = ω R   ⇒ ω = v R

Passo 5

Então a equação que achamos antes vai dar:

E i e s f e r a = 1 2 ∙ 2 5 M R 2   v R 2 + 1 2 M v 2

⇒ E i e s f e r a = 2 10 M R 2 v 2 R 2 + 1 2 M v 2

⇒ E i e s f e r a = 2 10 M v 2 + 5 10 M v 2

⇒ E i e s f e r a = 7 10 M v 2

Então essa é a energia mecânica inicial da esfera!

Passo 6

Agora vamos supor que o bloco tem massa m . Como vimos, sua energia mecânica inicial é igual à sua energia cinética inicial e vale

E i b l o c o = 1 2 m v 2

Passo 7

Agora vamos estudar as energias mecânicas finais E f da esfera e do bloco, começando pela esfera!

No fim do movimento, a esfera para numa altura H e : toda a sua energia cinética se transformou em energia potencial gravitacional, então:

E f e s f e r a = M g H e

Passo 8

E pela conservação da energia mecânica,

E i e s f e r a = E f e s f e r a

⇒ 7 10 M v 2 = M g H e