Algarismos Significativos e Notação Científica

Teoria Completa

Algarismos significativos

Qualquer medição que a gente faça sempre possui certo grau de incerteza experimental.

Quando medimos uma mesa e achamos 2,30 m , essa medida indica que a mesa possui aproximadamente 2,30 m , e não exatamente esse valor. Ela pode ser um pouco maior ou um pouco menor. Mas como estimar exatamente a incerteza em uma medida?

Essa incerteza, muitas vezes, pode ser estimada através da quantidade de algarismos significativos utilizados na medição.

Mas o que é um algarismo significativo???

Vamos aprender a identificar quais algarismos são significativos em uma medição através de alguns exemplos. Vem comigo!

  • O número 0,00130 tem três algarismos significativos ( 0,00 130 ).
  • O número 2,50 tem três algarismos significativos.
  • O número 2,503 têm quatro algarismos significativos.
  • O número 2300,0 tem cinco algarismos significativos

Sacou? Quando o 0 vem à direita, ele é significativo. Já quando ele vem à esquerda, ele não é significativo.

Mas e quando eu faço operações com dois números, quantos algarismos significativos eu tenho que usar?

Tipo essa aqui: 2,500 × 3,4 =   ?

Quantos algarismos significativos eu vou usar na resposta? A mesma quantidade do número com menor quantidade de algarismos significativos! E quem é esse? O 3,4 (que tem só 2 algarimos significativos, enquanto o 2,500 tem 4 ). Logo:

2,500 × 3,4 = 8,5

E como resolve essa aqui: 2374,93 + 73,456 =   ?

Simples! Aqui a gente procura o termo com menor número de casas decimais. Quem é esse? O 2374,93 (tem 2 casas decimais enquanto o 73,456 tem 3 ). A minha resposta então tem que ter 2 casas decimais!

2374,93 + 73,456 = 2448,39

obs: Em todos os casos, nós arredondamos para cima quando o algarismo seguinte é igual ou maior que 5.

Notação científica

Quando trabalhamos com números muito grandes ou muito pequenos, podemos escrevê-los de uma outra forma, para ficar mais fácil de mostrar os algarismos significativos.

Nesta nova notação, escrevemos assim:

N ú m e r o   e n t r e   1   e   10 ×   10 n

Para escrever qualquer número em potência de 10 , você sempre deve “andar com a vírgula” n casas: Veja o exemplo com o número 258 :

Onde está a vírgula no número 258 ? Está depois do 8 , certo?

258,0

Devemos nesse caso, andar com a vírgula, uma... DUAS casas pra frente:

2,58

Então 258 em notação científica é:

258 = 2,58 × 10 2

No próximo exemplo, vamos transformar o número 0,00020 em potência de 10 ...

0,00020 = 2,0 × 10 - 4

Repare que o 0 ali depois do 2 é algarismo significativo, por isso, a gente coloca 2,0 ao invés de 2 :

2 × 10 - 4

É o mesmo número, só que nesse, só temos um algarismo significativo enquanto que no outro, no original, temos dois, saca?

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 22 – 6 e 7

O número 0,00005130 tem _____ algarismos significativos.

  1. Dois
  2. Três
  3. Quatro
  4. Cinco
  5. Seis

O número 23.0040 tem _____ algarismos significativos

  1. Dois
  2. Três
  3. Quatro
  4. Cinco
  5. Seis  
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se lembra daquela expressão que todo zero à esquerda não vale nada? Aqui continua valendo a mesma coisa, começamos a contar a partir do 5 , tendo 4   algarismos significativos, pois aquele zero à direita é importante. :}

Passo 2

Contando da esquerda para a direita, o último algarismo significativo é o 0   após o 4 , como o número é inteiro, o 0 a direita é um número significativo.

Sendo assim temos s e i s algarismos significativos.

Resposta

l e t r a   c )   q u a t r o

l e t r a   e )   S e i s

Exercício Resolvido #2

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 24 – 45.

Expresse com um número decimal sem usar a notação de potências de 10 :

  1. 3   x   10 4
  2. 6,2   x   10 - 3
  3. 4   x   10 - 6
  4. 2,17   x   10 5
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A idéia dessa questão é sempre ter como referencial onde a parte inteira do número acaba, ou seja, onde está a virgula. Caso a potência de 10   seja positiva, a virgula é deslocada para a direita. Caso a potência de 10   seja negativa, a virgula é deslocada para a esquerda.

Passo 2

Alternativa a)

3   x   10 4

3   x   10 4 = 3   x   10000

30000

Passo 3

Alternativa b)

6,2   x   10 - 3

Escrevendo o número sem as potências de 10 temos:

6,2   x   0,001

Que também pode ser escrito como:

6,2 1000

Resultando em:

0,0062

Passo 4

Alternativa c)

Quando a potência é negativa estamos dividindo o número, quando a potência é positiva estamos multiplicando o número. Por ser potência de 10, precisamos apenas acrescentar ou retirar 0 do número.

4   x   10 - 6

Retirando seis 0 ficamos com:

0,000004

Passo 5

Alternativa d)

2,17   x   10 5

Acrescentando cinco 0 ficamos com:

217000

Resposta

Alternativa (a)

30000

Alternatva (b)

0,0062

Alternativa (c)

0,000004

Alternativa (d)

217000

Exercício Resolvido #3

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 24 – 46.

Escreva o que se segue em notação científica:

  1. 1345100   m =   ____ k m
  2. 12340   K W =   ____ M W
  3. 54,32   p s =   ___ s
  4. 3,0   m =   ___ mm
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse exercício, em cada alternativa precisamos converter as unidades para depois escrevermos em notação científica.

#FicaADica! :P

Passo 2

Alternativa a)

Primeiro, passamos para quilômetros.

  1   k m = 1000   m

  α = 1345100   m

Multiplicando cruzado (regra de 3) temos:

  α = 1345,1   k m

Passo 3

Para escrever em notação cientifica temos que escolher um número que seja maior que 1 e menor que 9 e multiplicamos ele pelo múltiplo de 10 com tantos zeros quanto foram retirados ou adicionados ao número.

1345,1   k m = 1,3451   x   1000   k m

1345,1   k m = 1,3451   x   10 3   k m

Sendo assim:

1345100 = 1,3451   x   10 3   k m

Passo 4

Alternativa b)

Desta vez passando de quilowatts ( K W ) para Megawatts ( M W ).

1   M W = 1000   k w

β = 12340   k w

Logo:

β = 12,340   M W

Passo 5

Agora passando para notação científica com o mesmo procedimento anterior.

12,340   M W = 1,234   x   10   M W

12,340   M W = 1,234   x   10 1   M W

Sendo assim:

12340   K W = 1,234   x   10 1   M W

Passo 6

Alternativa c)

Agora temos a conversão de picosegundos ( p s ) para segundos. Neste caso, temos:

1   s = 1000000000000   p s = 10 12   p s

γ = 54,32   p s

Logo:

γ = 54 , 32   x   10 - 1 2   s = 5,432   x   10 - 11 s

54,32   p s = 5,432   x   10 - 11 s

Que já está em notação científica! Logo, um passo a menos.

Passo 7

Alternativa d)

Convertendo de metros ( m ) para milímetros ( m m ).

1   m = 1000   m m

3   m =   δ

Logo:

δ = 3   x   10 3   m m

3,0   m = 3   x   10 3   m m

Novamente, este resultado já se encontra em notação científica.

Resposta

Alternativa (a)

1345100   m =   1,3451   x   10 3 k m

Alternatva (b)

12340   K W = 1,2345   x   10 1 M W

Alternativa (c)

54,32   p s =   5,432   x   10 - 11   s

Alternativa (d)

3,0   m = 3,0   x   10 3   m m

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 24 – 47.

Calcule o que se segue, arredonde até o número correto de algarismos significativos e expresse seu resultado em notação científica:

  1. 1,14 × 9,99   ×   10 4
  2. 2,78   ×   10 - 8 - ( 5,31   ×   10 - 9 )
  3. 12 π 4,56 x 10 - 3
  4. 27,6 + 5,99   ×   10 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Importante lembrar as regras de multiplicação e divisão nesse exercício, elas valem sempre!! Não se pode somar ou diminuir números diferentes.

Passo 2

Alternativa a)

1,14   ×   9,99   ×   10 4

Fazendo essa conta vamos ter

11,3886 × 10 4

Como os números apresentam 3 algarismos signicativos, a resposta da multiplicação deles também deve apresentar 3   algarismos significativos, pra isso temos que fazer esse arredondamento

11,4 × 10 4

Outra forma de escrever é

1,14 ×   10 5

Passo 3

Alternativa b)

2,78   ×   10 - 8 - ( 5,31   ×   10 - 9 )

Nesse caso, os números estão em potencias de 10   diferentes. Primeiro, precisamos encontrar uma potência em comum:

2,78   ×   10 - 8 = 27,8   ×   10 - 9

Após isso, podemos realizar a operação mantendo a potência de 10 em comum.

27,8   ×   10 - 9 - 5,31   ×   10 - 9

27,8 - 5,31     ×   ( 10 - 9 )

22,49   ×   10 - 9

Como os valores da questão possuem 3 algarismos significativos, a resposta também terá a mesma quantidade:

2,25   ×   10 - 8

Passo 4

Alternativa c)

12 π 4,56 × 10 - 3

Como os números da pergunta possuem 3 algarismos significativos, a resposta também terá:

8,27   ×   10 3

Passo 5

Alternativa d)

27,6 + 5,99   ×   10 2

Passando para a mesma potência:

5,99   ×   10 2 = 599

Realizando a operação:

27,6 + 599 = 627

Logo:

627 = 6,27   ×   10 2  

Resposta

Alternativa (a)

1,14   ×   10 5

Alternatva (b)

2,25   ×   10 - 8

Alternativa (c)

8,27   ×   10 3

Alternativa (d)

6,27   ×   10 2

Exercício Resolvido #5

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 24 – 48.

Calcule o que se segue, arredonde até o número correto de algarismos significativos e expresse seu resultado em notação científica:

  1. 200,9   x   569,3
  2. 0,000000513   x   62,3   x   10 7
  3. 28401 + 5,78   x   10 4
  4. 63,25 4,17   x   10 - 3
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aplicando as regras gerais de multiplicação, divisão, soma e subtração e ficando atento ao número de algarismos significativos de cada alternativa vamos resolver cada expressão.

Passo 2

Alternativa a) 200,9   x   569,3

Realizando a operação temos:

200,9   x   569,3 = 114372,37

Assim como os números do problema, a resposta precisa ter quatro algarismos

114372

Escrevendo em notação cientifica e arredondando o último algarismo, temos:

1 , 14 4   x   10 5

Passo 3

Alternativa b) 0,000000513   x   62,3   x   10 7

Realizanndo a operação temos:

0,000000513   x   62,3   x   10 7 = ( 5,13   x   10 - 7   x   6,23   x   10 8 )

5,13   x   10 - 7   x   6,23   x   10 8 = 3,20   x   10 2

Passo 4

Alternativa c) 28401 + 5,78   x   10 4

Como temos dois números com potências diferentes temos que transformar um deles para um potência comum. Como o problema quer a resposta em notação científica, vamos escolher o 28401

28401 = 2,81   x   10 4

Realizando a operação temos:

2,81   x   10 4 + 5,78   x   10 4 = 8,62   x   10 4

Assim a resposta tem 3   números significativos, como os n

Passo 5

Alternativa d) 63,25 4,17   x   10 - 3

Podemos reescrever a operação da seguinte forma:

63,25 4,17   x   10 3 =   1,52   x   10 4

1,52   x   10 4

Resposta

Alternativa (a)

1 , 144   x   10 5

Alternatva (b)

3,20   x   10 2

Alternativa (c)

8,62   x   10 4

Alternativa (d)

1,52   x   10 4

Exercício Resolvido #6

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 29 – 1.14.

Usando uma régua de madeira, você mede o comprimento de uma placa metálica retangular e encontra 12   m m . Usando um micrômetro para medir a largura da placa você encontra 5,98   m m . Forneça as respostas dos seguintes itens com o número correto de algarismos significativos.

  1. Qual a área do retângulo ?
  2. Qual a razão entre a largura do retângulo e o seu comprimento ?
  3. Qual o perímetro do retângulo ?
  4. Qual a diferença entre o comprimento do retângulo e a sua largura ?
  5. Qual a razão entre o comprimento do retângulo e a sua largura ?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

É importante estar atento a quantidade de algarismos significativos que as respostas precisam ter. Os números possuem 2   e 3   algarismos significativos respectivamente.

O menor número de algarismos é 2 e por isso todas as respostas devem ter dois algarismos significativos.

Passo 2

Alternativa a)

Usando a fórmula da área do retângulo:

S r e t â n g u l o = l a r g u r a   x   c o m p r i m e n t o

Substituindo os valores temos:

S r e t â n g u l o = 12   m m   x   5,98   m m

S r e t â n g u l o = 7 2   m m 2

Passo 3

Alternativa b)

Sabendo a largura e o comprimento do retângulo podemos calcular sua razão:

l a r g u r a = 5,98   m m

c o m p r i m e n t o = 12   m m

r a z ã o = 5,98 12

r a z ã o = 0,50

Passo 4

Alternativa c)

Usando a fórmula de perímetro do retângulo temos:

P r e t â n g u l o = 2   x   c o m p r i m e n t o + l a r g u r a

Substituindo os valores temos:

P r e t â n g u l o = 2   x   12 m m + 5,98 m m

P r e t â n g u l o = 2   x   18   m m

P r e t â n g u l o = 36   m m

Passo 5

Alternativa d)

A diferença entre o comprimento é a largura é:

12   m m - 5,98   m m

d i f e r e n ç a = 6,0   m m

Passo 6

Alternativa e)

Sabendo a largura e o comprimento do retângulo podemos calcular sua razão:

l a r g u r a = 5,98   m m

c o m p r i m e n t o = 12   m m

r a z ã o ' = 12 5,98

r a z ã o ' = 2,0

Resposta

Alternativa (a)

S r e t â n g u l o = 72   m m 2

Alternatva (b)

r a z ã o = 0,50

Alternativa (c)

P r e t â n g u l o = 36   m m

Alternativa (d)

d i f e r e n ç a = 6,0   m m

Alternativa (e)

r a z ã o ' = 2,0

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