Estimativas e Ordem de Grandeza

Teoria Completa

É muito importante sabermos exatamente o valor das medidas feitas no mundo experimental, porém saber uma simples informação próxima da realidade já pode fornecer informações muito úteis.

Para isso, usamos estimativas para sabermos a ordem de grandeza de uma medida.

Ordem de Grandeza

  • A ordem de grandeza de um número funciona como uma espécie de “arredondamento”.
  • Veja bem, Qual a ordem de grandeza do número 896?

    896 está mais próximo de 1000 do que de 100 , não é mesmo?

    Então falamos que a ordem de grandeza de 896 é 10 3 .

  • Para descobrir a ordem de grandeza de um número, fica mais fácil se o número estiver em notação científica:
  • 8,96 × 10 2

    Como 8,96 está mais próximo de 10 do que de 1 ...

    8,96 × 10 2   10 × 10 2 = 10 3

    E a ordem de grandeza do número é 10 3 como já sabíamos.

    Os pensamentos diferentes sobre Ordem de Grandeza

    Existe uma pequena “divergência” no pensamento dos cientistas com rela��ão o quão próximo o número está em relação 1 ou a 10 .

  • Por exemplo, um físico que estuda o tamanho de um átomo qualquer, 3,5 × 10 - 10 m , poderia falar que 3,5 está mais próximo de 10 do que de 1 , então a ordem de grandeza desse átomo seria...
  • 3,5 × 10 - 10 m   10 × 10 - 10 = 10 - 9

    Isso, seria 10 - 9 .

  • Já um matemático, que gosta das coisas mais exatas, poderia falar que 3,5 está mais próximo de 1 do que de 10 ...

3,5 × 10 - 10 m   1 × 10 - 10 = 10 - 10

E então a ordem de grandeza seria 10 - 10 para a mesma medida!

Como saber qual dos dois está falando certo?

Depende do projeto!

O físico precisa supor as coisas maiores e um matemático nem tanto, saca?

Para projetos delicados como o do físico, ele sempre compararia com o valor base de 10 3 , 16 , enquanto que o matemático, com 5,5 .

Como você não tem a obrigação de saber como cada um pensa se na sua prova não vier falando, o seu professor vai te dar um número que tenha em notação científica o número que multiplica a potência, maior que 5,5 ou menor que 3,16 e assim não haverá dúvidas:

> 5,5               s e m p r e   p a r a   10

< 3,16               s e m p r e   p a r a   1

Vamos praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 22 – 15.

Algumas boas estimativas sobre o corpo humano podem ser feitas supondo que somos feitos predominantemente de água. A massa de uma molécula de água é 29,9   x   10 - 27   k g . Se a massa de uma pessoa é 60 k g , estime o número de moléculas de água nessa pessoa.

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Passo 1

Bom, já que o corpo é feito só das moléculas de água, podemos estimar esse número já que sabemos a massa de um corpo humano e a massa de uma molécula de água.

Passo 2

Vamos supor que a o número de moléculas seja N:

M a s s a c o r p o   h u m a n o = N m o l é c u l a s   x   M a s s a m o l é c u l a s

Substituindo os valores temos:

60   k g = N   x   29,9   x   10 - 27 k g

Assim temos:

N = 2,0   x   10 27   m o l é c u l a s

Resposta

2,0   x   10 27   m o l é c u l a s

Exercício Resolvido #2

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 22 – 14

O ângulo subtentido pelo diâmetro da Lua em um ponto da Terra é aproximadamente 0,524 ° (Figura 1.18 ). Use esta informação e o fato de que a Lua está aproximadamente 384   M m distante para encontrar o diâmetro da Lua. Dica: o ângulo pode ser determinado a partir do diâmetro da Lua e da distância da Lua.

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Passo 1

Além da dica dada pelo problema, também podemos usar que quando um ângulo é muito pequeno podemos aproximar o seu seno para o próprio ângulo, mas para fazer isso precisamos passar o ângulo para radianos !!!

S e n   θ = θ

A partir disso podemos determinar o ângulo a partir do diâmetro D l u a e da distância da Lua r m .

Passo 2

Escrevendo o ângulo em função da distância e do diâmetro:

S e n θ D l u a r m

Assim temos:

D l u a = θ   x   r m

Substituindo valores temos:

D l u a = 0,524 °   x 2 π   r a d 360 ° 384   x   10 6   m

D l u a = 3,51   x   10 6   m

Resposta

3,51   x   10 6   m

Exercício Resolvido #3

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 22 – 1.22 e 1.24
  1. Qual é o volume de ar que uma pessoa respira em toda sua vida? Compare este volume com o volume de um apartamento de dois quartos. (Estime que para cada respiração o volume de ar aspirado é aproximadamente igual a 500   c m 3 .)
  2. Quantas vezes o coração de uma pessoa bate em toda sua vida? Quanto litros de sangue ele bombeia nesse período? (Estime que em cada batida do coração o volume de sangue bombeado é aproximadamente igual a 50   c m 3 )
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Passo 1

Você deve estar se perguntando como começar a fazer essa questão sem número nenhum, né ? Nesse problema você tem que aproximar alguns valores, não precisa ser exatamente a realidade, pois o foco aqui é a ordem de grandeza.

Passo 2

Alternativa a)

Vamos supor que cada respiração dure aproximadamente 5   s e que uma pessoa viva durante 80 anos. Assim, ela teria tantas respirações

R e s p i r a ç õ e s p o r   m i n u t o = 60 5 = 12

Em 80 anos seriam:

R e s p i r a ç õ e s v i d a = 12 p o r   m i n u t o   x   60 m i n u t o s   x   24 h o r a s   x   365 d i a s   x   80 a n o s

R e s p i r a ç õ e s v i d a 5   x   10 9

Sabendo o volume em cada respiração temos:

V o l u m e = 5   x   10 9   x 500 10 6   m 3 = 2   x   10 5   m 3

Passo 3

Um apartamento de 2 quartos possui cerca de 200   m 3 , assim teríamos que:

2   x   10 5   m 3 2   x   10 2   m 3 = 10 3

O volume é cerca de 1000 apartamentos de 2 quartos.

Passo 4

Alternativa b)

Supondo que a cada segundo o coração bata 1 vez e supondo os mesmo 80 anos de vida teríamos:

B a t i d a s = 60 s e g u n d o s   x   60 m i n u t o s   x   24 h o r a s   x   365 d i a s   x   80 a n o s

B a t i d a s = 2   x   10 9  

Passo 5

Sabendo o volume em cada batida e a quantidade de batidas ao longo da vida, podemos calcular o volume total bombeado:

V o l u m e = 2   x   10 9   x 1 20 L = 10 8 L  

OBS:

50   c m 3 = 0,05   d m 3 = 0,05   L

Resposta

  1. 2   x   10 5   m 3
  2. B a t i d a s = 2   x   10 9  

Volume = 10 8 L

Exercício Resolvido #4

TIPLER,P.-, Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp 23 – 19.

Um megabyte ( M B ) é uma unidade de armazenamento de memória computacional. Um CD tem uma capacidade de armazenamento de 700   M B e pode armazenar aproximadamente 70   m i n de música de alta qualidade.

  1. Se uma canção típica dura 5   m i n , quantos megabytes são necessários para cada canção?
  2. Se uma página de texto requer aproximadamente 5 q u i l o b y t e s , estime o número de romances que podem ser salvos em um CD .
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Passo 1

Nessa questão vamos usar a proporção para podermos achar o que é pedido

Passo 2

Alternativa a)

Queremos saber qual o número E   de megabytes são necessárioas para uma canção.

Sabemos que:

700   M B - 70   m i n

E - 5   m i n

Multiplicando cruzados temos:

E = 700 M B   x 5 m i n 70 m i n  

E = 50   M B

Passo 3

Alternativa b)

Queremos saber o número N de páginas que podemos ser salvos em um CD. Vamos fazer da mesma forma que na alternativa anterior

700   M B - N

5   k B - 1

Retirando os prefixos temos:

700   x   10 6   B - N

5   x   10 3   B - 1

Multiplicando cruzados temos:

N = 700   x   10 6   B   x   1 5   x   10 3   B

N = 1,4   x   10 5   p á g i n a s

Como ele quer saber a quantidade de romances que o CD consegue salvar, vamos supor que cada romance possui 200 páginas

R o m a n c e s = 1,4   x   10 5 200 = 7   x   10 2  

Resposta

  1. 50   M B
  2. 7   x   10 2   r o m a n c e s

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