Enunciado

10 . Quatro elétrons estão localizados nos ângulos de um quadrado de lado 10,0   n m , com uma partícula alfa em seu ponto médio. Qual é o trabalho necessário para deslocar a partícula alfa para o ponto médio de um dos lados do quadrado?

Passo 1

Para resolver essa questão precisamos lembrar que:

W = - ∆ U = U i - U f

O nosso problema quer que a partícula alfa vá do centro do quadro para o ponto médio de um dos lados, vamos chamar esses pontos de ponto 1 e ponto 2 , respectivamente.

Outra coisa que é importante dizer é que como existem quatro elétrons a energia potencial no centro do quadrado é 4 vezes a energia potencial de uma única interação de um dos elétrons com a partícula alfa.

Sendo assim encontraremos esse trabalho, que é realizado pela força de Coulomb através de:

W 1 → 2 = 4 U 1 - U 2

Agora estamos preparados para resolver esse exercício, vamos lá!

Passo 2

Para usar a equação do passo anterior vamos primeiro descobrir o U 1 . Sabemos que nesse exercício:

U = 1 4 π ε 0   q 1 q 2 r

Onde esse r será chamado r 1 que é o centro do quadrado.

Para descobrir o valor de r 1 podemos ver que por ser o centro ele está a 5   n m na horizontal e 5   n m na vertical então vamos usar o nosso velho amigo Pitágoras, ou seja:

r 1 = 5   n m   2 + 5   n m 2   = 50   n m

Com isso teremos:

U 1 = 1 4 π ε 0   q α q e r 1

Substituindo em U 1 :

U 1 = 1 4 π ε 0   ( 2 e ) ( - e ) 50   n m = 1 4 π ε 0   - 2 e 2 50   n m

Passo 3

Agora para achar U 2 vamos ter:

U 2 =   1 4 π ε 0   - 2 e ² r 2 + 1 4 π ε 0   - 2 e ² r 3

Onde r 2 é a distância da partícula alfa aos dois elétrons mais próximo e r 3 é a distância da partícula alfa aos dois elétrons mais longe.

r 2 é simples de saber o valor pois se alfa nessa situação está no ponto médio de um dos lados do retângulo então ela está a uma distância de 5 , 0   n m de cada um dos elétrons.

Para saber o valor de r 3 vamos fazer a mesma coisa que fizemos para descobrir o valor de r 1 . Vamos lidar com o triângulo retângulo, como sabemos que a distância da partícula alfa até um dos elétrons mais próximo é 5   n m e a distância entre esse mesmo elétron e o elétron “acima” dele é 10   n m , usando Pitágoras teremos:

r 3 = 5   n m 2 + 10   n m 2 =   125   n m

Substituindo em U 2 :

U 2 = 2 - 2 e 2 4 π ε 0   1 5   n m + 2 - 2 e 2 4 π ε 0   1 125   n m

Só para não deixar dúvidas, aquele dois multiplicando o primeiro termo é porque dois elétrons interagem e tem uma distância r 2 com alfa e aquele dois multiplicando o segundo termo é porque dois elétrons interagem e tem uma distância r 3 com alfa.

Passo 4

Já que conhecemos agora a energia potencial nos dois momentos podemos juntar tudo na equação do trabalho onde:

W 1 → 2 = 4 - 2 e 2 4 π ε 0   1 50   n m - 2 - 2 e 2 4 π ε 0   1 5   n m - 2 - 2 e 2 4 π ε 0   1 125   n m

= - 4 1 4 π ε 0   e 2 2 50   n m - 1 5   n m - 1 125   n m

Substituindo os valores tabelados:

W 1 → 2 = - 4 1,6 ⋅ 10 - 19   C 2 8,99 ⋅ 10 9   N ⋅ m 2 / C ² 2 50   n m - 1 5   n m - 1 125   n m

= - 9,2 ⋅ 10 - 28   N ⋅ m 2 - 6,6 ⋅ 10 - 3 10 - 9   m = 6,07 ⋅ 10 - 21   J

E, enfim, chegamos ao nosso resultado!

Resposta

W 1 → 2 = 6,07 ⋅ 10 - 21   J

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