Enunciado

49 . Uma esfera oca isolante possui raio interno a e raio externo b . No interior do material isolante, a densidade volumétrica de carga é dada por ρ r = α / r , em que α é uma constante positiva. ( a ) Em função de a e α , qual é o módulo do campo elétrico a uma distância r do centro da esfera, em que a < r < b ? ( b ) Uma carga pontual q é colocada no centro do espaço oco, em r = 0 . Em função de a e α , qual deve ser o valor de q (sinal e módulo) para que o campo elétrico seja constante na região de a < r < b e, então, qual é o valor do campo constante nessa região?

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para encontrar o campo dentro da região a < r < b podemos usar a lei de Gauss, onde temos basicamente:

E A = q i ϵ 0

Mas para usar essa lei precisamos saber a quantidade de carga interna q i na superfície gaussiana de raio r . Como o enunciado nos deu a densidade de carga, podemos fazer o seguinte:

q i = ∫ ρ ( r ) d V

E a partir disso podemos encontrar o campo em r .

Para achar o valor da carga q para que o campo total seja constante na região a < r < b , nós temos que avaliar o campo total, que nesse caso vai ser o campo gerado pela carga pontual mais o campo na região a < r < b .

Vamos nessa então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Vamos primeiro encontrar a carga dentro da superfície de raio a < r < b , temos o seguinte:

q i = ∫ ρ ( r ) d V

Onde essa integral vai de a até r e como estamos lidando com uma esfera simétrica temos que o elemento de volume é dado por d V = 4 π r 2 d r , assim:

q i = ∫ a r α r 4 π r 2 d r

⇒ q i = 4 π α ∫ a r r d r

Assim temos que:

q i = 2 π α ( r 2 - a 2 )

Passo 3

Agora vamos atrás do campo elétrico, temos:

E A = q i ϵ 0

Onde A é a área superfície esférica de raio r , assim:

E 4 π r 2 = 2 π α ( r 2 - a 2 ) ϵ 0

⇒ E = α 2 ϵ 0 1 - a 2 r 2

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

O campo elétrico de uma carga pontual é dado por:

E = 1 4 π ϵ 0 q r 2

Então o campo elétrico total na região a < r < b é dado por:

E T = 1 4 π ϵ 0 q r 2 + α 2 ϵ 0 1 - a 2 r 2

⇒ E T = 1 4 π ϵ 0 q r 2 + α 2 ϵ 0 - α 2 ϵ 0 a 2 r 2

Olhando essa equação, para que E T seja constante, ele não pode depender da posição r , logo:

1 4 π ϵ 0 q r 2 - α 2 ϵ 0 a 2 r 2 = 0

⇒ 1 4 π ϵ 0 q r 2 = α 2 ϵ 0 a 2 r 2

⇒ q = 2 π α a 2

Então esse deve ser o valor da carga pontual para que o campo total seja constante.

Resposta

( a )

E = α 2 ϵ 0 1 - a 2 r 2

( b )

q = 2 π α a 2

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