Enunciado

Uma carga puntiforme q 1 = 4   n C é mantida em repouso na origem, e uma segunda carga puntiforme q 2 = - 3   n C é colocada sobre o eixo O x , no ponto x = + 20   c m . Uma terceira carga puntiforme q 3 = 2   n C deve ser colocada sobre o eixo O x entre q 1 e q 2 .(Considere a energia potencial igual a zero quando a distância entre as cargas for infinita.) a)Qual será a energia potencial do sistema quando a carga q 3 for colocada no ponto x = + 10   c m ? b)Em que ponto a carga q 3 deve ser colocada para que a energia potencial do sistema seja igual a zero?

Passo 1

letra a)

A energia total desse sistema vai ser igual a soma da energia de cada carga :

U = 1 4 π ϵ o q 1 q 2 r 12 + 1 4 π ϵ o q 1 q 3 r 13 + 1 4 π ϵ o q 3 q 2 r 23

Precisamos agora substituir as distâncias.

Passo 2

Como a carga q 1 está na origem e carga q 2 em x = + 20   c m :

r 12 = + 20   c m

Agora, como a carga q 1 está na origem e carga q 3 em x = + 10   c m :

r 13 = + 10   c m

E por último, q 2 está em x = + 20   c m e q 3 está em x = + 10   c m . Então:

r 23 = + 10   c m

Passo 3

A energia total será:

U = 1 4 π ϵ o 4 ⋅ 10 - 9 - 3 ⋅ 10 - 9 0,20 + 1 4 π ϵ o 4 ⋅ 10 - 9 2 ⋅ 10 - 9 0,10 + 1 4 π ϵ o 2 ⋅ 10 - 9 - 3 ⋅ 10 - 9 0,10

U = 3,6 ⋅ 10 - 7   J

Passo 4

letra b)

Queremos saber a posição da carga q 3 para U ser zero.

Temos então:

0 = 1 4 π ϵ o q 1 q 2 r 12 + 1 4 π ϵ o q 1 q 3 r 13 + 1 4 π ϵ o q 3 q 2 r 23

Passo 5

A distância entre as cargas q 1 e q 2 não irá mudar.

r 12 = + 20   c m

Agora, como a carga q 1 está na origem, podemos dizer que a q 3 está em x = d :

r 13 = D

E por último, q 2 está em x = + 20   c m e q 3 está em x = d . Então:

r 23 = + 2 0   - d

Passo 6

Substituindo:

0 = 1 4 π ϵ o 4 ⋅ 10 - 9 - 3 ⋅ 10 - 9 0,20 + 1 4 π ϵ o 4 ⋅ 10 - 9 2 ⋅ 10 - 9 d + 1 4 π ϵ o 2 ⋅ 10 - 9 - 3 ⋅ 10 - 9 0,20 - d

0 = - 60 + 8 d - 6 0,2 - d

8 d - 6 0,2 - d = 60

Passo 7

Vamos agora resolver essa equação para encontrar a distância.

Fazendo MMC:

8 ( 0,2 - d ) - 6 d d ( 0,2 - d ) = 60

1,6 - 8 d - 6 d = 12 d - 60 d 2

60 d 2 - 12 d - 1,6 = 0

Por ser uma equação do segundo grau temos dois valores para d : 0,074   m ou 0,36   m .

Como o único valor entre as duas cargas é 0,074   m :

d = 0,074   m

Resposta

letra a) U = 3,6 ⋅ 10 - 7   J

letra b) d = 0,074   m

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