Enunciado

100. Uma régua uniforme de 1,0   m está suspensa por uma de suas extremidades em um eixo horizontal e oscila como um pêndulo físico. Um objeto muito pequeno com massa igual à da régua pode permanecer preso à régua em um ponto situado a uma distância y abaixo do eixo de suspensão. Seja T o período do pêndulo com o objeto preso na régua e T 0 o período do pêndulo da régua sozinha. a ) Qual é a razão T / T 0 ? Calcule sua expressão para y variando de 0 até 1,0   m em intervalos de 0,1   m e faça um gráfico de T / T 0 em função de y . b ) Existe algum valor de y além de y = 0 , para o qual T = T 0 ? Caso exista, encontre esse valor e explique por que o período não muda quando y atinge esse valor.

Passo 1

Para começar a resolver esse problema, temos que encontrar expressões para T 0 e T , sabendo que a fórmula do período para o pêndulo físico é:

T = 2 π I m g d

Agora temos que achar expressões de I ,   m e d para os dois casos em funções dos parâmetros conhecidos L ,   M e y .

Tendo encontrado as expressões para T 0 e T , basta fazer a razão T / T 0 .

Para responder o item ( b ) precisamos do gráfico que teremos que fazer no item ( a )

Passo 2

Vamos começar achando os parâmetros para o caso que não temos a massa adicionada, então só temos a régua.

Podemos considerar a régua como uma barra, assim o momento de inércia da régua em relação ao eixo que está presa é:

I = 1 3 M L 2

O parâmetro d é dado pela distância do centro de massa da régua até o ponto ela está presa, o centro de massa de uma régua é no seu centro, logo:

d = L 2

E a massa m da régua é dada pelo enunciado como M .

Tendo tudo isso temos que o período T 0 é dado por:

T 0 = 2 π 1 3 M L 2 M g L 2

= 2 π 2 L 3 g

Passo 3

A gora vamos achar os parâmetros para o caso que temos a massa adicionada.

Podemos considerar a régua como uma barra, assim o momento de inércia total vai ser a soma do momento de inércia da régua em relação ao eixo que está presa e o momento do objeto em relação ao mesmo eixo.

I = I R + I O

O momento de inércia da régua é:

I R = 1 3 M L 2

E o momento de inércia do objeto, como ele é muito pequeno, é dado por:

I O = M y 2

Assim, temos:

I = 1 3 M L 2 + M y 2

= M 1 3 L 2 + y 2

O parâmetro d é dado pela distância do centro de massa da régua mais o objeto até o ponto onde a régua está presa, o centro de massa pode ser calculado da seguinte forma:

y C M = ∑ y i m i ∑ m i

Onde y i é a distância do centro de massa de cada objeto até a origem de referência, que para facilitar nossa vida vai ser onde a régua está presa, então:

y C M = L 2 M + y M M + M

= L 2 + y 2

Então temos que:

d = y C M = L 4 + y 2

E a massa m da régua e do objeto é dada pela soma das massas de cada um que é M .

Tendo tudo isso temos que o período T 0 é dado por:

T = 2 π M 1 3 L 2 + y 2 2 M g L 4 + y 2

= 2 π 1 3 L 2 + y 2 g L 2 + y

Passo 4

Agora que temos uma expressão para T 0 e T vamos fazer a razão T / T 0 . Então:

T T 0 = 2 π 1 3 L 2 + y 2 g L 2 + y 2 π 2 L 3 g

= 1 3 L 2 + y 2 g L 2 + y 3 g 2 L

Então, temos:

⇒ T T 0 = L 2 + 3 y 2 L 2 + 2 y L

O gráfico dessa expressão é o seguinte:

Gráfico: T / T 0 × y

Passo 5

Agora que temos o gráfico podemos responder o item ( b ) .

Existe outro ponto além de y = 0 para que T 0 = T , esse ponto é y = 2 3 L .

Nesse ponto, um pêndulo simples com comprimento igual a y teria o mesmo período que a régua sem o objeto adicionado, os dois corpos oscilariam com o mesmo período e um não afeta o movimento do outro.

Resposta

( a )

T T 0 = L 2 + 3 y 2 L 2 + 2 y L

( b )

O ponto é y = 2 3 L

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