Enunciado

103. Vibração de molécula com ligação covalente. Muitas moléculas diatômicas são mantidas unidas por ligações covalentes que são muito mais fortes do que a interação de van der Waals. Exemplos dessas moléculas incluem H 2 ,   O 2 e N 2 . As experiências mostram que, em muitas dessas moléculas, a interação pode ser descrita por uma força da forma

F r = A e - 2 b r - R 0 - e - b r - R 0

onde A e b são constantes positivas, r é a distância entre os centros dos dois átomos e R 0 é a separação de equilíbrio. Para a molécula de hidrogênio ( H 2 ) , A = 2,97 * 10 - 8   N ,   b = 1,95 * 10 10   m e R 0 = 7,4 * 10 - 11   m . Calcule a constante da força para pequenas oscilações em torno do equilíbrio. (Sugestão: Consulte o Apêndice B e use o desenvolvimento em série da função e x .) Compare o seu resultado com o valor dado no Exercício 13.40 .

Passo 1

Para fazer o que o enunciado está pedindo, temos que deixar a fórmula da força que foi dada, de uma forma parecida com a força elástica, que é:

F = - k x

Onde k é a constante no qual o enunciado está se referindo para ser encontrada.

Para manipular a expressão que temos vamos fazer o que foi sugerido pelo enunciado, que é expandir a função exponencial, só que da forma que temos ela está muito feia, então teremos que melhor um pouco a cara dela, para isso podemos fazer o seguinte:

r - R 0 = x

Fazer essa substituição também é boa, pois aparece um x como na fórmula da força elástica.

Então nossa expressão fica:

F r = A e - 2 b x - e - b x

Ela dessa forma é mais tranquila de expandir a exponencial.

A expansão da exponencial mostrada no apêndice B é:

e - x = 1 - x + …

Só vamos usar os dois primeiros pois o restante assume valores muito pequenos e não a necessidade de inseri-los.

Passo 2

Vamos então aplicar a expansão na expressão da força, então:

F r = A 1 - 2 b x - ( 1 - b x )

= A [ 1 - 2 b x - 1 + b x ]

Então ficamos com:

F r = - A b x

Se você comparar essa expressão com a da força elástica, vemos que:

k = A b

E é esse valor que o enunciado quer.

Passo 3

Como sabemos o valor de A e b fornecidos pelo enunciado, temos que

A b = 2,97 * 10 - 8 * 1,95 * 10 10

= 5,7915 * 10 2

= 579,15   N / m

Resposta

A b = 579,15   N / m

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