Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

97. A constante elástica efetiva de duas molas. Duas molas, ambas com o mesmo comprimento sem deformação, porém com constantes diferentes k 1 e k 2 , são ligadas a um bloco de massa m apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito. Determine a constante efetiva da força k e f para cada um dos três casos a ,   ( b ) e ( c ) indicados na Figura 13.43 . (A constante efetiva da força é obtida pela definição ∑ F x = - k e f x .) d ) Um objeto de massa m , suspenso da extremidade de uma mola cuja constante é k , oscila com uma frequência f 1 . Se a mola for cortada em duas metades e o mesmo objeto for suspenso em uma das metades, a frequência da oscilação será f 2 . Qual é a razão f 2 / f 1 ?

Passo 1

Todo o desenvolvimento dessa questão, vai se basear principalmente na fórmula da força elástica, que é dada por:

F = - k Δ x

Então para a mola de constante k 1 , temos:

F 1 = - k 1 Δ x 1

E para a de constante k 2 , temos:

F 2 = - k 2 Δ x 2

Você concorda comigo que a única coisa que pode alterar o valor da força que cada mola exerce, são os termos Δ x 1 e Δ x 2 , já que as constantes elásticas não mudam.

Então vamos avaliar cada caso separadamente.

Para entender a situação do item ( d ) , temos que pensar assim se uma mola é cortada ao meio não tem por que a sua constante elástica mudar só o seu tamanho, sendo assim teríamos duas molas com a mesma constante elástica, logo a constante efetiva iria ser o dobro das constantes anteriores.

Agora basta usar esse raciocínio na fórmula da frequência e vê como ela muda de uma situação para outra.

Passo 2

Vamos analisar o caso do item ( a ) .

Quando puxamos o bloco é possível notar que as molas terão o mesmo deslocamento, logo:

Δ x 1 = Δ x 2 = Δ x

Então teremos que a força total aplicada no bloco, é dada por:

F = F 1 + F 2

= - k 1 Δ x - k 2 Δ x

= - ( k 1 + k 2 ) Δ x

Logo a constante efetiva é dada por:

k e f = k 1 + k 2

Passo 3

Vamos analisar o caso do item ( b ) .

Nessa situação se puxarmos o bloco, uma das molas será comprimida e a outra estendida, mas ambas serão com o mesmo deslocamento, o que comprimimos em uma esticamos na outra, logo, temos que:

Δ x 1 = Δ x 2 = Δ x

E as forças apontam para a mesma direção, logo:

F = F 1 + F 2

Então temos que:

F = - k 1 Δ x - k 2 Δ x

= - ( k 1 + k 2 ) Δ x

Logo a constante efetiva é dada por:

k e f = k 1 + k 2

Passo 4

Vamos analisar o caso do item ( c ) .

Se puxarmos o bloco, teremos que a força em cada parte da combinação das molas deve ser igual, já que elas não têm massa, então:

F 1 = F 2 = F

Então temos que:

F = - k 1 Δ x 1

⇒ Δ x 1 = - F k 1

E que

F = - k 2 Δ x 2

⇒ Δ x 2 = - F k 2

Somando os deslocamentos de cada mola, teremos um deslocamento total, assim:

Δ x = Δ x 1 + Δ x 2

= - F k 1 - F k 2

= - 1 k 1 + 1 k 2 F

= - k 1 + k 2 k 1 k 2 F

Logo, temos que:

F = - k 1 k 2 k 1 + k 2 Δ x

Logo a constante efetiva é dada por:

k e f = k 1 k 2 k 1 + k 2

Passo 5

Para o item ( d ) , temos que a fórmula da frequência, é dada por:

f = 1 2 π k m

Então para o caso 1 temos:

f 1 = 1 2 π k 1 m

Agora para o caso 2 em que a mola foi dividida temos que a constante elástica foi dobrada como foi dito no passo 1 então:

f 2 = 1 2 π 2 k 1 m

Agora, fazendo a razão f 2 / f 1 , temos:

f 2 f 1 = 1 2 π 2 k 1 m 1 2 π k 1 m

⇒ f 2 f 1 = 2

Resposta

( a )

k e f = k 1 + k 2

( b )

k e f = k 1 + k 2

( c )

k e f = k 1 k 2 k 1 + k 2

( d )

f 2 f 1 = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura, duas molas são ligadas entre si e a um bloco de massa 0,245
(a) Estime o período natural de oscilações por balançar seus braços qu
Com um bloco de massa m e duas molas, de constantes elásticas k 1 e k
Mostre que, nas situações mostradas na figura, o corpo oscila com uma
Durante um terremoto, um piso horizontal oscila horizontalmente em um