Enunciado

13.18P Deduza a Equação 13.68.

Passo 1

Belezoca galerinha, a equação 13.68 é dada pra gente como:

x = A e - γ 2 t cos ⁡ Ω ' t + ϕ 0

Enquanto a equação 13.67 é dada pra gente como:

x = C e - γ 2 t cos ⁡ ( Ω ' t ) + D e - γ 2 t sen ⁡ Ω ' t

Ou seja, devemos partir da equação 13.67 e chegar na equação 13.68. Partiu!!

Passo 2

De uma forma simplificada, podemos expressar a equação 13.67 como:

x = a cos ⁡ u + b sen ⁡ u

Onde a = C e - γ 2 t e b = D e - γ 2 t , enquanto u = Ω ' t

E queremos chegar na expressão da forma;

x = A e - γ 2 t cos ⁡ Ω ' t + ϕ 0

Pra ficar mais bonitinho, vamos chamar Ω ' t = u e ϕ 0 = v , logo:

x = x m cos ⁡ u + v

E agora podemos com toda sagacidade do mundo a usar a relação trigonométrica do cosseno da soma dos ângulos, tal que:

x = x m cos ⁡ u cos ⁡ v - sen ⁡ u sen ⁡ v

x = x m cos ⁡ u cos ⁡ v - x m sen ⁡ u sen ⁡ v

Logo, voltando para as variáveis iniciais, temos:

x = x m cos ⁡ Ω ' t cos ⁡ ϕ 0 - x m sen ⁡ Ω ' t sen ⁡ ϕ 0

x = x m cos ⁡ ϕ 0 cos ⁡ Ω ' t + - x m sen ⁡ ϕ 0 sen ⁡ Ω ' t

Passo 3

Belejóia, a malandragem agora é a gente perceber a semelhança entre as expressões:

x = a cos ⁡ ( u ) + b sen ⁡ u

x = x m cos ⁡ ϕ 0 cos ⁡ Ω ' t + - x m sen ⁡ ϕ 0 sen ⁡ Ω ' t

Temos que Ω ' t = u e além disso:

a = x m cos ⁡ ϕ 0

b = - x m sen ⁡ ϕ 0

Então podemos fazer:

- b a = x m sen ⁡ ϕ 0 x m cos ⁡ ϕ 0

- b a = sen ⁡ ϕ 0 cos ⁡ ϕ 0

Tal que:

tan ⁡ ϕ 0 = - b a

Dessa maneira, o nosso ângulo de fase é:

ϕ 0 = arctan ⁡ - b a

Passo 4

Belezoca, agora pra gente encontrar esse tal de x m , podemos usar de toda malicia do mundo, saca só.

Podemos fazer a 2 + b 2 , tal que:

a 2 + b 2 = x m cos ⁡ ϕ 0 2 + - x m sen ⁡ ϕ 0 2

a 2 + b 2 = x m 2 cos 2 ⁡ ϕ 0 + x m 2 sen 2 ⁡ ϕ 0

a 2 + b 2 = x m 2 cos 2 ⁡ ϕ 0 + sen 2 ⁡ ϕ 0

E como temos a relação trigonométrica fundamental cos 2 ⁡ ϕ 0 + sen 2 ⁡ ϕ 0 = 1 , obtemos:

a 2 + b 2 = x m 2

Logo:

x m = a 2 + b 2

Passo 5

Belezoca, agora a gente pode juntar tudo que a gente descobriu, saca só, relembrando a equação 13.67:

x = C e - γ 2 t cos ⁡ ( Ω ' t ) + D e - γ 2 t sen ⁡ Ω ' t

Logo, obtemos que:

x m = C e - γ 2 t 2 + D e - γ 2 t 2

x m = e - γ 2 t C 2 + D 2

Portanto, podemos reescrever a equação 13.67 como:

x = e - γ 2 t C 2 + D 2 cos ⁡ ( Ω ' t + ϕ 0 )

Onde ϕ 0 é dado por:

ϕ 0 = arctan ⁡ - D e - γ 2 t C e - γ 2 t

ϕ 0 = arctan ⁡ - D C

E agora se a gente comparar com a equação 13.68 , temos que:

x = A e - γ 2 t cos ⁡ Ω ' t + ϕ 0 ,     13.68

x = e - γ 2 t C 2 + D 2 cos ⁡ ( Ω ' t + ϕ 0 ) ,     13.67

Logo A = C 2 + D 2 .

Resposta

Demonstração.

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