Enunciado

13.18P Deduza a Equação 13.68.

Passo 1

Belezoca galerinha, a equação 13.68 é dada pra gente como:

x = A e^(- (gamma)/(2) t) cos (omega^' t + varphi_0)

Enquanto a equação 13.67 é dada pra gente como:

x = C e^(- (gamma)/(2) t) cos ( omega^' t ) + D e^(- (gamma)/(2) t) sen (omega^' t)

Ou seja, devemos partir da equação 13.67 e chegar na equação 13.68. Partiu!!

Passo 2

De uma forma simplificada, podemos expressar a equação 13.67 como:

x = a cos (u) + b sen (u)

Onde a = C e^(- (gamma)/(2) t) e b = D e^(- (gamma)/(2) t) , enquanto u = omega^' t

E queremos chegar na expressão da forma;

x = A e^(- (gamma)/(2) t) cos (omega^' t + varphi_0)

Pra ficar mais bonitinho, vamos chamar omega^' t = u e varphi_0 = v , logo:

x = x_m cos (u + v)

E agora podemos com toda sagacidade do mundo a usar a relação trigonométrica do cosseno da soma dos ângulos, tal que:

x = x_m (cos (u) cos (v) - sen (u) sen (v))

x = x_m cos (u) cos (v) - x_m sen (u) sen (v)

Logo, voltando para as variáveis iniciais, temos:

x = x_m cos (omega^' t) cos (varphi_0) - x_m sen (omega^' t) sen (varphi_0)

x = (x_m cos (varphi_0)) cos (omega^' t) + (- x_m sen (varphi_0)) sen (omega^' t)

Passo 3

Belejóia, a malandragem agora é a gente perceber a semelhança entre as expressões:

x = a cos ( u ) + b sen (u)

x = (x_m cos (varphi_0)) cos (omega^' t) + (- x_m sen (varphi_0)) sen (omega^' t)

Temos que omega^' t = u e além disso:

a = x_m cos (varphi_0)

b = - x_m sen (varphi_0)

Então podemos fazer:

(- b)/(a) = (x_m sen (varphi_0))/(x_m cos (varphi_0))

- (b)/(a) = (sen (varphi_0))/(cos (varphi_0))

Tal que:

tan varphi_0 = - (b)/(a)

Dessa maneira, o nosso ângulo de fase é:

varphi_0 = arctan (- (b)/(a))

Passo 4

Belezoca, agora pra gente encontrar esse tal de x_m , podemos usar de toda malicia do mundo, saca só.

Podemos fazer a^2 + b^2 , tal que:

a^2 + b^2 = (x_m cos (varphi_0))^2 + (- x_m sen (varphi_0))^2

a^2 + b^2 = x_m^2 cos^2 (varphi_0) + x_m^2 sen^2 (varphi_0)

a^2 + b^2 = x_m^2 (cos^2 (varphi_0) + sen^2 (varphi_0))

E como temos a relação trigonométrica fundamental cos^2 (varphi_0) + sen^2 (varphi_0) = 1 , obtemos:

a^2 + b^2 = x_m^2

Logo:

x_m = sqrt(a^2 + b^2)

Passo 5

Belezoca, agora a gente pode juntar tudo que a gente descobriu, saca só, relembrando a equação 13.67:

x = C e^(- (gamma)/(2) t) cos ( omega^' t ) + D e^(- (gamma)/(2) t) sen (omega^' t)

Logo, obtemos que:

x_m = sqrt((C e^(- (gamma)/(2) t))^2 + (D e^(- (gamma)/(2) t))^2)

x_m = e^(- (gamma)/(2) t) sqrt(C^2 + D^2)

Portanto, podemos reescrever a equação 13.67 como:

x = e^(- (gamma)/(2) t) sqrt(C^2 + D^2) cos ( omega^' t + varphi_0 )

Onde varphi_0 é dado por:

varphi_0 = arctan (- (D e^(- (gamma)/(2) t))/(C e^(- (gamma)/(2) t)))

varphi_0 = arctan (- (D)/(C))

E agora se a gente comparar com a equação 13.68 , temos que:

x = A e^(- (gamma)/(2) t) cos (omega^' t + varphi_0) , 13.68

x = e^(- (gamma)/(2) t) sqrt(C^2 + D^2) cos ( omega^' t + varphi_0 ) , 13.67

Logo A = sqrt(C^2 + D^2) .

Resposta

Demonstração.

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