Enunciado

11 . Um capacitor esférico contém carga de 3,30   n C , quando está conectado a uma diferença de potencial de 220   V . Supondo que as placas estejam separadas por vácuo e o raio interno da casca externa seja igual a 4,00   c m , calcule: a a capacitância; b o raio da esfera interna; c o campo elétrico próximo à superfície da esfera interna.

Passo 1

Para resolver esse exercício temos que voltar no exemplo 24.3 pois lá o livro chega em uma equação da capacitância para um capacitor esférico. Podemos ver essa equação abaixo e no exemplo 24.3 você aprende a chegar nela:

C = 4 π ε 0 r a r b r b - r a

Onde r a é o raio da esfera interna e r b o raio da casca e externa.

Ahh, vamos lembrar que:

k = 1 4 π ε 0

Então:

4 π ε 0 = 1 k

E nossa equação ficará:

C = 1 k r a r b r b - r a

Outra equação que também será bem útil é a do campo elétrico de uma carga puntiforme (nossa situação) pois um dos itens pede, vamos lembrar?

E = 1 4 π ε 0 q r 2

Agora sim temos todas as informações necessárias para resolver o nosso exercício.

Passo 2

a ) O enunciado nos dar a carga e nos dar a diferença de potencial e isso é tudo o que precisamos para calcular a capacitância:

C = Q V = 3,30 ⋅ 10 - 9   C 220   V = 1,5 ⋅ 10 - 11   F

Passo 3

b ) Agora para descobrir o raio da esfera interna vamos usar aquela equação que te mostrei no Passo 1 juntamente com a capacitância que descobrimos no item anterior.

C = 1 k r a r b r b - r a ⇒ C k r b - C k r a = r a r b ⇒ r b C k - r a = C k r a

⇒ r b = C k r a C k - r a

C k r b r a = r b + C k     ⇒     r a = C k r b r b + C k    

Agora usando os valores que conhecemos, podemos encontrar r a , assim:

r a = ( 1,5 ⋅ 10 - 11   F ) ( 8,98 × 10 9   N ⋅ m 2 / C 2 ) ( 0,04   m ) 0,04   m + ( 1,5 ⋅ 10 - 11   F ) ( 8,98 × 10 9   N ⋅ m 2 / C 2 )    

⇒ r a = 0,0054   m 2 0,17   m

⇒ r a = 3,2   m

Vamos que vamos porque já estamos quase lá...

Passo 4

c ) Só nos falta agora saber o campo elétrico próximo à superfície da esfera interna como vimos no Passo 1 e o raio que usaremos é o raio da esfera interna:

E = 1 4 π ε 0 q r 2 = ( 8,99 ⋅ 10 9   N ⋅ m 2 / C ² ) ( 3,30 ⋅ 10 - 9   C ) ) 0,0309   m 2 = 3,12 ⋅ 10 4   N / C

E só!!

Resposta

a )

C = 1,5 ⋅ 10 - 11   F

b )

r a = 3 , 2   c m

c ) E = 3,12 ⋅ 10 4   N / C

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