Enunciado

111. Distância focal de uma lente zoom. A Figura 34 . 63 mostra uma versão simples de uma lente zoom. A lente convergente possui distância focal f 1 e a lente divergente possui distância focal f 2 = - f 2 . As duas lentes estão separadas por uma distância d variável que é sempre menor do que f 1 . O módulo da distância focal da lente divergente satisfaz à desigualdade f 2 > ( f 1 - d ) . Para determinar a distância focal efetiva da combinação das duas lentes, considere um feixe de raios paralelos com raio r 0 entrando na lente convergente. a ) Mostre que o raio do feixe diminui para o valor r 0 ' =   r 0 ( f 1 - d ) / f 1 no ponto onde ele penetra na lente divergente. b ) Mostre que à imagem I ' se forma a uma distância s 2 '   = f 2 ( f 1 - d ) / ( f 2 - f 1 + d ) à direita da lente divergente. c ) Se os raios que emergem da lente divergente e atingem o ponto imagem final são prolongados para trás, para a esquerda da lente divergente, eles acabam atingindo o raio original r 0 em algum ponto Q . A distância entre a imagem final I ' e o ponto Q é a distância focal efetiva f da combinação das duas lentes; ou seja, se as duas lentes fossem substituídas por uma única lente situada no ponto Q com

distância focal f , os raios paralelos incidentes seriam focalizados formando I ' . Mostre que a distância focal efetiva é dada por f = f 1 f 2 / ( f 2 - f 1 + d ) . d ) Sabendo que f 1 = 12 , 0   c m , f 2 = - 18,0   c m e que a distância d pode ser ajustada entre zero e 4,0   c m , descubra a

distância focal máxima e a distância focal mínima para essa combinação. Qual é o valor da distância d para obter f = 3 0 , 0   c m ?

Passo 1

Então meu povo, borra lá!

Começando com o item ( a ) , podemos encontrar o que é pedido fazendo uma semelhança de triângulos, das informações do enunciado conseguimos chegar a seguinte figura:

A base r 0 é em cima da lente convergente, a base r 0 ' é em cima da lente divergente e f 1 é a distância focal da lente convergente.

Para mostrar o que é pedido em ( b ) temos que analisar o seguinte, a imagem que a primeira lente forma a sua direita a uma distância igual a f 1 serve como objeto para segunda lente a uma distância s 2 = - ( f 1 - d ) a esquerda da segunda lente tendo assim a formação da imagem a parti desse objeto.

O sinal de negativo é justamente porque o objeto está a esquerda da segunda lente.

A partir dessa análise e usando a seguinte equação vamos conseguir mostrar o que o enunciado quer.

s 2 ' = s 2 f 2 s 2 - f 2

Para o item ( c ) vamos utilizar o mesmo método do item ( a ) , semelhança de triângulos, já que se desenharmos a situação descrita em ( c ) , teremos o seguinte:

E para resolvermos o item ( d ) basta pegar o que encontramos em ( c ) e substituir os valores que o enunciado nos deu, aí é só da umas mexidinhas até encontrarmos o que queremos.

Passo 2

Vamos lá, como falei no passo 1 o segredo é fazer a semelhança de triângulos, assim temos o seguinte:

r 0 f 1 = r 0 ' f 1 - d

Agora isolando r 0 ' , temos que:

r 0 ' = f 1 - d f 1 r 0

Prontinho! Chegamos onde queríamos.

Passo 3

Vamos com tudo para o item ( b ) agora, temos o seguinte do passo 1 .

s 2 = - f 1 - d = d - f 1

Utilizando a fórmula que mostrei no passo 1 , temos o seguinte:

s 2 ' = ( d - f 1 ) f 2 ( d - f 1 ) - f 2

Agora para completar nossa demonstração vamos usar informação dada pelo enunciado sobre f 2 .

f 2 = - f 2

⇒ - f 2 = f 2

Então temos que:

s 2 ' = - d - f 1 f 2 d - f 1 + f 2

Agora ajeitando para ficar igual a do enunciado, temos:

s 2 ' = f 1 - d f 2 f 2 - f 1 + d

Prontinho meu povo!

Passo 4

Agora vamos a chegar na expressão pedida em ( c ) , como falei no passo 1 vamos fazer isso por semelhança de triângulos, assim:

r 0 f = r 0 ' s 2 '

⇒ r 0 r 0 ' = f s 2 '

Do desenvolvimento do item ( a ) , nós podemos encontrar o seguinte:

r 0 r 0 ' = f 1 f 1 - d

Juntando essas duas informações temos que:

f s 2 ' = f 1 f 1 - d

⇒ f = f 1 f 1 - d s 2 '

Agora usando o resultado do item ( b ) , temos que:

f = f 1 f 1 - d f 1 - d f 2 f 2 - f 1 + d

⇒ f = f 1 f 2 f 2 - f 1 + d

Mais um item completo! Vamos para o próximo.

Passo 5

Agora para o item ( d ) vamos pegar o resultado do passo anterior e usar os valores dados no enunciado.

Temos o seguinte:

f = f 1 f 2 f 2 - f 1 + d

Onde f 1 = 12,0   c m e f 2 = - 18,0   c m e d variando de 0 a 4,0   c m .

Agora vamos olhar a nossa fórmula, o único parâmetro variável é o d e ele está no denominador, então quanto maior seu valor, menor será o de f e quanto menor o seu valor, maior será o de f .

Então temos que o valor máximo de f ocorre em d = 0 e o valor mínimo de f ocorre em d = 4   c m .

E a outra coisa que o item ( d ) pede, basta isolar d e substituir f = 30   c m .

Vamos as contas, primeiro vamos encontrar o valor máximo de f assim:

f = ( 12 ) ( 18 ) 18 - 12 + 0

⇒ f = 36   c m

Agora o valor mínimo de f , temos:

f = ( 12 ) ( 18 ) 18 - 12 + 4

⇒ f = 21,6   c m

Agora vamos encontrar d para f = 30 ,   0   c m , vamos lá!

f = f 1 f 2 f 2 - f 1 + d

⇒ f 2 - f 1 + d f = f 1 f 2

⇒ d = f 1 f 2 f - f 2 + f 1

Substituindo os valores que conhecemos, temos;

d = ( 12 ) ( 18 ) 30 - 18 + 12

⇒ d = 1,2   c m

Resposta

( a )

r 0 ' = f 1 - d f 1 r 0

( b )

s 2 ' = f 1 - d f 2 f 2 - f 1 + d

( c )

f = f 1 f 2 f 2 - f 1 + d

( d )

f m á x = 36   c m

f m í n = 21,6   c m

d = 1,2   c m

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