Enunciado

Qual é a variação percentual da aceleração percentual da aceleração da Terra em direção ao Sol quando o alinhamento entre a Terra, o Sol e a Lua muda de um eclipse do Sol (com a Lua entre a Terra e o Sol) para um eclipse da Lua (com a Terra entre a Lua e o Sol)?

Passo 1

Vamos fazer um desenho para cada situação. Começando pelo eclipse do Sol:

Nesse caso, as acelerações geradas pela Lua e pelo Sol sobre a Terra apontam na mesma direção, então:

a 1 = a s o l + a l u a

E agora vamos considerar o eclipse da Lua:

Então, nesse caso:

a 2 = a s o l - a l u a

Passo 2

Nosso objetivo é calcular a diferença percentual entre os dois casos. Então primeiro precisamos encontrar uma expressão para essa diferença em termos absolutos:

Δ a = a 1 - a 2

Δ a = a s o l + a l u a - a s o l - a l u a

Δ a = 2 a l u a

E para encontrar a variação percentual, precisamos dividir essa variação pelo valor médio da aceleração entre os dois casos:

a m é d = a 1 + a 2 2

a m é d = a s o l + a l u a + a s o l - a l u a 2 = a s o l

Ou seja, a variação que queremos é:

a v a r = Δ a a m é d

a v a r = 2 a l u a a s o l

Passo 3

Agora vamos escrever expressões para cada uma das duas acelerações, usando a fórmula para a aceleração gerada por um corpo de massa M a uma distância r :

a s o l = G M s r s 2

a l u a = G M L r L 2

Então:

a v a r = 2 a l u a a s o l

a v a r = 2 G M L G M S r S 2 r L 2

a v a r = 2 M L M S   r S r L 2

Agora vamos substituir os valores numéricos:

a v a r = 2 7,36.10 22 1,99.10 30   1,50.10 11 3,82.10 8 2

a v a r = 0,011

E, em porcentagem, esse resultado equivale a:

a v a r = 1,1   %

Resposta

A variação da aceleração nesses dois casos é de 1,1 % .

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