Enunciado

114. Telescópio de Galileu. A Figura 34.64 é diagrama do Telescópio de Galileu mostrando tanto o objeto quanto sua imagem final no infinito. A imagem I serve como objeto virtual para

a ocular. A imagem final é virtual e direita. a ) Prove que a ampliação angular é dada por M = - f 1 / f 2 . b ) Um telescópio de Galileu deve ser construído usando-se a mesma lente objetiva do

Exercício 34 . 57 . Qual deve ser a distância focal da ocular para que o telescópio possua o mesmo módulo da ampliação angular do telescópio do Exercício 34 . 57 ? c ) Compare os comprimentos dos dois telescópios.

Passo 1

Então meu povo, vamos começar analisando ( a ) . Para mostrar o que ele quer, vamos usar o fato que:

M = θ ' θ

Ou no caso do diagrama da figura 34.64.

M = u ' u

Temos a seguinte relação para u ' e u , temos que:

tan ⁡ u ' = y f 2

Onde f 2 é o foco da ocular que é negativo. Assim:

tan ⁡ u ' = - y f 2

E que

tan ⁡ u = y f 1

Onde f 1 é o foco da objetiva. E temos que y é iguala a altura da imagem formada pela objetiva.

Para encontrar o que o item ( b ) quer, vamos usar a expressão que mostramos em ( a ) só que agora usando a distância focal da lente objetiva do exercício 34.57 que é f 1 = 95,0   c m e que tem um M = 6,33 .

E para comparar o tamanho dos telescópios temos que encontrar o comprimento do telescópio que temos primeiro e isso é bem dizer encontrar a distância entre as lentes, olhando a figura 36.64 essa distância é dada por:

d = f 1 - f 2

Passo 2

Vamos então galera! Vamos mostrar o que o item ( a ) quer, temos o seguinte:

M = u ' u

Onde:

tan ⁡ u ' = - y f 2

tan ⁡ u = y f 1

Como u ' e u são ângulos pequenos, podemos usara aproximação para pequenos ângulos da tangente, assim:

u ' = - y f 2

u = y f 1

Então temos que:

M = - y / f 2 y / f 1

= - y f 2 f 1 y

Então temos que:

M = - f 1 f 2  

Passo 3

Agora vamos encontrar o valor de f 2 , temos o seguinte:

M = - f 1 f 2

Isolando f 2 , temos:

f 2 = - f 1 M

Substituindo os valores que conhecemos temos:

f 2 = - 95 6,33

⇒ M = - f 1 f 2

Passo 4

Agora vamos encontrar o comprimento do telescópio, temos que:

d = f 1 - f 2

d = 95 - 15 = 80   c m

O comprimento do telescópio do exercício 34.57 é 110   c m . Podemos ver que esse é bem maior do que do problema que resolvemos.

Resposta

( a )

M = - f 1 f 2

( b )

M = - f 1 f 2

( c )

O telescópio do exercício 34.57 é maior do que o desse problema que resolvemos.

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