Enunciado

93. Um espelho côncavo e um espelho convexo são colocados sobre o mesmo eixo ótico, e a distância entre eles é L =   0,60 0   m . O raio de curvatura de cada espelho possuí módulo de 0,360   m . Uma fonte luminosa é colocada a uma distância x do espelho côncavo, como indicado na Figura 34 . 60 . a ) Qual deve ser a distância x para que os raios que emanam da fonte retornem a ela depois de se refletirem inicialmente no espelho convexo e a

seguir no espelho côncavo? b ) Repita o cálculo do item ( a ) supondo que os raios se reflitam inicialmente no espelho côncavo e a seguir no espelho convexo.

Passo 1

Então galera, vamos começar a pensar nesse problema, o que queremos bem dizer é um valor de x para que a imagem da fonte seja forma da na mesma posição que essa se encontrar.

Sendo no item ( a ) refletindo primeiro no espelho convexo depois no côncavo e no item ( b ) refletindo primeiro no espelho côncavo depois no convexo.

Para o s dois itens vamos usar a mesma equação que fornece a posição da imagem no espelho esférico, dada por:

1 s + 1 s ' = 1 f

Onde s é a posição do objeto, s ' a posição da imagem e f a distância focal.

Nos dois itens vamos usar o mesmo raciocínio o que vai mudar é a ordem dos espelhos.

O raciocínio é o seguinte, primeiro vamos encontrar a posição da imagem do objeto em relação ao primeiro espelho que houve reflexão, pois essa imagem é que vamos considerar como novo objeto para refletir no segundo espelho.

Assim usando a posição que encontramos mais a distância entre os espelhos como a nova posição do objeto vamos calcular a posição da imagem no segundo espelho para que ela seja igual a x (que representa que os raios estão voltando para a fonte original).

Passo 2

Vamos lá então, vamos começar com ( a ) , temos que encontrar posição da imagem em relação ao primeiro espelho ( s 1 ' ) , no caso o convexo, vamos usar a equação que comentei no passo 1 , temos:

1 s 1 + 1 s 1 ' = 1 f 1

⇒ s 1 ' = s 1 f 1 s 1 - f 1

Vamos nos atentar a umas coisinhas, a distância focal é metade do raio de curvatura, para o espelho convexo essa distância focal é negativa, assim:

f 1 = - 0,18   m

A distância do objeto em relação ao primeiro espelho ( s 1 ) vai ser dada pela diferença entre a distância entre os espelhos ( L = 0,600   m ) e a distância x do objeto em relação ao segundo espelho, assim:

s 1 = L - x = 0,6 - x

Assim, temos que:

s 1 ' = s 1 f 1 s 1 - f 1

⇒ s 1 ' = ( 0,6 - x ) ( - 0,18 ) 0,6 - x + 0,18

= - 0,18 0,6 - x 0,78 - x

Então essa é a posição da imagem do objeto em relação ao primeiro espelho, o sinal de negativo é só para indicar que a imagem está do lado esquerdo do espelho.

Então essa posição mais a distância entre os espelhos vai ser a distância do objeto em relação ao segundo espelho. Assim:

s 2 = 0,6 + 0,18 0,6 - x 0,78 - x = 0,576 - 0,78 x 0,78 - x

Passo 3

Agora vamos usar a equação do passo 1 mais uma vez, mas agora da seguinte maneira:

s 2 = s 2 ' f 2 s 2 ' - f 2

Onde s 2 é o que encontramos no item anterior e s 2 ' = x que é a condição dos raios voltarem para o objeto original, assim:

0,576 - 0,78 x 0,78 - x = x ( 0,18 ) x - 0,18

Agora vamos encontrar x .

0,576 x - 0,78 x 2 - 0,10368 + 0,1404 x = - 0,1404 x - 0,18 x 2

⇒ 0,6 x 2 - 0,576 x + 0,10368 = 0

Agora temos que resolver essa equação do segundo grau, e vamos fazer isso com a nossa famosa fórmula de Bhaskara. Assim, temos que:

x = - - 0,5676 ± - 0,576 2 - 4 ( 0,6 ) ( 0,10368 ) 2 ( 0,6 )

= 0,576 ± 0,082944 1,2

Então temos que:

x = 0,576 ± 0,288 1,2

Assim temos que:

x = 0,24   m

Ou

x = 0,72   m

O único resultado possível é x = 0,24   m já que x tem que ser menor que L = 0,600   m

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) , temos que encontrar posição da imagem em relação ao primeiro espelho ( s 1 ' ) , no caso o concavo, vamos usar a equação que comentei no passo 1 , temos:

1 s 1 + 1 s 1 ' = 1 f 1

⇒ s 1 ' = s 1 f 1 s 1 - f 1

Vamos nos atentar a umas coisinhas, a distância focal é metade do raio de curvatura, assim:

f 1 = 0,18   m

A distância do objeto em relação ao primeiro espelho ( s 1 ) vai ser dada por x

s 1 = x

Assim, temos que:

s 1 ' = s 1 f 1 s 1 - f 1

⇒ s 1 ' = x ( 0,18 ) x - 0,18

Então essa é a posição da imagem do objeto em relação ao primeiro espelho. Como ela é positiva essa imagem está a esquerda do espelho.

Então distância entre os espelhos menos essa posiçã vai ser a distância do objeto em relação ao segundo espelho. Assim:

s 2 = 0,6 - x 0,18 x - 0,18 = 0,42 x - 0,18 x - 0,18

Passo 5

Agora vamos usar a equação do passo 1 mais uma vez, mas agora da seguinte maneira:

s 2 = s 2 ' f 2 s 2 ' - f 2

Onde s 2 é o que encontramos no item anterior e s 2 ' = 0,6 - x que é a condição dos raios voltarem para o objeto original, assim:

0,42 x - 0,18 x - 0,18 = ( 0,6 - x ) ( - 0,18 ) 0,78 - x

Agora vamos encontrar x . Temos:

0 , 3 27 6 x - 0 , 1404 - 0,42 x 2 + 0 , 18 x = - 0,108 x + 0,18 x 2 - 0 , 01944 - 0,0324 x

⇒ 0,6 x 2 - 0,6 48 x + 0,1 2096 = 0

Agora temos que resolver essa equação do segundo grau, e vamos fazer isso com a nossa famosa fórmula de Bhaskara. Assim, temos que:

x = - - 0 , 648 ± - 0 , 648 2 - 4 ( 0,6 ) ( 0,1 2096 ) 2 ( 0,6 )

= 0,6 48 ± 0 , 1296 1,2

Então temos que:

x = 0,6 48 ± 0 , 36 1,2

Assim temos que:

x = 0,24   m

Ou

x = 0 , 84   m

O único resultado possível é x = 0,24   m já que x tem que ser menor que L = 0,600   m

Resposta

( a )

x = 0,24

( b )

x = 0,24

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