Enunciado

115. Um objeto inclinado. Um lápis com 16,0   c m de comprimento é colocado formando um ângulo de 45,0 ° com a horizontal e seu centro está situado a 15,0   c m acima do eixo ótico e a 45,0   c m de uma lente com distância focal igual a 20,0   c m , como indica a Figura 34.65 . (Note que a figura não foi desenhada em escala.) Suponha que o diâmetro da lente seja suficientemente grande para que a aproximação de raios paraxiais seja válida. a ) Onde

está a imagem do lápis? (Indique o local onde se formam as imagens dos pontos objetos A ,   B e C localizados, respectivamente, na extremidade da borracha, na ponta e no centro do lápis.) b ) Qual é o comprimento da imagem? (Ou seja, qual é a distância entre as imagens dos pontos A e B ?) c ) Faça um desenho esquemático para mostrar a orientação da imagem.

Passo 1

Então galera, olá novamente!

Vamos começar a queimar neurônios, para responder o que o item ( a ) quer vamos fazer como ele mesmo sugeriu que é achar as posições (altura e distância da lente) de A , B e C .

Para encontrar a distância de cada ponto da lente, podemos usar a seguinte equação:

1 s + 1 s ' = 1 f

Onde teremos que achar s ' .

E para encontrar a altura de cada ponto podemos usar uma semelhança de triângulos entre as alturas e as distancias entre os pontos e as lentes assim:

- y ' y = s ' s

y ' = - y s ' s

Para encontrar o comprimento da imagem podemos usar a fórmula de distância entre pontos onde a distância entre a lente e o ponto é a coordenada x e altura do ponto a coordenada y , assim:

L = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

⇒ L = s A ' - s B ' 2 + y A ' - y B ' 2

Depois disso tudo poderemos fazer nosso desenho pedido em ( c ) .

Vamos achar as posições de cada ponto em passos diferentes.

Passo 2

Vamos começar com o ponto A .

Primeiro vamos encontrar s A ' , temos:

1 s A ' + 1 s A = 1 f

Temos que s A é dado por 45 + 8 cos ⁡ 45 ° , assim temos que:

s A ' = 1 20 - 1 45 + 8 cos ⁡ 45 ° - 1

= 1 20 - 1 50,7 - 1

s A ' = 33   c m

Agora vamos encontrar y A ' , temos o seguinte:

y A ' = - y A s A ' s A

Onde temos que y A é dado por 15 - 8 sen ⁡ 45 ° , assim temos que:

y A ' = - ( 15 - 8 sen ⁡ 45 ° ) 33 50,7

= - ( 9,34 ) 33 50,7

y A ' = - 6,08   c m

Passo 3

Agora vamos para o ponto B .

Primeiro vamos encontrar s B ' , temos:

1 s B ' + 1 s B = 1 f

Temos que s B é dado por 45 - 8 cos ⁡ 45 ° , assim temos que:

s B ' = 1 20 - 1 45 - 8 cos ⁡ 45 ° - 1

= 1 20 - 1 39,34 - 1

s B ' = 40,7   c m

Agora vamos encontrar y B ' , temos o seguinte:

y B ' = - y B s B ' s B

Onde temos que y B é dado por 15 + 8 sen ⁡ 45 ° , assim temos que:

y B ' = - ( 15 + 8 sen ⁡ 45 ° ) 40,7 39,34

= - ( 20,66 ) 40,7 39,34

y B ' = - 21,4   c m

Passo 4

Agora vamos para o ponto C .

Primeiro vamos encontrar s C ' , temos:

1 s C ' + 1 s C = 1 f

Temos que s C vale 45   c m , assim temos que:

s C ' = 1 20 - 1 45 - 1

= 1 20 - 1 45 - 1

s C ' = 36   c m

Agora vamos encontrar y C ' , temos o seguinte:

y C ' = - y C s C ' s C

Onde temos que y C vale 15 , assim temos que:

y C ' = - ( 15 ) 36 45

= - ( 15 ) 36 45

y C ' = - 12   c m

Passo 5

Agora vamos encontrar o comprimento da imagem da forma como falei no passo um 1 , temos:

L = s A ' - s B ' 2 + y A ' - y B ' 2

Substituindo o que sabemos, temos:

L = 33 - 40,7 2 + 6,08 - 21,4 2

= 59,29 + 234,7

Então temos que:

L = 17,14   c m

Passo 6

Agora vamos para o desenho esquemático, ele fica da seguinte forma:

Resposta

( a )

A : s A ' = 33   c m - y A ' = - 6,08   c m

B :   s B ' = 40,7   c m - y B ' = - 21,4   c m

C :   s C ' = 36   c m - y C ' = - 12   c m

( b )

L = 17,14   c m

( c )

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