Enunciado

12.1. Calcule a razão da força de atração gravitacional entre o Sol e a Lua e a força entre a Terra e a Lua. Suponha que a distância da Lua ao Sol seja aproximadamente a mesma distância da Terra ao Sol.) Use dados do Apêndice F. É mais preciso dizer que a Lua está em órbita ao redor da Terra ou que a Lua está em órbita ao redor do Sol?

Passo 1

Vamos começar lembrando de como se calcular a força de atração gravitacional

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

Onde M e m são as massas, d é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e G é a constante universal

G = 6,67 ⋅ 10 - 11   N ⋅ m 2 k g 2

Passo 2

Beleza a gente quer saber a razão entre as forças gravitacionais, então precisamos saber

F S L F T L

(O índice S significa sol, o L lua e o T Terra)

A força de atração entre o sol e a lua dividido pela força de atração entre a terra e a lua.

Então a gente tem

F S L = G ⋅ M S ⋅ m L d S L 2

E

F T L = G ⋅ M T ⋅ m L d T L 2

Então temos

F S L F T L = G ⋅ M S ⋅ m L d S L 2 G ⋅ M T ⋅ m L d T L 2

Agora é só manipulação matemática, a gente já pode começar cortando G e m L

F S L F T L = M S d S L 2 M T d T L 2

Agora vamos reescrever isso

F S L F T L = M S M T ⋅ d T L d S L 2

Passo 3

Agora é só substituir os valores e aí fazer as contas, vamos ver quanto vale cada coisa

M S = 1,989 ⋅ 10 30   k g

M T = 5,972 ⋅ 10 24   k g

d S L = 1,50 ⋅ 10 11   m

d T L = 3,84 ⋅ 10 8   m

Lembrando que

d S L ≈ d S T

Vamos substituir

F S L F T L = 1,989 ⋅ 10 30 5,972 ⋅ 10 24   ⋅ 3,84 ⋅ 10 8   1,50 ⋅ 10 11 2

Vamos calcular isso

F S L F T L = 1,989 5,972   ⋅ 10 6 ⋅ 3,84   1,50 2 ⋅ 10 - 3 2  

F S L F T L = 1,989 5,972   ⋅ 10 6 ⋅ 3,84   1,50 2 ⋅ 10 - 6

Agora a gente pode cortar 10 6 com 10 - 6

F S L F T L = 1,989 5,972   ⋅ 3,84   1,50 2

F S L F T L = 1,989 5,972   ⋅ 14,7456 2,25 = 29,33 13,437 = 2,18

Então a razão entre as forças é 2,18 .

Então a gente pode concluir que a força de atração entre o Sol e a Lua é a maior do que a força de atração entre a Terra e a Lua, logo é mais preciso dizer que a Lua está em orbita em relação ao Sol.

Resposta

F S L F T L = 2,18

É mais preciso dizer que a Lua está em orbita em relação ao Sol.

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