Enunciado

12.3P A caixa na Figura 12.9 tem massa de 10   kg e seu coeficiente de atrito estático com a rampa é 0,45 . A) Se θ = 30 ° , qual é o valor de F para que ela fique em repouso? B) Suponha que θ seja aumentado para 45 ° e a intensidade da força seja mantida no valor calculado anteriormente. Sendo 0,35 o coeficiente de atrito cinético entre as superfícies, qual é a aceleração da caixa?

Passo 1

Belezoca galerinha, na letra (A) o enunciado nos diz que a rampa está inclinada θ = 30 ° , tal que as componentes da força normal N , da força de atrito f e da força peso m g estão representadas na figura, juntamente com a força F que atua na horizontal:

E se a gente fizer um diagrama de forças pro bloco nesse ponto, teremos:

Belezoca, então para a caixa ficar em repouso, precisamos que as forças que atuam no eixo da rampa se anulem, ou seja, a força de atrito seja igual a componente da força gravitacional, sendo assim a aceleração nesse eixo será nula e o bloco não deslizará:

P sin ⁡ θ - f - F cos ⁡ θ = 0

Passo 2

Iradoso, e como vimos neste capítulo, a força de atrito é dada pela expressão:

f = μ e N

E essa força normal N , é a resultante perpendicular à superfície. Devido a isso, vemos que tanto a força gravitacional quanto a força F possuem componentes neste eixo, tal que:

N = F sin ⁡ θ + P cos ⁡ θ

De forma que a força de atrito pode ser expressa como:

f = μ e F sin ⁡ θ + P cos ⁡ θ

Então o somatório das nossas forças no eixo da rampa é:

P sin ⁡ θ - f - F cos ⁡ θ = 0

P sin ⁡ θ - μ e F sin ⁡ θ + P cos ⁡ θ - F cos ⁡ θ = 0

Passo 3

Mas calma lá meu patrão, a gente pode dar mais uma reorganizada nos termos, saca só:

P sin ⁡ θ - μ e F sin ⁡ θ + P cos ⁡ θ - F cos ⁡ θ = 0

P sin ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ - F cos ⁡ θ + μ e sin ⁡ θ = 0

Logo:

F cos ⁡ θ + μ e sin ⁡ θ = P sin ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ

F = P sin ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ cos ⁡ θ + μ e sin ⁡ θ

E como P é a força da gravidade m g , temos que

F = m g sin ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ cos ⁡ θ + μ e sin ⁡ θ

Então se a gente substituir os valores que o enunciado deu pra gente, obtemos que:

F = 10 9,8 sin ⁡ 30 - 0,45 cos ⁡ 30 sin ⁡ 30 + 0,45 cos ⁡ 30

F = 10 9,8 1,01

Portanto a força F para manter o bloco em repouso é:

F ≈ 9,8   N

Passo 4

Show de bolinhas, agora na letra (B), mudamos algumas coisinhas, primeiro que o ângulo inclinação agora é de 45 ° , além disso o coeficiente de atrito cinético é dado por μ c = 0,35 , mas em compensação a força F se manteve fixa rsrs

E sabendo disso, queremos a aceleração resultante desse sistema.

Saca só jovem mancebo, vimos no item anterior que o somatório das forças no eixo da rampa era:

F R = P sin ⁡ θ - f - F cos ⁡ θ

No item anterior, precisávamos que o corpo estivesse em repouso, por isso igualamos a expressão a 0 , MAAAAASSS, agora vimos que o corpo vai possuir uma força resultante, de forma que também vai possui uma aceleração resultante a R , tal que:

P sin ⁡ θ - f - F cos ⁡ θ = m a R

Passo 5

Vimos também que a força de atrito poderia ser expressa em termos da força da gravidade P e da força F , de acordo com a expressão:

f = μ e F sin ⁡ θ + P cos ⁡ θ

Então substituindo novamente a força de atrito na nossa expressão das forças, obtemos que:

P sin ⁡ θ - μ e F sin ⁡ θ + P cos ⁡ θ - F cos ⁡ θ = m a R

E reorganizando, obtemos:

P sin ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ - F cos ⁡ θ + μ e sin ⁡ θ = m a R

Logo a aceleração será:

a R = P sin ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ - F cos ⁡ θ + μ e sin ⁡ θ m

E como P = m g , temos:

a R = g sin ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ - F m cos ⁡ θ + μ e sin ⁡ θ

E então se a gente substituir os valores que a gente conhece, descobrimos que a aceleração vale:

a R = 9,8 sin ⁡ 45 - 0,35 cos ⁡ 45 - 9,8 10 cos ⁡ 45 + 0,35 sin ⁡ 45

a R = 3,6   m/s²

Resposta

  1. F ≈ 9,8   N
  2. a R ≈ 3,6   m/s²
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