Enunciado

12.22. Explorando Europa. Há fortes indícios de que Europa, um satélite de Júpiter, tenha um oceano líquido sob a superfície de gelo. Muitos cientistas acham que deveríamos enviar um módulo espacial para lá em busca de vida. Antes de lança-lo, deveríamos testar o módulo sob as condições de gravidade na superfície de Europa. Um modo de fazer isso é colocar o módulo na extremidade de um braço rotativo em um satélite orbitando ao redor da Terra. Se o braço possuir 4,25 m de comprimento e girar ao redor de uma extremidade, em que velocidade angular (em rpm) ele deveria girar para que a aceleração da gravidade na superfície de Europa? A massa de Europa é 4,8 ⋅ 10 22   k g e seu diâmetro é 3138   k m .

Passo 1

Bem, quando um objeto está girando tem uma força resultante centrípeta agindo sobre ele, se essa força centrípeta for igual a força gravitacional da lua Europa, a gente tem uma boa simulação de como é a gravidade lá. Em outras palavras, precisamos garantir que

F g = F C

G ⋅ M ⋅ m R 2 = m ⋅ ω 2 ⋅ r

Onde ω é a velocidade angular que a gente quer descobrir.

Passo 2

Bom, vamos começar calculando qual vai ser a força gravitacional na lua Europa

F g = 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 4,8 ⋅ 10 22 ⋅ m 3138000 2

Fazendo essa conta

F g = 0,325 m   N

Agora a gente tem que igualar isso a força centrípeta do nosso sistema

0,325 m   = m ⋅ ω 2 ⋅ R

Olha só que interessante, a gente pode cortar a massa do módulo espacial, não depende dessa massa

0,325 = ω 2 ⋅ r

O raio é a extensão do braço, então

ω 2 = 4,25 0,325

Logo

ω = 4,25 0,325 = 3,61   r p s

Bom temos uma resposta, mas estamos em rotação por segundo, agora para descobrir rotações por minuto, basta dividir por 60

ω = 3,61 60 = 0,06   r p m

Resposta

ω = 0,06   r p m

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