Enunciado

12.35. a) Use a Figura 12.19 para mostrar que a distância entre o Sol e um planeta no periélio é igual a 1 ⋅ e a , e a distância entre o Sol e um planeta no afélio é igual a 1 + e a e, portanto, a soma dessas duas distâncias é igual a 2a . b) Plutão é chamado de planeta externo, porém, durante o periélio em 1989 ele estava quase 100 milhões de quilômetros mais perto do Sol do que Netuno. Os semi-eixos maiores das órbitas de Plutão e de Netuno são respectivamente, 5,92 ⋅ 10 12   m e 4,5 ⋅ 10 12   m , e as respectivas excentricidades são 0,248 e 0,010. Ache a menor distância entre o Sol e Plutão e a maior distância entre o Sol e Netuno. C) Depois de quantos anos do periélio de Plutão em 1989 Plutão estará novamente no periélio?

Passo 1

Legal, vou começar fazendo um desenho da figura 12.19 destacando os pontos que a gente vai precisar

Agora repare que no ponto do periélio, a distância até o sol é a - e a , então

d p = a - e a

A gente coloca o a em evidência e temos

d p = 1 - e a

Agora vamos fazer a distância até o afélio. Repare que nesse caso a gente tem

d a = a + e a

A gente coloca o a em evidência

d a = 1 + e a

Agora vamos ver quanto dá a soma dessas duas distâncias

d p + d a

1 - e a + 1 + e a

A gente pode colocar o a em evidência de novo

1 - e + 1 + e a

Bem isso vai dar

2 a

Exatamente como queríamos demonstrar.

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Vamos começar achando a menor distância entre Sol e Plutão, que vai acontecer justamente no periélio de plutão.

Bom como vimos no item anterior, o periélio teme essa distância

d p = 1 - e a

O exercício nos dá o semieixo e a excentricidade, é só a gente substituir

d p = 1 - 0,248   5,92 ⋅ 10 12

Agora fazendo essas contas a gente tem

d p = 4,45 ⋅ 10 12   m

Agora vamos ver a maior distância que Netuno pode ficar do Sol. Isso vai acontecer no afélio, então a gente pode calcular essa distância assim

d a = 1 + e a

Substituindo os valores que o enunciado dá

d a = 1 + 0,01 4,5 ⋅ 10 12

Fazendo essa continha

E aí temos

d a = 4,55 ⋅ 10 12   m

E esse é o item (b)

Passo 3

Agora vamos para o item final. A gente tem que dizer quanto tempo vai levar para Plutão voltar ao periélio, ou seja, a gente tem que calcular o período. E para isso a gente pode usar a terceira lei de Kepler

T = 2 π a 3 2 G M

O enunciado nos dá o eixo maior, a constante gravitacional e a massa do Sol a gente pode encontrar no Apêndice do livro. Então é só substituir os valores

T = 2 π 5,92 ⋅ 10 12 3 2 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30

Agora é só fazer essa continha

T = 7,853 ⋅ 10 9   s

Vamos passar isso para dias

T = 7,853 ⋅ 10 9 86400 = 90891,2   d i a s

Ainda deu um número muito grande :/. Vamos colocar em anos então

T = 90891,2 365 = 249   a n o s

Resposta

b) d p = 4,45 ⋅ 10 12   m

d a = 4,55 ⋅ 10 12   m

c) T = 249   a n o s

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