Enunciado

Uma barra uniforme deslgada possui comprimento L e massa M . Calcule o modulo da força gravitacional que a barra exerce sobre uma partícula de massa m situada ao longo do eixo da barra a uma distancia x de uma de suas extremidades (Figura 12.34). Mostre que o seu resultado se reduz ao esperado quando x for muito maior do que L .

Passo 1

Bom, galera, aqui vamos usar a equação da lei da gravitação

F g = G m 1 m 2 r 2

para a força entre um pequeno segmento da haste e a partícula. Integraremos sobre o comprimento da haste para encontrar a força total.

Vamos usar um sistema de coordenadas com a origem na extremidade esquerda da haste e o eixo x ' ao longo da haste, como mostrado na ilustração abaixo. Dividiremos a haste em pequenos segmentos de comprimento d x ' . (Vamos usar x ' para a coordenada para não

confundir com a distância x   do final da haste até a partícula.)

Passo 2

A massa de cada segmento é

d M = d x ' M L .

Cada segmento é uma distância L - x ' + x da massa m , então a força na partícula devido a um segmento é

d F = D m   d M L - x ' + x 2 = G M m L   d x ' L - x ' + x 2 .

Passo 3

Integrando, temos que:

F = ∫ L 0 d F = G M m L   ∫ L 0 d x ' L - x ' + x 2 = G M m L   - 1 L - x ' + x L 0

⇒ F = G M m L 1 x - 1 L + x = G M m L   ( L + x - x ) x ( L + x ) = G M m x ( L + x ) .

Passo 4

Para x ≫ L esse resultado se torna F = G M m / x 2 , o mesmo que para um par de massas pontuais.

Resposta

G M m x ( L + x )

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