Enunciado

Kepler determinou distâncias no sistema solar a partir de seus dados. Por exemplo, ele encontrou a distância relativa entre o Sol e Vênus (em comparação com a distância do Sol à Terra) da seguinte maneira: como a órbita de Vênus é mais próxima do Sol do que a órbita da Terra, Vênus é uma estrela matutina ou vespertina – sua posição no céu nunca é muito distante do Sol. Considere a órbita de Vênus perfeitamente circular e a orientação relativa de Vênus, da Terra e do Sol em sua extensão máxima, isto é, com Vênus o mais afastado possível, no céu, do Sol. (a) Sob estas condições, mostre que o ângulo b na figura vale 90 ° . (b) Se o ângulo de elongação máxima a entre Vênus e o Sol é 47 ° , qual é a distância entre Vênus e o Sol em UA? (c) Use este resultado para estimar o comprimento de um ano venusiano.

Passo 1

a) Quais são as características da situação onde, visto da Terra, Vênus está mais distante do Sol? Repara que essa distância vai ser proporcional ao ângulo a . Quanto maior for a , maior a é a distância entre esses astros vista da Terra.

Agora imagina que você quer desenhar o a máximo. Vamos deixar a Terra parada. Assim, o segmento que liga a Terra e o Sol vai permanecer onde está (já que o Sol não se mexe, né).

Então só poderemos variar o segmento que liga a Terra a Vênus.

Esse segmento precisa sempre passar pela trajetória de Vênus. Percebe que para a ser o maior possível, o segmento deve passar tangente a trajetória de Vênus (situação da direita). Caso contrário, o ângulo vai ser menor (situação da esquerda).

Então para Vênus parecer o mais afastado possível do Sol, visto do céu terrestre, ele vai estar passando por uma reta que sai da Terra e é tangente à sua órbita.

Como essa reta é tangente a circunferência que representa a trajetória de Vênus, o segmento que liga Vênus ao sol vai ser coincidente com o raio da circunferência. Aí o ângulo entre esse segmento e a reta tangente ao círculo vai ser 90 ° .

Logo, temos que b = 90 ° .

Passo 2

b) Então, U A é a distância média entre a Terra e o Sol. Basicamente ele quer que a gente ache a distância entre Sol e Vênus em função da distância entre a Terra e o Sol.

Já que temos um triângulo retângulo, por trigonometria, conseguimos relacionar a distância do Sol a Vênus, usando o ângulo a .

Olhando a figura podemos fazer

s e n a = d S V d S T

d S V = d S T s e n a

Temos que d S T = 1,00   A U , então

d S V = 1.00 A U s e n 47 °

d S V = 0.731   A U

Passo 3

c) Pra acabar, vamos usar a terceira Lei de Kepler para relacionar os períodos!

T 2 r 3 = c t e

T V 2 T T 2 = r V 3 r T 3

T V = T T r v r T 3 2

Os raios das trajetórias vão ser a distância entre o planeta e o sol. Com o valor que achamos na parte (b):

T V = 1   a n o 0.731 1.000 3 2

T V = 0.63   a n o s

Resposta

  1. b = 90 °
  2. d S V = 0.731   A U
  3. T V = 0.63   a n o s
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