Enunciado

12.5. Uma nave espacial interplanetária passa em um ponto do espaço no qual a força de atração gravitacional da Terra sobre a nave cancela a força de atração gravitacional do Sol sobre a nave. a) Qual é a distância entre a nave e o centro da Terra? Use dados do Apêndice F. b) Assim que houver atingido o ponto encontrado no item a), a espaçonave poderia desligar seus motores e ficar pairando lá indefinidamente? Explique.

Passo 1

Vamos começar lembrando de como se calcular a força de atração gravitacional

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

Onde M e m são as massas, d é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e G é a constante gravitacional universal

No caso do exercício, sabemos que a força gravitacional entre o sol e a nave é a mesma em módulo que a força de atração entre a Terra e a nave.

Passo 2

Sabemos que

F S N = F T N

Para fazer esse cálculo, a grande sacada é escrever a distância entre o sol e a nave como a distância entre a Terra e o sol menos a distância entre a terra e a nave. Logo

G ⋅ M S ⋅ m N d S T - x 2 = G ⋅ M T ⋅ m N x 2

Olha só a gente pode cortar G e m N

M S d S T - x 2 = M T x 2

Bem a gente acha no apêndice do livro a massa da terra, a massa do sol e a distância entre o sol e a terra, então a nossa única incógnita é a distância entre a terra e a nave, vamos isolar.

M S d S T 2 + x 2 - 2 d S T x = M T x 2

x 2 = M T M S ⋅ ( d S T 2 + x 2 - 2 d S T x )

x 2 = M T M S d S T 2 + M T M S x 2 - M T M S 2 d S T x

Agora a gente coloca tudo na direita

x 2 - M T M S x 2 + M T M S 2 d S T x - M T M S d S T 2 = 0

1 - M T M S x 2 + M T M S 2 d S T x - M T M S d S T 2 = 0

Isso tá com cara de Bhaskara. Vamos substituir os valores

1 - 5,972 ⋅ 10 24 1,989 ⋅ 10 30 x 2 + 5,972 ⋅ 10 24 1,989 ⋅ 10 30 2 1,496 ⋅ 10 11 x - 5,972 ⋅ 10 24 1,989 ⋅ 10 30 1,496 ⋅ 10 11 2 = 0

Nossa! Que equação grande, vamos simplificar um pouco

1 - 3 ⋅ 10 - 6 x 2 + 3 ⋅ 10 - 6 ⋅ 2 1,496 ⋅ 10 11 x - 3 ⋅ 10 - 6 1,496 ⋅ 10 11 2 = 0

x 2 + 897600 x - 6,714 ⋅ 10 16 = 0

Então, por Bhaskara

x = - 897600 ± ( 897600 ) 2 + 4 ⋅ 6,714 ⋅ 10 16   2

x 1 = - 2,59 ⋅ 10 8   m

x 2 = 2,59 ⋅ 10 8   m

Como não faz sentido uma distância negativa, então a resposta do item (a) é x 2 = 2,59 ⋅ 10 8   m

Passo 3

Agora vamos responder o item (b), e a resposta é não, veja, se não existe nenhuma força agindo sobre a nave, não necessariamente ela ficará parada, ela continua num movimento retilíneo uniforme, e assim vai cair na influencia gravitacional do sol. Para não entrar na influência gravitacional nem do sol e nem da terra, a nave deve ficar numa orbita circular ao redor da terra mantendo sempre a mesma distância, isso exige uma força. A nave está num ponto de equilíbrio não estável. Se ela sair desse ponto e ir pouquinho mais perto do Sol a força de atração do Sol será maior ou se ir um pouquinho mais perto da Terra a força de atração da Terra será

Resposta

  1. 2,59 ⋅ 10 8   m
  2. Não
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