Enunciado

12.50. Uma esfera uniforme de massa igual a 60,0 kg é mantida fixa com seu centro na origem e uma segunda esfera uniforme de massa igual a 80,0 kg é mantida fixa com seu centro no ponto x=0, y=3,0m. a) Determine o módulo, a direção e o sentido da força gravitacional resultante produzida por essas esferas sobre uma terceira esfera uniforme com massa igual a 0,500 kg situada no ponto x=4,0m , y=0. b) Em que ponto, sem ser o infinito, a terceira esfera deve ser colocada para que a força gravitacional resultante que atua sobre ela seja igual a zero?

Passo 1

Vamos começar resolvendo o item (a). O enunciado descreve a seguinte situação

Bom, a gente vai ter essas forças agindo no sistema

Tudo que a gente precisa fazer é calcular as forças e somar vetorialmente.

Passo 2

Podemos calcular o módulo da força gravitacional assim

F = G ⋅ M m r 2

Vamos começar calculando F 1

F 1 → = - 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 60 ⋅ 0,5 4 2 i ^

A distância é 4 porque a massa maior está em 0,0 e a menor em ( 4,0 ) .

Isso vai dar

F 1 → = - 1,25 ⋅ 10 - 10   N   i ^

Agora vamos calcular F 2 . Mas vamos calcular decompondo nas coordenadas

F 2 → = G M m ⋅ - 1 r x 2   i ^ + 1 r y 2   j ^

Substituindo os valores

F 2 → = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 80 ⋅ 0,5 ⋅ - 1 4 2   i ^ + 1 3 2   j ^

E isso vai dar

F 2 → = - 1,67 ⋅ 10 - 10   i ^ + 2,97 ⋅ 10 - 10   j ^ N

Agora podemos calcular a força total

F T → = F 1 → + F 2 →

F T → = - 1,25 ⋅ 10 - 10   i ^ + - 1,67 ⋅ 10 - 10   i ^ + 2,97 ⋅ 10 - 10   j ^

Isso vai dar

F T → = - 2,92 ⋅ 10 - 10   i ^ + 2,97 ⋅ 10 - 10   j ^   N

Passo 3

Agora que temos a força em notação vetorial, podemos conseguir tudo que o exercício pede: Módulo sentido e direção.

Vamos começar com o módulo

F T = - 2,92 ⋅ 10 - 10   2 + 2,97 ⋅ 10 - 10 2  

Isso vai dar

F T = 4,17 ⋅ 10 - 10   N

Agora vamos calcular a direção. Bem a gente pode calcular um vetor unitário que aponta na direção da força resultante

F ^ = F T → F T

Ou seja

F ^ = - 2,92 ⋅ 10 - 10   i ^ + 2,97 ⋅ 10 - 10   j ^ 4,17 ⋅ 10 - 10

E isso vai dar

F ^ = - 0,70   i ^ + 0,71   j ^

E pela imagem a gente pode ver que o sentido do vetor aponta para entre as massas.

Passo 4

Vamos finalmente para o item (b). A gente quer saber em qual ponto a gente pode colocar a terceira massa para que a força resultante sobre ela seja 0. Em outras palavras, a força gravitacional que a massa de 60 kg exercer sobre a terceira massa tem que ter mesmo módulo, mas sentido contrário, a força gravitacional que a massa de 80 kg vai exercer sobre a terceira massa. Então

F 1 = F 2

G M 1 m r 1 2 = G M 2 m r 2 2

Bom, a gente já pode começar cortando G m .

Então

M 1 r 1 2 = M 2 r 2 2

Ou ainda

r 1 = r 2 2 M 2 M 1

r 1 = r 2 M 1 M 2

Beleza, o que temos aqui é uma equação com duas incógnitas. Para descobrir essas incógnitas precisamos de pelo menos mais uma equação. A gente pode achar essa outra equação se a gente assumir que a terceira massa tem que estar em algum lugar entre as duas primeiras. Essa vai ser a única configuração possível onde as forças que as massas exercem sobre a terceira massa não se somam, mas se cancelam. Assim as distâncias r 1 + r 2 tem que ser igual a distância entre as duas massas, que no caso é 3 .

Então chegamos na equação

r 1 + r 2 = 3

Agora a gente consegue resolver. Basta fazer

r 2 M 1 M 2 + r 2 = 3

Isso vai dar

r 2 = 3 1 + M 1 M 2

Substituindo os valores

r 2 = 3 1 + 60 80 = 1,6   m

Então

r 1 + 1,6 = 3

Logo

r 1 = 3 - 1,6 = 1,4   m

Então a terceira massa tem que ser colocada na linha que une as duas outras massas, a uma distância de 1,4   m da massa de 60   k g e 1,6   m da massa de 80   k g .

Resposta

  1. Modulo: 4,17 ⋅ 10 - 10   N

    Direção: - 0,70   i ^ + 0,71   j ^

    Sentido: Aponta para entre as massas.

  2. A terceira massa tem que ser colocada na linha que une as duas outras massas, a uma distância de 1,4   m da massa de 60   k g e 1,6   m da massa de 80   k g .
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