Enunciado

Considere o experimento de Young com um feixe incidente 1 perpendicular ao anteparo A e um ponto P na direção θ do anteparo de observação O , onde a interferência é construtiva. Se agora acrescentarmos outro feixe incidente 2 que forma um ângulo ∆ θ com o feixe 1, e se formos aumentando ∆ θ , chegarmos a uma situação onde a interferência em P é destrutiva para o feixe 2, ou seja, os mínimos de 2 caem sobre os máximos de 1 e, se os dois feixes tem a mesma intensidade (e frequência), as franjas de interferência desaparecem. Mostre que isso acontece para ∆ θ = 0,5 λ / d , onde d é a separação das aberturas. Isso permite medir ∆ θ . Relacione esse resultado com o interferômetro estelas de Michelson (Seç 3.6).

Passo 1

Beleza, vamos começar pensando no experimento de Young SEM o segundo feixe. Sabemos que quando os dois feixes 1 (que são os paralelos com a horizontal) passam pelas duas aberturas, respeitando o princípio de Huygens, as frentes de onda secundárias vão passar pelos caminhos r 1 e r 2 até o ponto P. E a equação de diferença de caminhos é:

d s e n θ = r 2 - r 1

E as faixas claras e escuras que se formam no anteparo quando a luz bate respeitam a seguinte equação para o caso de interferência destrutiva (que é o que estamos interessados):

r 2 - r 1 = n + 1 2 λ

Podemos juntar as duas equações:

d s e n θ = n + 1 2 λ

Sendo que n é o número de franjas formadas a partir do centro do anteparo alvo.

A separação entre dois mínimos (e máximos) fica, se considerarmos que a variação de θ é muito pequena, podemos fazer s e n θ = θ :

θ = n + 1 2 λ d

Para dois n próximos um do outro (vamos pegar n = 0 e n = 1 como exemplo:

θ 2 - θ 1 = 1 + 1 2 λ d - 0 + 1 2 λ d

Sobra:

θ 2 - θ 1 = ∆ θ = λ d

∆ θ = λ d = 2 π k d

Que é a equação que está no livro, isso é o mesmo que pegarmos dois pontos que marcam exatamente as bordas de uma das franjas, e calcularmos a diferença angular entre esses dois pontos.

Passo 2

Agora para o nosso caso, em que existe um novo feixe, que chamaremos de 2, passando pela fenda junto com o feixe 1 e causando uma interferência destrutiva para um ângulo ∆ θ . Esse feixe faz com que TODAS as franjas sumam. O que significa que a gente precisa adaptar a equação para esse caso, já que agora o número de franjas não depende mais do ângulo θ .

Então a gente tira o n da equação:

d s e n θ = 1 2 λ

Ou seja, para qualquer diferença de caminhos entre os feixes resultantes (que é o feixe final depois que os dois feixes 1 e 2 se juntam na abertura), o valor sempre depende da metade do comprimento de onda

Passo 3

Agora a gente passa o d dividindo para o lado direito:

s e n θ = 1 2 λ d  

E para situações em que θ é pequeno:

s e n θ = θ

A equação se torna:

θ = 1 2 λ d = 0,5 λ d

Como não existem franjas, a gente não pode pegar dois pontos que marcam exatamente a mudança de franja clara para escura, e por isso não se trata de ∆ θ mas sim um valor de θ único.

Passo 4

No caso do experimento de Michelson acontece exatamente isso, a luz proveniente de uma estrela pode ser usada para produzir as franjas de Young e dependendo do ângulo θ formado entre os raios incidentes, essas franjas param de se formar. Quando isso acontece é possível estimar o diâmetro da estrela.

Resposta

θ = 0,5 λ d

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