Enunciado

Uma luz de comprimento de onda 600   n m incide normalmente em uma rede de difração. Dois máximos de difração vizinhos são observados em ângulos dados por sen ⁡ θ = 0,2 e sen ⁡ θ = 0,3 . Os máximos de quarta ordem estão ausentes. (a) Qual é a distância entre fendas vizinhas? (b) Qual é a menor largura possível das fendas? Para essa largura, determine (c) o maior, (d) o segundo maior e (e) o terceiro maio valor do número de ordem m dos máximos produzidos pela rede.

Passo 1

Vamos começar relemebrando a fórmula que dá a posição dos máximos em uma rede de difração:

d sen ⁡ θ = m λ

Se os casos sen ⁡ θ = 0,2 e sen ⁡ θ = 0,3 são vizinhos, então eles correspondem aos máximos de ordem m e m + 1 , respectivamente.

d   0,2 = m λ d 0,3 = m + 1 λ

Com isso temos um sistema de duas equações! Vamos subtrair a primeira equação da segunda:

0,1   d = λ

E como o enunciado dá λ = 600   .   10 - 9   m , então:

d = 600.10 - 9 0,1 = 600.10 - 8

d = 6,0   μ m

Passo 2

(b) O enunciado também diz que os máximos de quarta ordem estão ausentes (ou seja, temos mínimos nessa posição).

A posição do máximo de quarta ordem gerado por uma rede de difração segue a seguinte fórmula:

d sen ⁡ θ = 4 λ

Mas como esse mesmo ponto (ou seja, esse mesmo θ ) corresponde ao mínimo gerado por uma fenda, podemos escrever uma outra equação:

a sen ⁡ θ = λ

Onde a é a largura da fenda. Com isso temos outro sistema que pode ser resolvido para encontrar a :

d sen ⁡ θ = 4 λ a sen ⁡ θ = λ

Dividindo a segunda equação pela primeira:

a d = 1 4

a = d 4 = 6,0.10 - 6 4 = 1,5   .   10 - 6   m

,

Passo 3

(c) Agora vamos descobrir qual é o maior valor do número de ordem m do máximo produzido pela rede.

d sen ⁡ θ = m λ

Já que sen ⁡ θ ≤ 1 , o valor máximo é determinado pela seguinte expressão:

sen ⁡ θ m λ d ≤ 1

m ≤ d λ = 6,0   .   10 - 6 600   .   10 - 9 = 10,0

Mas no nosso caso sen ⁡ θ = 1 significaria que θ = 90 ° , o que não faria sentido para uma rede de difração.

Então o maior valor que m pode assumir é m = 9 .

Passo 4

(d) Para determinar o segundo maior valor de m , seria natural pensar em m = 8 , já que o maior é m = 9 .

Mas perceba que aqui nós temos uma figura de interferência produzida pela largura das fendas, e uma figura de diração produzida pela rede.

O enunciado já diz que a figura de interferência gera o seu primeiro mínimo por cima do quarto máximo da figura de difração.

O que significa que o seu segundo mínimo vai passar por cima do oitavao máximo da figura de difração, então não temos um máximo em m = 8 .

Por isso o segundo maior máximo tem ordem m = 7 .

Passo 5

(e) Agora podemos simplesmente seguir a lógica de antes, e dizer que o terceiro maior máximo tem ordem m = 6 .

Resposta

(a) d = 6,0   μ m .

(b) a = 1,5     μ m .

(c) m = 9 .

(d) m = 7 .

(e) m = 6 .

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