Enunciado

Em 1610 , Galileu usou um telescópio que ele próprio havia cosntrúido para descobrir quatro satélites de Júpiter, cujos raios orbitais médios a e períodos T aparecem na tabela a seguir:

(a) Plote log ⁡ a (eixo y ) em função de l o g ⁡ ( T ) (eixo x ) e mostre que o resultado é uma linha reta. (b) Meça a inclinação da reta e compare-a com o valor previsto pela terceira lei de Kepler. (c) Determine a massa de Júpiter a partir da interseção da reta com o eixo y .

Passo 1

A relação entre raios e períodos é dada pela 3ª lei de Kepler, vamos dar uma olhada na fórmula para entender o que estamos fazendo aqui:

T 2 = 4 π 2 G M a 3

A questão quer um gráfico onde aparece o log ⁡ a , então vamos tirar o logaritmo dos dois lados pra ver no que dá:

l o g ⁡ ( T 2 ) = log ⁡ 4 π 2 G M a 3

Vamos sair usando as propriedades de logaritmo que sabemos:

2 log ⁡ T = log ⁡ 4 π 2 G M + 3 log ⁡ a

A questão quer l o g ⁡ a no eixo y , então vamos isolar esse valor:

log ⁡ a = 2 3 log ⁡ T - 1 3 log ⁡ 4 π 2 G M

Essa é a “previsão teórica” das leis de Kepler. Vamos montar o gráfico agora.

Passo 2

Pegue uma calculadora. Converta a coluna do período para segundos (basta multiplicar cada número por 86400 , que é o número de segundos em um dia).

Depois, tire os logaritmos da tabela inteira.

Agora seria interessante pegar um papel milimetrado e fazer um gráfico para verificar a proposta do enunciado. A ideia é achar um gráfico parecido com esse:

De fato, o resultado é uma linha reta. Está respondida a letra (a).

Passo 3

A letra (b) quer que a gente meça a inclinação do gráfico e compare com a previsão teórica da lei de Kepler. Bom, nós já vimos a previsão teórica, é essa fórmula aqui:

log ⁡ a = 2 3 log ⁡ T - 1 3 log ⁡ 4 π 2 G M

Como o log ⁡ T é a variável do eixo x , essa teoria prevê uma reta de inclinação 2 3 ≈ 0,67 . Vamos ver se bate com o nosso gráfico.

Você que fez o gráfico no papel milimetrado (parabéns pelo esforço!), deve agora escolher dois pontos x 1 , y 1 e ( x 2 , y 2 ) da sua reta (que não sejam os pontos que usamos pra traçar a reta), e anotar as coordendas deles. Depois fazer a seguinte conta:

α = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Onde α vai ser o coeficiente angular do gráfico. Com sorte vai dar alguma coisa perto de 0,66 .

Outra opção é usar o método dos mínimos quadrados! Aplicando ele nesses pontos nós achamos esse valor para a inclinação da melhor reta:

α = 0,67

Ou seja, um resultado muito bom! Está de acordo com a previsão da lei de Kepler.

Passo 4

O último passo é determinar a massa de Júpiter usando a interseção da reta com o eixo y .

Vamos olhar de novo pra nossa fórmula:

log ⁡ a = 2 3 log ⁡ T - 1 3 log ⁡ 4 π 2 G M

Todas as quatro luas da tabela são de Júpiter e, portanto, orbitam Júpiter.

Isso quer dizer que esse M na fórmula (que é a massa do corpo orbitado), é a massa de júpiter no nosso gráfico, que foi construído com os dados da tabela.

A questão pede para usarmos a interseção da reta com o eixo y .

Olhando o seu gráfico, procure o ponto com ( 0   ,   y o ) . Vamos substituir isso na fórmula

y 0 = 2 3 ( 0 ) - 1 3 log ⁡ 4 π 2 G M

y 0 = - 1 3 log ⁡ 4 ( 3,14 ) 2 ( 6,67.10 - 11 ) M

3 y 0 = - log ⁡ 4 3,14 2 6,67.10 - 11 . 1 M = - log ⁡ 4 3,14 2 6,67.10 - 11 - log ⁡ 1 M

3 y 0 = - 11,77 - log ⁡ 1 M

Lembrando que 1 M = M - 1 e que log ⁡ 1 M = log ⁡ M - 1 = - l o g ⁡ ( M ) :

11,77 + 3 y o = l o g ⁡ ( M )

M = 10 11,77 + 3 y 0  

No nosso gráfico, y 0 era aproximadamente 5,15 (ocultamos essa parte para não prejudicar a visualização dos outros pontos). Isso significa que:

M = 10 11,77 + 3 . ( 5,15 ) = 1,65.10 27   k g

E olhando uma tabela vemos que a resposta correta é 1,9   .   10 27   k g . Ou seja, ficamos bem próximos, uma margem de erro de 12 % .

Resposta

(b) A inclinação medida foi α = 0,67 , que bate com a previsão da lei de Kepler

(c) A massa de Júpiter, calculada a partir do gráfico, é M J = 1,65   .   10 27 . Com erro relativo de ≈ 12 % .

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