Enunciado

18. Considere uma figura de difração de fenda única em que a amplitude da onda no ponto O mostrado na Figura 36.5 a é E 0 . Para cada um dos seguintes casos, desenhe um diagrama de fasores como o da Figura 36.8 c e determine graficamente a amplitude da onda no ponto em questão. (Sugestão: use a Equação ( 36.6 ) para determinar o valor de β em cada caso.) Calcule a intensidade e compare com a Equação ( 36.5 ) . a ) sen ⁡ θ = λ / 2 a ; b ) sen ⁡ θ = λ / a ; c ) sen ⁡ θ = 3 λ / 2 a .

Passo 1

Então galera, para fazer o diagrama de fasores pedido no enunciado, temos que fazer primeiro a sugestão do enunciado de calcular o β , porque ele é o elemento chave para fazer o diagrama como o da figura 36.8 c .

Para calcular β vamos usar a seguinte fórmula, temos:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

A figura 36.8 d vai nos ajudar bastante a ver como encontrar E P graficamente.

E para encontrar a intensidade a parti da amplitude, temos que lembrar do fato da intensidade ser proporcional a amplitude ao quadrado, então teremos que elevar a amplitude que encontramos ao quadrado e comparar com o resultado a parti da equação 36.5 .

I = I 0 sen ⁡ β 2 β 2 2

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) , para esse caso temos sen ⁡ θ = λ / 2 a , assim temos que:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

⇒ β = 2 π λ a λ 2 a

⇒ β = π

Olhando a figura 36.8 c , temos que para um β = π , nosso diagrama de fasores fica:

Se liga no seguinte, olhando a figura vemos que E 0 é igual a metade de uma circunferência com diâmetro E P , então usando a fórmula do comprimento da circunferência, temos:

E 0 = 1 2 2 π E P 2

⇒ E 0 = π E P 2

Isolando E P , temos:

E P = 2 π E 0

Elevando isso ao quadrado temos:

I = 4 π 2 I 0

Usando a equação 36.5 , temos:

I = I 0 sen ⁡ π 2 π 2 2

⇒ I = 4 π 2 I 0

Então o que encontramos está de acordo com a equação 36.5 .

Passo 3

Vamos agora com o item ( b ) , para esse caso temos sen ⁡ θ = λ / a , assim temos que:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

⇒ β = 2 π λ a λ a

⇒ β = 2 π

Olhando a figura 36.8 c , temos que para um β = 2 π , nosso diagrama de fasores fica:

Se liga no seguinte, E 0 é a distância do começo do fasor até o final dele, mas como β = 2 π ficamos com um círculo fechado, logo:

E P = 0

Elevando isso ao quadrado temos:

I = 0

Usando a equação 36.5 , temos:

I = I 0 sen ⁡ π 2 π 2 2

⇒ I = 0 I 0 = 0

Então o que encontramos está de acordo com a equação 36.5 .

Passo 4

Vamos agora com o item ( c ) , para esse caso temos sen ⁡ θ = 3 λ / 2 a , assim temos que:

β = 2 π λ a sen ⁡ θ

⇒ β = 2 π λ a 3 λ 2 a

⇒ β = 3 π

Olhando a figura 36.8 c , temos que para um β = 3 π , nosso diagrama de fasores fica:

Se liga no seguinte, olhando a figura vemos que E 0 no total é uma circunferência e meia com diâmetro E P , então usando a fórmula do comprimento da circunferência, temos:

E 0 = 1 2 2 π E P 2 + 2 π E P 2

⇒ E 0 = 3 π E 0 2

Isolando E P , temos:

E P = 2 3 π E 0

Elevando isso ao quadrado temos:

I = 4 9 π 2 I 0

Usando a equação 36.5 , temos:

I = I 0 sen ⁡ 3 π 2 3 π 2 2

⇒ I = 4 9 π 2 I 0

Então o que encontramos está de acordo com a equação 36.5 .

Resposta

( a )

E P = 2 π E 0

I = 4 π 2 I 0

( b )

E P = 0

I = 0

( c )

E P = 2 3 π E 0

I = 4 9 π 2 I 0

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in
Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R →
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um va
O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét