Enunciado

O vetor A → possui comprimento de 3,50 cm e aponta para o interior desta página. O vetor B → aponta do canto direito inferior desta página para o canto esquerdo superior desta página. Defina um sistema apropriado de coordenadas com orientação da mão direita e ache os três componentes do produto vetorial A → × B → medidos em cm². Faça um diagrama mostrando o sistema de coordenadas e os vetores A → ,   B →   e   A → × B → .

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema foram descritos dois vetores e nosso objetivo é obter o produto vetorial entre eles...

Parece complicado?

Pra achar as três componentes vamos usar a equação 1.27 do livro que nos diz quais as componentes do produto vetorial:

C x = A y B z - A z B y

C y =   A x B z - A z B x

C z = A x B y - A y B x .

Veja só!

Passo 2

Se A → aponta pro interior da página, quer dizer que ele é perpendicular a ela, então ele não tem a componente x e y. Por causa disso o seu módulo depende só de z e é -3,50cm, porque está para dentro e não para fora do plano.

A página tem 20cm de largura por 35cm de comprimento, como o vetor B →   compreende toda a página, suas componentes são exatamente as dimensões da página. Então temos:

B x = 20 c m   e   B y = 35 c m

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora falta usar a fórmula do módulo em B → para acha-lo:

B = B x 2 + B y 2

B = 20 c m 2 + 35 c m 2

B = 40,3 c m

Bacana, não é?

Passo 4

Como todas as componentes de C dão 0 pela equação 1.27, não temos um vetor no produto vetorial.

Então chegou a grande hora de fazer o determinante pra achar as componentes do produto vetorial. Vem comigo!

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 3,50 c m 20 c m 35 c m 0 = 122 c m ² i ^ - 70 c m ² j ^ + 0 c m ² k ^

A partir do determinante, sabemos que:

A → × B → x =   122 c m 2 ,   A → × B → y = - 70 c m 2 e   A → × B → z = 0 c m ²

E encontramos as componentes! \o/

Passo 5

Agora chegou a hora de fazer os diagramas. Começando por A → :

Agora o B → :

E por último, mas não menos importante, o vertor ( A → × B → ) :

E finalmente acabamos!!

E aí! o que achou? Responde Aí! 😎

Resposta

A → × B → x =   122 c m 2 ,   A → × B → y = - 70 c m 2 e   A → × B → z = 0 c m ²

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Se A → = 4 i ^ , B z = 0 ,B → = 5 e A → × B → = 12 k ^ , determine B → .
São-lhes fornecidos três vetores e suas componentes na forma: A → = a x i ^ + a y j ^ + a z k ^ , B → = b x i ^ + b y j ^ + b z k ^ , e C → = c x i ^ + c y j ^ + c z k ^ . Mostre que as seguintes igua
Determine A → × B → nos seguintes casos: (a) A → = 4 i ^ e B → = 6 i ^ + 6 j ^ , (b) A → = 4 i ^ e B → = 6 i ^ + 6 k ^ e (c) A → = 2 i ^ + 3 j ^ e B → = 3 i ^ + 2 j ^ .
Dados três vetores não-coplanares A → ,B → e C → , mostre que A → ⋅ ( B → × C → ) é o volume do paralelepipdo formado pelos três vetores
Para cada um dos casos do Problema 29, determine | A → × B → | para estimar qual dos pares de vetores está mais próximo de ser ortogonal. Verifique suas respostas calculando o ângulo, usando produto e