Enunciado

1.76 - Em um vôo de treinamento, uma aprendiz de piloto voa de Lincoln, no Estado de Nebraska, até Clarinda, no Iowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri; depois até Manhattan, no Kansas (Figura 1.41). Os ângulos formados pelos deslocamentos são medidos em relação ao norte: 0° significa o sentido do sul para o norte, 90° é o leste, 180° é o sul e 270° é o oeste. Use o método dos componentes para achar a) a distância que ela terá de voar para voltar para Lincoln; b) a direção (em relação ao norte) que ela deverá voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a solução fazendo um diagrama vetorial.

Passo 1

Vamos chamar o trajeto de Lincoln até Clarinda de A → , de Clarinda até St. Joseph (famoso São José) de B → , de St. Joseph até Manhattan de C → e de Manhattan até Lincoln de D → .

Quando o avião for de Manhattan até Lincoln, o trajeto vai fechar. Isso significa que a soma dos trajetos vai ser igual a 0. Agora fazer essa questão ficou fácil! É só somar todas as trajetórias em x e em y e igualar a 0, daí encontramos das componentes de D → , depois é só fazer Pitágoras pra achar o módulo de D e usar a tangente pra encontrar o ângulo.

Então simbora!

Passo 2

Como os ângulos estão relacionados ao sentido norte, a direção norte-sul será o nosso y e a direção leste-oeste o nosso x.

Vamos, agora, decompor as trajetórias em x:

A x + B x + C x + D x = 0

D x = - A x + B x + C x

D x =   -   147 k m s e n 85 ° + 106 k m s e n 167 ° + 166 k m s e n 235 °

D x =   - 34,3 k m

Agora em y:

D y =   - A y + B y + C Y

D y =   - ( 147 k m c o s 85 ° + 106 k m c o s 167 ° + 166 k m c o s 235 ° )

D y = 185,7 k m

Passo 3

Agora a gente vai usar o maravilhoso Teorema de Pitágoras pra encontrar o módulo de D → :

D = D x 2 + D y 2

D =   - 34,3 k m 2 + 185,7 k m 2

D = 189 k m

Achamos a distância!!!

Partiu letra (b)!

Passo 4

Pra achar a direção com relação ao eixo norte vamos usar a tangente do ângulo, mas antes vamos desenhá-lo para ter certeza que estamos fazendo certo:

Repara que o ângulo que desejamos encontrar nesse caso é com a vertical (com o Norte conforme dito no enunciado).

Vamos fazer isso através da tangente.

t g θ = D x D y = 34,3 185,7 =   0,18

Agora tiramos o arco-tangente desse valor pra encontrar o ângulo:

θ = a r c t g 0,18 = 10,2 °

Passo 5

Agora o nosso lindo diagrama:

Terminamos a questão!! É pra comemorar, aluno do Responde Aí!

Resposta

  1. 189km
  2. 10,2° em relação ao norte.
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