Enunciado

Em 1996, o Observatório Solar e Heliosférico (SOHO) “estacionou” em uma órbita ligeiramente interior à órbita terrestre, conforme ilustra a FIGURA PD13.70. Nesta órbita, o período do satélite é de exatamente um ano, de modo que ele permanece fixo em relação à Terra. Neste ponto, chamado de ponto de Lagrange, a luz do Sol nunca é bloqueada pela Terra; ainda assim, o satélite permanece “próximo” o suficiente para que os dados sejam facilmente transmitidos até a Terra. Qual é a distância do observatório SOHO em relação à Terra?

Dica: Use a aproximação binomial. A distância do observatório SOHO em relação à Terra é muito menor do que a distância da Terra em relação ao Sol.

Passo 1

Vamos pensar um pouco no problema! O que sabemos? Sabemos que o período de translação ao redor do sol da Terra e do satélite são iguais! Como isso é possível? Pela 3° Lei de Kepler, sabemos que os períodos serão iguais e, e somente se, as distâncias até o sol forem as mesmas! Porém, nesse exercício não podemos usar a 3° Lei de Kepler...

O motivo é o seguinte: a massa da Terra é muito maior do que a do satélite (concorda?!) de modo que a presença do satélite praticamente não altera o movimento da Terra. Porém, a presença da Terra deve ser levada em conta no movimento do satélite! Porém, como a massa do Sol é muito maior do que a da Terra, o satélite ainda irá continuar girando ao redor do Sol e não da Terra!

Veja o seguinte esquema:

Na figura, temos:

  • F 1 é a força que o Sol exerce no satélite;
  • F 2 é a força que a Terra exerce no satélite;
  • F é a força que o Sol exerce sobre a Terra.
  • Ué... e cadê a força que o satélite exerce sobre a Terra?.... Como dissemos acima, a massa da Terra é muito maior do que do satélite, de modo que o satélite não muda o movimento da Terra.

    Sejam:

  • M s a massa do Sol;
  • M T a massa da Terra;
  • m a massa do satélite.
  • Notemos que a força resultante é uma componente centrípeta. Vamos usar esse fato para calcularmos o período da Terra e do Satélite.

    Passo 2

  • Período da Terra:
  • A força resultante é F = G m M / r + d 2 . Assim,

    G M s M T r + d 2 = M T v 2 2 r + d v 2 = G M s r + d

    Assim, o período será:

    T = 2 π r + d v 2 T = 2 π r + d 3 G M s

  • Período do satélite:

A força resultante é F 1 - F 2 . Logo,

F 1 - F 2 = m v 1 2 r G m M s r 2 - G m M T d 2 = m v 1 2 r G M s r 2 - M T d 2 = v 1 2 r v 1 = G r M s r 2 - M T d 2

Portanto,

T = 2 π r v 1 T = 2 π r G r M s r 2 - M T d 2 T = 2 π r G M s r 2 - M T d 2 T = 2 π r d 2 G d 2 r 2 M s - M T

Igualando com o período da Terra, temos:

2 π r + d 3 G M s = 2 π r d 2 G d 2 r 2 M s -   M T r + d 3 M s = r d 2 d 2 r 2 M S - M T r 3 1 + d r 3 M s = r d 2 d 2 r 2 M s - M T Aqui, vamos usar algumas simplificações. Inicialmente, d ≪ r (como o enunciado diz). Logo,

1 + d r 3 ≈ 1 + 3 d r

onde usamos a aproximação de Bernoulli: 1 + x α = 1 + α x quando x ≪ 1 . Logo,

1 + 3 d r M s = d 2 / r 2 d 2 r 2 M s - M T

Passo 2

Já estamos acabando... não desista! :D Para simplificar as equações, tome x = d / r . Assim,

1 + 3 x x 2 M s - M T = M s x 2 x 2 M s - M T + 3 x 3 M s - 3 x M T = M s x 2 3 x 3 M s - 3 x M T - M T = 0

Caramba... agora parece que ferrou tudo! Como vamos resolver uma equação do terceiro grau? Note uma coisa: a massa do Sol é muito, mas muito maior do que a massa da Terra! Portanto, podemos desprezar o termo 3 x M T ! Dessa maneira, vemos ter

3 x 3 M s - M T = 0 x 3 = M T 3 M S x = M T 3 M S 3

Mas x = d / r . Logo,

d = r M T 3 M S 3 d = 1,50 × 10 11 5,98 × 10 24 3 ⋅ 1,99 × 10 30 3 d = 1,50 × 10 9   m

Resposta

A distância é d = 1,50 × 10 9   m .

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