Enunciado

70. Fotografando embaixo d'água. Uma máquina fotográfica subaquática possui uma lente cuja distância focal é 35,0   m m e a abertura máxima é igual a f / 2,80 . O filme usado apresenta uma emulsão sensível à luz de frequência 6,0 ⋅ 10 14   H z . Se o fotógrafo tirar uma fotografia de um objeto que está 2,75   m à frente da câmera com abertura máxima, qual é a largura dos menores detalhes que podem ser resolvidos sobre o objeto, se este é ( a ) um peixe embaixo

d’água com a câmera dentro d'a água e (b) uma pessoa na praia, com à câmera fora da água?

Passo 1

Então pessoal esse caso pode ser comparado com a situação de uma difração por abertura circular, então podemos usar a seguinte equação para encontrar o menor detalhe que a câmera pode distinguir, temos:

sen ⁡ θ = 1,22 λ D

Mas onde vamos achar o parâmetro que nos da o menor detalhe? Então, vai ser a partir do seno e lembrando que o seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.

No nosso caso o cateto oposto vai ser o comprimento do menor detalhe ( Δ x ) e a hipotenusa a distância entre a câmera e objeto ( R ) .

Então temos que:

sen ⁡ θ = Δ x R

⇒ Δ x R = 1,22 λ D

⇒ Δ x = 1,22 λ D R

Mas o enunciado não nos dá λ , mas ele nos dá a frequência, então podemos usar a seguinte relação:

λ = c f

O problema nos apresenta duas situações diferentes uma no item ( a ) e uma no item ( b ) , o método para resolver vai ser o mesmo o que vai mudar vai ser o comprimento de onda, dentro da água (item ( a ) ) temos um e no ar (item ( b ) ) temos outro.

Mas esses comprimentos de onda se relacionam, chamando o comprimento de onda no ar de λ 0 e o da água de λ , temos que:

λ = λ 0 n

Onde n é o índice de refração da água que vale 1,33 .

Passo 2

Antes de partimos para os cálculos principais de cada item vamos encontrar os comprimentos de onda λ 0 e λ . Temos que:

λ 0 = c f

Onde f foi dado pelo enunciado e vale 6,0 ⋅ 10 14   H z . Assim temos:

λ 0 = 3 ⋅ 10 8 6 ⋅ 10 14

⇒ λ 0 = 0,5 ⋅ 10 - 6   m

Tendo λ 0 podemos encontrar λ , então:

λ = λ 0 n

⇒ λ = 0,5 ⋅ 10 - 6 1,33

⇒ λ = 0,376 ⋅ 10 - 6   m

Agora vamos encontrar o que o enunciado quer.

Passo 3

Vamos começar com item ( a ) onde temos λ = 0,376 ⋅ 10 - 6   m , assim:

Δ x = 1,22 λ D R

Um detalhe é que o parâmetro D foi dado pelo enunciado com sendo f / 2,80 onde esse f representa a distância focal, assim:

D = 0,035 2,8

⇒ D = 0,0125   m

Agora substituindo tudo o que sabemos na nossa equação, temos:

Δ x = 1,22 0,376 ⋅ 10 - 6 0,0125 ( 2,75 )

= 1,26 ⋅ 10 - 6 0,0125

Assim temos que:

Δ x = 1,01 ⋅ 10 - 4   m

Passo 4

Vamos agora para o item ( b ) onde temos λ 0 = 0 , 5 ⋅ 10 - 6   m , assim:

Δ x = 1,22 λ D R

O valor de D já encontramos no passo anterior, então substituindo os valores que temos ficamos com:

Δ x = 1,22 0 , 5 ⋅ 10 - 6 0,0125 ( 2,75 )

= 1,68 ⋅ 10 - 6 0,0125

Então temos que:

Δ x = 1,34 ⋅ 10 - 4   m

Resposta

( a )

Δ x = 1,01 ⋅ 10 - 4   m

( b )

Δ x = 1,34 ⋅ 10 - 4   m

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