Enunciado

54. Um alto-falante com um diafragma que vibra a 1250   H z está se deslocando à 80,0   m / s em linha reta na direção de um par de buracos em uma grande parede, em uma região em que a velocidade do som é 344   m / s . Você observa que o som vindo dessas aberturas sofre o primeiro cancelamento em um ângulo de ±   12,7 ° com a direção original do alto-falante quando observado a uma grande distância da parede. a ) A que distância estão as duas aberturas? b ) Em que ângulos o primeiro som seria cancelado se a fonte parasse de se mover?

Passo 1

Então meu povo, esse problema é simples, mas temos que tomar cuidado com um detalhe que pode nos fazer errar muito feio.

O nosso alto-falante produz um certo comprimento de onda λ 0 , mas esse mesmo alto-falante se move com uma velocidade na direção de propagação desse λ 0 , então o comprimento de onda que chaga na dupla fenda não é λ 0 .

Isso é bem dizer um efeito Doppler, assim o comprimento de onda que chaga na fenda é:

λ = λ 0 - v f f

Onde v f é a velocidade da fonte.

Agora temos que nos ligar que esses dois orifícios se comportam com fendas duplas fazendo com que as ondas sonoras sofram difração.

O enunciado nos fornece o ângulo no qual temos o primeiro mínimo, assim podemos usar a seguinte equação que dá o ângulo onde ocorrem mínimos.

d sen ⁡ θ = m λ 2

Onde θ já sabemos pelo enunciado, λ podemos achar tranquilamente com a informação que discutimos antes, m = 1 por se tratar das primeiras franjas de mínimo e d vai ser o que queremos saber.

Agora para o item ( b ) vamos usar a mesma equação que o item ( a ) , mas nosso λ não vai sofrer alteração nenhuma já que a fonte não se move e vamos estar interessados em θ .

Passo 2

Vamos primeiro analisar o λ para o item ( a ) .

Temos o seguinte:

λ = λ 0 - v f f

Mas o enunciado não nos deu o valor de λ 0 , mas se lembrarmos que:

v = λ 0 f

⇒ λ 0 = v f

Podemos encontrar λ . Olha só:

λ = λ 0 - v f f

⇒ λ = v f - v f f

⇒ λ = v - v f 1 f

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

λ = 344 - 80 1 1250

= 264 1250

Assim, temos que:

λ = 0,211   m

Esse é o comprimento de onda que chega nos orifícios.

Passo 3

Agora vamos encontrara distância entre os orifícios, temos que:

d sen ⁡ θ = m λ 2

⇒ d = m λ 2 sen ⁡ θ

Substituindo o que sabemos, temos:

d = 0,211 2 sen ⁡ ( 12,7 ° )

= 0,211 0,44

Assim, temos que:

d = 0,48   m

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para achar d para o caso do item ( b ) , mas agora o nosso λ = λ 0 e sabendo que:

λ 0 = v f

= 344 1250

⇒ λ 0 = 0,275   m

Agora usando

d sen ⁡ θ = m λ 2

⇒ sen ⁡ θ = m λ 2 d

E substituindo o que sabemos, temos:

sen ⁡ θ = 0,275 2 ( 0,48 )

= 0,275 0,96

Então temos que:

θ = ± 16,64 °

Temos ± para indicar que esse ângulo é para os dois lados da linha central.

Resposta

( a )

d = 0,48   m

( b )

θ = ± 16,64 °

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