Enunciado

66. a ) A Figura 36.16 mostra ondas planas de luz incidindo perpendicularmente sobre uma rede de difração. Se, em vez disso, a luz incidir formando um ângulo θ ' (medido a partir da normal), mostre que a condição para a obtenção dos máximos não é dada

pela Equação ( 36.13 ) , mas por

d sen ⁡ θ + sen ⁡ θ ' = m λ                     ( m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 … )

b ) Para a rede descrita no Exemplo 36 . 4 (Seção 36.5 ), com 600 fendas por milímetro, calcule os ângulos para os máximos correspondentes a m = 0 ,   1 e - 1 com luz vermelha ( λ = 650   n m ) para os casos θ ' = 0 (incidência normal) e θ ' = 20,0 ° .

Passo 1

Então meu povo, se liga só.

Pelo fato das ondas agora formarem um ângulo θ ' com as fendas, por conta dessa inclinação existe uma diferença de fase entre as fendas segundo a visam das ondas, dada por:

2 π d λ sen ⁡ θ '

Mas depois que as ondas passam pelas fendas elas sofrem uma diferença de fase que é dada por:

2 π d λ sen ⁡ θ

O último detalhe para podermos juntar tudo é o fato de que para termos um máximo temos que ter uma diferença de fase total dada por:

2 π m

Então teremos que somar as duas diferenças de fase adquiridas pelas ondas e igualar a diferença de fase total que nos dá um máximo.

Para o item ( b ) teremos que usar a equação que vamos mostrar em ( a ) para calcular θ para m = 0 ,   1 ,   - 1 .

Do exemplo 36.4 temos que d = 1,67 ⋅ 10 - 6   m e do enunciado temos que λ = 650   n m = 650 ⋅ 10 - 9   m .

Vamos lá então.

Passo 2

Como discutimos no passo 1 temos o seguinte:

2 π d λ sen ⁡ θ ' + 2 π d λ sen ⁡ θ = 2 π m

⇒ 2 π d λ sen ⁡ θ ' + sen ⁡ θ = 2 π m

⇒ d λ sen ⁡ θ ' + sen ⁡ θ = m

Então temos que:

d sen ⁡ θ ' + sen ⁡ θ = m λ

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Primeiro, temos seguinte:

d sen ⁡ θ ' + sen ⁡ θ = m λ

Isolando θ , temos:

sen ⁡ θ ' + sen ⁡ θ = m λ d

⇒ sen ⁡ θ = m λ d - sen ⁡ θ '

⇒ θ = arcsen ⁡ m λ d - sen ⁡ θ '

Primeiro vamos analisar para θ ' = 0 .

Assim:

θ = arcsen ⁡ m λ d

1 º ) m = 0

θ = arcsen ⁡ m λ d

= arcsen ⁡ ( 0 ) ( 650 ⋅ 10 - 9 ) 1,67 ⋅ 10 - 6

= arcsen ⁡ 0

Então temos que:

θ = 0

2 º ) m = 1

θ = arcsen ⁡ m λ d

= arcsen ⁡ ( 1 ) ( 650 ⋅ 10 - 9 ) 1,67 ⋅ 10 - 6

= arcsen ⁡ 389,2 ⋅ 10 - 3

Então temos que:

θ = 22,9 °

2 º ) m = - 1

θ = arcsen ⁡ m λ d

= arcsen ⁡ ( - 1 ) ( 650 ⋅ 10 - 9 ) 1,67 ⋅ 10 - 6

= arcsen ⁡ - 389,2 ⋅ 10 - 3

Então temos que:

θ = - 22,9 °

Passo 4

Agora vamos para o caso que θ ' = 20 ° . Assim:

1 º ) m = 0

θ = arcsen ⁡ m λ d - sen ⁡ 20 °

= arcsen ⁡ ( 0 ) ( 650 ⋅ 10 - 9 ) 1,67 ⋅ 10 - 6 - sen ⁡ 20 °

= arcsen ⁡ - sen ⁡ 20 °

Então temos que:

θ = - 20 °

2 º ) m = 1

θ = arcsen ⁡ m λ d - sen ⁡ 20 °

= arcsen ⁡ ( 1 ) ( 650 ⋅ 10 - 9 ) 1,67 ⋅ 10 - 6 - sen ⁡ 20 °

= arcsen ⁡ 389,2 ⋅ 10 - 3 - sen ⁡ 20 °

Então temos que:

θ = 2,7 °

2 º ) m = - 1

θ = arcsen ⁡ m λ d - sen ⁡ 20 °

= arcsen ⁡ ( - 1 ) ( 650 ⋅ 10 - 9 ) 1,67 ⋅ 10 - 6 - sen ⁡ 20 °

= arcsen ⁡ - 389,2 ⋅ 10 - 3 - sen ⁡ 20 °

Então temos que:

θ = - 47 °

Resposta

( a )

d sen ⁡ θ ' + sen ⁡ θ = m λ

( b )

Para θ ' = 0 :

m = 0 → θ = 0

m = 1 → θ = 22,9 °

m = - 1 → θ = - 22,9 °

Para θ ' = 20 ° :

m = 0 → θ = - 20 °

m = 1 → θ = 2 , 7 °

m = - 1 → θ = - 47 °

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