Enunciado

21 . O campo elétrico a uma distância de 0,145   m da superfície de uma esfera isolante maciça, com raio igual a 0,355   m , é de 1.750   N / C . ( a ) Supondo que a carga da esfera esteja uniformemente distribuída, qual é a densidade da carga dentro dela? ( b ) Calcule o campo elétrico no interior da esfera a uma distância de 0,200   m do centro.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Quando o item ( a ) pede a densidade de carga dentro da esfera, ele quer saber a quantidade de carga por volume, logo:

ρ = q V

Onde o volume da esfera é V = 4 3 π R 3 , mas precisamos saber a carga total distribuída nessa esfera, para isso podemos usar a lei de Gauss ao nosso favor, já que:

E A = q ϵ 0

E como o enunciado nos dá o campo a uma distância de 0,14 5   m da esfera, podemos achar o valor de q .

Agora para o item ( b ) , podemos usar o fato de que o campo elétrico dentro de uma esfera maciça carregada é dado por:

E = 1 4 π ϵ 0 q i r R 3

Onde q i é a carga dentro da superfície esférica de raio r = 0,2   m .

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Vamos encontrar a carga distribuída na esfera, temos:

E A = q ϵ 0

⇒ q = E A ϵ 0

Onde A é a área da esfera de raio r = 0,355 + 0,145 = 0,5   m , então:

q = E 4 π r 2 ϵ 0

⇒ q = 1750 4 π 0,5 2 8,854 × 10 - 12

Logo temos que:

q = 4,86 × 10 - 8   C

Passo 3

Agora podemos calcular a densidade carga na esfera. Temos o seguinte:

ρ = q V

⇒ ρ = q 4 3 π R 3

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

ρ = 4,86 × 10 - 8 4 3 π ( 0,355 ) 3

⇒ ρ = 2,6 × 10 - 7   C / m 3

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

Temos que primeiro encontrar o valor de q i , como já calculamos a densidade de carga da esfera, podemos fazer o seguinte:

ρ = q i V

q i = ρ V

Onde V nesse caso é o volume da esfera de raio r = 0,2   m , assim:

q i = 2,6 × 10 - 7 4 3 π ( 0,2 ) 3

Assim temos que:

q i = 8,7 × 10 - 9   C

Passo 5

Agora vamos usar a equação do campo elétrico que vimos no passo 1 , temos:

E = 1 4 π ϵ 0 q i r R 3

Substituindo o que sabemos, temos:

E = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 8,7 × 10 - 9 ) ( 0,2 ) ( 0,355 ) 3

= 1,74 × 10 - 9 4,97 × 10 - 12

Logo temos que:

E = 350,1   N / C

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

ρ = 2,6 × 10 - 7   C / m 3

( b )

E = 350,1   N / C

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